巧用建系法，妙解幾何題

【摘要】幾何題在初中數學中占有很大的比重，需要初中學生掌握一定的解題方法.若一道題中有正方形、矩形等存在直角特征的圖形，且已知部分線段長度，那么可以考慮運用建系法解題.本文以常見的幾道幾何題為例，研究建系法在解幾何題時的妙用.

【關鍵詞】建系法；初中數學；解題方法

顧名思義，建系法就是建立直角坐標系.值得注意的是，在選取坐標原點時，不僅要考慮其是否為直角頂點，還要考慮建立的坐標系是否方便表示其他點.

例1如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AE為∠BAD的角平分線，F為AE上一動點，M為DF的中點，連接BM，則BM的最小值為.

思路分析以B為坐標原點，BC為x軸，AB為y軸，建立平面直角坐標系，可求出直線AE的解析式，由此可設出動點F的坐標.基于此，求出點M的坐標，結合兩點距離公式和二次函數的性質討論BM的最小值.

解析如圖2，以B為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A0，2，C4，0，D4，2，E2，0.設直線AE的解析式為y=kx+b，代入點A、點E，可列出b=22k+b=0，解得b=2k=－1，所以直線AE的解析式為y=－x+2.此時，設點F的坐標為At，－t+2.因為D4，2，所以DF的中點M的坐標為2+t2，2－t2.

所以BM=2+t22+2－t22，化簡得BM=t22+8，即當t=0，點F與點A重合時，BM有最小值，為8.

評析本例題的考點包含矩形的性質、兩點間距離公式、二次函數的性質等.解題的關鍵是建立平面直角坐標系.

例2如圖3，在邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，則CG=.

思路分析以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系.要想求CG的長度，關鍵是求出點G的坐標，而點G是AC與BF的交點，故解題的關鍵可以轉化為求點F的坐標，進而可求得直線BF的解析式.聯立直線BF與直線AC的解析式即可求得點G.那么，CG的長度也就能夠很快算出來了.

解析如圖4，以A為坐標原點，AB、AD分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A0，0，B1，0，C1，1，D0，1，E0，12.連接AF交BE于點H.設直線BE的解析式為y=kBEx+bBE，代入點B1，0，E0，12，可列出kBE+bBE=0bBE=12，解得bBE=12kBE=－12，所以直線BE的解析式為y=－12x+12.同理，直線AC的解析式為y=x.由折疊可知，AF⊥BE，H為線段AF的中點，所以kAF·kBE=－1.因為kBE=－12，所以kAF=2，即直線AF的解析式為y=2x.因為直線AF與直線BE的交點為點H，聯立y=－12x+12y=2x，得H15，25.又因為H為線段AF的中點，所以F25，45.此時，可求出直線BF的解析式為y=－43x+43.因為直線BF與直線AC的交點即為點G，聯立y=－43x+43y=x，得G47，47.根據兩點間距離公式，得CG=1－472+1－472=327.綜上，CG=327.

評析本題考查矩形、一次函數、兩點間距離公式等知識點.解題的關鍵是求出點F的坐標.

例3如圖5，在邊長為3的正方形ABCD的外側，作等腰三角形ADE，EA=ED=52. 若F為BE的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G，則AG的長為.

思路分析以C為坐標原點，CD為x軸，CB為y軸，建立平面直角坐標系.求出點F的坐標，即可得到直線AF的解析式，進而得到點G的坐標，再根據兩點間距離公式即可得到AG的長.

解析如圖6，以C為坐標原點，CD、CB分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則C0，0，B0，3，D3，0，A3，3，E5，32.因為F為BE的中點，且B0，3，E5，32，所以中點F的坐標為52，94.設直線AF的解析式為y=kx+b，代入點A3，3，F52，94，可列出3k+b=352k+b=94，解得b=－32k=32，所以直線AF的解析式為y=32x－32.令y=0，得x=1，即點G的坐標為1，0.根據兩點間距離公式，得AG=3－12+3－02=13.綜上，AG的長為13.

評析本題有正方形、直角/等腰三角形的存在，解題時要結合直角坐標系進行靈活運用.

結語

綜上所述，建系法為求解幾何題自提供了一種有效的方法，其能夠降低解題難度，讓學生快速理解解題思路.因此，教師要有意識地帶領學生進行專項訓練，提升學生運用建系法解題的靈活度.