指向深度學習的初中數學單元作業設計

［摘要］作業是教學過程的重要環節.“雙減”背景下，隨著學校教育教學改革的順利推行，作業的改革與創新具有舉足輕重的作用. 作業設計應以深度學習為導向，分層次、多維度地促進學生核心素養的發展. 文章以“勾股定理”的單元作業設計為例進行了探究.

［ 關鍵詞 ］深度學習；作業設計；勾股定理；核心素養

設計緣起

研究表明，越來越多的教育教學研究者在“深度學習可以促進學生核心素養發展”這一觀點上達成共識，并且開始關注如何在數學課堂中落實深度學習，從而促進學生核心素養的發展.《義務教育數學課程標準（2022 年版） 》（以下簡稱“新課標”） 明確指出，核心素養具有整體性、一致性和階段性［1］ 7.基于此，教師要把握教學內容，開展以單元為單位的整體教學設計，以助力學生的深度學習.就目前已有研究來看，關注作業設計如何助力深度學習的研究相對較少，而聚焦課堂教學其他環節的理論研究則比較多.作業作為鏈接課程、教學與評價的重要環節，是教學活動的補充和延續［2］ .合理的作業設計是學生進行深度學習的重要途徑.鑒于此，筆者結合多年一線教育教學實踐，嘗試從數學作業設計這一環節入手，以“勾股定理”的單元作業設計為例，探究指向深度學習的作業設計途徑， 旨在助力學生核心素養的發展.

教材分析

1. 單元目標分析經歷勾股定理的探索過程，培養合情推理能力，體會數形結合思想；能用勾股定理求直角三角形的未知邊長；能應用已有的數學知識驗證勾股定理；經歷用多種拼圖方法驗證勾股定理的過程，培養有條理思考與表達能力，從中感受勾股定理的文化價值［3］ .

2. 單元內容分析

本章起始課以方格為背景，通過學生自主觀察、合作探究、轉化等思維活動，引導學生猜想結論.隨后，運用“割”“補”法進行面積計算，數形結合，驗證猜想，從而證明猜想的正確性，合理地得出勾股定理.通過介紹《周髀算經》中的“勾三股四弦五”、2002年國際數學家大會的會標“弦圖”，滲透愛國主義教育，培養學生的愛國情懷.數學實驗部分，利用4張完全一樣的直角三角形紙片，通過不同方法計算圖形面積，再次驗證勾股定理的正確性. 第二節利用情境“在△ABC 中a2+b2 = c2，△ABC 是否為直角三角形？”驗證勾股定理逆定理的正確性.第三節通過兩個情境，感受數學的轉化思想，并在潛移默化中體會勾股定理的文化價值，增強應用意識.

3. 學生學情分析

學生的身心發展具有個別差異性，所以在設計指向深度學習的作業時應考慮學生的具體情況.從學生已有的知識儲備來看，雖然他們對于勾股定理并不熟悉，但在小學階段已接觸過用“割”“補”法求面積.因此，對于勾股定理網格中的面積求證法，教師只須稍加提示，學生便能輕松掌握. 在探究求證過程中，教師應鼓勵學生合作探究；在體驗新知形成的過程中，讓學生切身感受到勾股定理存在的必要性和合理性.

單元作業設計的整體思路“雙減”背景下，為了更好地促進深度學習，作業設計不僅要在難度上體現層次性，而且要在內容上體現遞進性.通過遞進式呈現作業內容可以滿足學生不斷挑戰作業難度的需求，確保不同層次的學生在面對不同難度的作業挑戰時都能獲得不同程度的滿足感與成就感.根據喻平教授的作業類型劃分［4］，在設計單元作業時每一課時的作業都應進行分層設計，即每一課時的作業都應包含“基礎性作業”“綜合性作業”“素養提升性作業”三個層次.基礎性作業面向全體學生，體現了新課標中的“使得人人都能獲得良好的數學教育”［1］ 2理念；綜合性作業面向大多數學生，注重培養學生的個性化解決能力和靈活應用能力，體現了新課標中的“不同的人在數學上得到不同的發展”［1］ 2理念；素養提升性作業面向少部分學有余力的學生，旨在激發他們的思維靈活性及深刻性.下面，筆者以“勾股定理”為例，探討如何利用作業設計來助力學生的深度學習.

單元作業設計案例呈現

1. 夯實基礎性作業

作業是教學過程的重要環節，其首要功能是鞏固新知.在選取與設計作業內容時，要關注學生的認知水平.只有設置合理比例的基礎性作業，筑牢淺層學習的基礎，才能為深層學習打好基礎.此外，合理的基礎性作業可大大增強學生學習數學的信心，提高他們的學習興趣.

設計意圖 “勾股定理”一章內容較少，只有三節，包括勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理的簡單應用.作業1第（1） 題是勾股定理的直接應用，題目設定在直角三角形中已知兩邊求第三邊，可直接利用勾股定理求出斜邊，再利用矩形面積公式求出答案.本題的設計也是對章節起始課引入面積法的一種回應.第（2） 題則是對勾股數這一概念的考查，也是對勾股定理逆定理的鞏固.滿足勾股數的條件，首先三個數都是正整數.第（3）題、第（4）題是針對勾股定理逆定理的設計，第（3）題先判斷“形”，再計算“積”，解答此題的關鍵是先由三邊之間的關系確定三角形為直角三角形，再明確直角邊，利用三角形面積公式去求解；第（4）題是由“積”之間的關系判斷“形”.這兩題的設計不僅考查了學生對勾股定理逆定理的理解，還培養了學生的幾何直觀與運算能力.第（5）題由“數”到“形”，是勾股定理逆定理的直接應用，主要考查學生的運算能力.特別是第①數組，學生往往容易與第③數組、第④數組混淆.作業1以基礎知識為主，重在筑牢淺層學習的基礎，為學生的深度學習打好基礎.

2. 精選綜合性作業

深度學習是在理解基礎上的學習， 而數學理解的基礎是數學應用［5］ .作業的選取，要關注學生的個性發展.精選綜合性作業，可以鞏固學生對新知的應用能力，有效發展學生的數學思維，提升學生的數學學習能力，進一步促進學生的深度學習.

【作業2】

（1）如圖3， △ABC中， AB =AC=13，BC=10，BD是△ABC的高，求BD 的長.

（2）如圖4，長方形紙片ABCD中， AB=12， BC=5， 點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，求AE的長.

（3）如圖5，Rt△ABC中，∠C =90°， AD平分∠BAC， CD=1.5，BD =2.5，求AB的長.

設計意圖 作業2中的3道題，在“勾股定理”一章中屬于中檔綜合題，并且是最近幾年常考的題型.第（1）題是方程思想在幾何題中的應用，要求的量BD是解題的“ 橋梁”，是Rt△ABD，Rt△CDB 的公共直角邊.這種情況下，一般不直接設元，而應設間接未知數，設AD 或CD，然后，利用勾股定理求出AD或CD的值，再二次利用勾股定理求出BD的長.第（2）題是勾股定理中最常見的折疊類問題，解決折疊類問題的關鍵在于厘清折疊前后的對應邊和對應角（即相等的邊、角）.本題中，由折疊可知AE = A′E，AD = A′D=BC=5.可采用設元法，設AE = A′E =x，在Rt△A′BE 中求解.第（3） 題圖形看似簡單，實則綜合性較強.這道題綜合了角平分線性質、全等、方程以及勾股定理等多個知識點，教師需引導學生回顧角平分線性質，轉移CD.學生自然聯想到過點D 作DE⊥AB，利用勾股定理在Rt△BDE 中求出BE的值. 接著，利用全等證AC=AE，設AC= AE = x，二次利用勾股定理在Rt△ABC中列方程求出AE的值，進而得出結論.作業2設計的3道題綜合性較強，題目的設置由淺入深，層層遞進，因此解題方法并非無跡可尋，而是重在過程性引導.通過引導，幫助學生厘清解題思路，探究解題過程，從而培養學生應用勾股定理解決問題的能力.歸根到底，數學知識的學習，重在培養適應學生發展所需的核心素養，發展學生應用數學知識發現問題、分析問題、解決問題的能力.

3. 注重創新性作業

新課標倡導創新導向，因此作業的選取應緊跟新課標要求，凸顯學生的主體地位，同時關注學生個性化、多樣化的學習及發展要求.在選取素養提升性作業時應注重知識的銜接和過渡，確保學生能從淺層學習自然過渡到深度學習，避免作業難度過大導致學生無從下手.必要時，可設置前置性作業.

【作業3】

勾股定理神秘而美麗，古今中外出現了多種多樣的證法.教材介紹了美國第20任總統加菲爾德的證明方法，簡稱“總統證法”；我國數學家趙爽利用“趙爽弦圖”證明了勾股定理.上述證法各有千秋，值得我們借鑒和學習，其中“面積法”運用得比較多.下面，請利用面積法，借助圖6、圖7，完成勾股定理的證明過程.

（1） 如圖6，將兩個全等直角三角形按圖示方法擺放，其中∠DAB =90°，求證：a²+b² =c².

（2） 如圖7，若將兩個全等直角三角形按圖示方法擺放， 其中∠DAB = 90°，求證：a²+ b²=c².

設計意圖 勾股定理具有悠久的歷史，古今中外出現了很多種證法.作業3解題難度較大，可設置前置性作業

作為鋪墊.上課伊始，教師可出示總統證法和趙爽弦圖的拼圖，介紹總統證法和趙爽證法.經典證法的回顧，可使學生在探究過程中與古人和同伴發生思維碰撞，深刻感悟數學領域面積法的精妙之處，體會勾股定理的證明過程.在繼承中創新，在創新中發展學生的核心素養，推進學習的深度與廣度，真正實現深度學習.

思考與感悟

以上案例表明，指向深度學習的單元作業設計可有效促進學生核心素養的發展，大大提高作業質量.作業質量的提高是“雙減”工作的重要保障.為了更有效地推進深度學習，作業設計需注意以下幾點：

1. 時刻關注學生學習中的生成性變化

教學過程是一個生成性過程，同理，作業完成過程亦是一個生成性過程.在作業探究過程中，通過題設的變化以及點、線元素的增減，可生成新的問題和新的幾何圖形.在解決這些新問題的過程中，學生會不斷地進行新的思考.在勾股定理的單元作業設計中，教師既要關注學生探究規律的過程，又要關注學生思維的發展變化.教師應及時調整作業內容，使作業設計更加符合學生的思維發展規律，更好地助力學生實現深度學習.

2. 關注淺層學習與深度學習的自然銜接

單元作業內容的選取應緊扣章節核心，無論是小到每一道題的每一小問，還是大到一個課時乃至一個單元的作業設計，都要遵循由淺入深、層層遞進的原則，確保知識的銜接性與系統性.同一單元的不同課時存在千絲萬縷的聯系，因此甄選單元作業的內容時，應從結構化、整體化的角度出發.選取的內容既要覆蓋整個單元的知識點，又要確保結構層次清晰，做到由淺入深、巧妙關聯，切忌出現斷崖式作業.文中提到的作業1、作業2、作業3的選取恰當地詮釋了由淺層學習向深度學習的自然過渡，讓學生在深度學習的過程中形成關鍵能力與必備品格.

3. 關注作業的評價與激勵功能

深度學習的過程重在體現數學的育人價值，因此要充分發揮評價的育人導向作用.在作業評價方面，應注重作業評價方式的多樣性和評價角度的多元性，以實現“以評促學”和“以評促教”.

對于作業的評價，不能只關注結果，而應貫穿學生完成作業的整個過程，包括學生的態度、正確率以及由此衍生出來的解決問題的能力等.對于優秀作業和典型性問題作業，可采用師生交流、生生交流等多元化的評價方式，通過評價激勵學生，并在激勵中使學生的思維得到升華.總之，高質量的單元作業設計，其內容的選取應符合“雙減”背景下“減負提效”的作業要求，真正做到促進學生的深度學習，推動學生的發展，助力學生核心素養的形成.