深度學習視域下數學建模教學的探索

【摘要】文章基于深度學習的視角，從聚焦單元知識、融合實踐活動、優化思維邏輯三個維度，探索了優化高中數學建模教學的策略，發現創新的教學模式有助于提高學生的數學建模素養，培養其建模意識。

【關鍵詞】高中數學；深度學習；數學建模

數學建模是培養學生應用數學知識解決實際問題的重要途徑，它強調學生在理解數學概念的基礎上，運用綜合思維，構建數學模型，并將其應用于實踐。深度學習視域下，數學建模教學可以進一步促進學生對數學知識的內化和應用能力的提升。本文將從多方面探討數學建模的教學策略，以培養學生的綜合思維能力。

一、聚焦單元知識，熟悉建模教學的類型

1.函數模型，描述變化規律

函數模型是通過建立自變量和因變量之間的對應關系，描述事物變化的規律。學生需要在理解函數概念的基礎上，批判性地分析問題情境，選擇合適的函數類型，構建函數模型，并將其應用于實際問題的解決。

在教學“三角函數”的時候，教師可以引導學生建立三角函數與現實問題之間的聯系。例如，教師可以提出這樣一個問題：某地的日照時間隨季節變化，如何建立數學模型來描述這一變化規律？教師引導學生分析，日照時間的變化具有周期性，可以用正弦函數來描述。設t為時間（以月為單位），H為日照時間（以小時為單位），則可以建立如下函數模型：H（t）=12+4sin（π（t-3）/6）。其中，12表示日照時間的平均值，4表示日照時間變化的幅度，π（t-3）/6表示日照時間變化的周期為12個月，且在第3個月達到最大值。通過這個模型，學生可以計算出任意時間的日照時間，并理解日照時間變化的規律。函數模型的建立過程體現了深度學習下的數學建模思想，學生在理解的基礎上，將新知識與原有認知結構相聯系，構建完整的知識體系。

2.數列模型，計算利潤利率

在數學建模中，數列模型常用于描述事物的遞增或遞減規律，特別是在經濟和金融領域，如利潤增長、資金積累等問題。通過構建數列模型，學生不僅能深入理解數列的性質，還能將抽象的數學概念應用于實際問題的解決中。

在教學“等比數列”的時候，教師可以引導學生建立等比數列與利潤利率之間的聯系。例如，教師可以提出這樣一個問題：某企業投資1000萬元，年利率為8%，假設每年的利潤全部用于再投資，求10年后的總資金量。教師引導學生分析，每年的總資金量是前一年的1.08倍，形成了一個等比數列。設An為第n年的總資金量，則可以建立如下數列模型：An=1000×1.08n-1。其中，1000為初始資金量，1.08為等比數列的公比，n為年數。通過這個模型，學生可以計算出第10年的總資金量為A10=1000 ×1.089≈2158.92（萬元）。通過等比數列模型計算利潤利率的教學案例，學生不僅掌握了等比數列的性質和求和公式，更重要的是學會了如何構建數學模型進行求解。這一過程促進了學生深度學習的發生，提升了他們的數學建模能力，還培養了他們的經濟意識，體現了數學學科的實用價值。

3.方程模型，轉化等量關系

方程模型是將實際問題中的等量關系轉化為數學表達式，幫助學生深入探索問題的本質。在解決涉及二次函數、一元二次方程及不等式的問題時，方程模型尤為重要，它使學生能夠利用數學語言精確地描述問題，并通過求解方程找到最優解或滿足條件的解集。

在教授“二次函數與實際應用”的課程中，教師引入了一個關于銷售利潤最大化的案例。假設某商品的銷售量Q與銷售價格p之間的關系為Q=-5p2+250p，每件商品的成本為50元。為了找到使利潤最大化的銷售價格，教師引導學生設立利潤函數L（p）=（p-50）Q=（p-50）（-5p2+250p），并展開為二次函數形式。隨后，教師沒有直接給出求解過程，而是鼓勵學生通過完成平方或求導等方法找到函數的極值點。學生經過探索，發現當銷售價格為55元時，利潤達到最大。此過程不僅加深了學生對二次函數性質的理解，還讓他們親身體驗了如何將實際問題轉化為數學模型并求解的過程。

二、融合實踐活動，拓展建模教學的途徑

1.研究性學習，理解知識本質

數學建模的核心在于通過抽象的數學理論，解釋和解決現實世界中的復雜問題。在研究性學習中，學生通過主動探索與實際問題相結合，深入理解數學知識的本質。

在教學“導數的概念及其意義”的時候，教師通過實際的物理情境引入導數的概念，例如，教師展示了一輛車的行駛數據圖，圖中顯示了時間與汽車行駛距離的關系。教師提出問題：“如果我們想知道在某一時刻，這輛車的速度是多少，該如何求解？”在課堂上，教師讓學生觀察“距離-時間”圖像，鼓勵他們提出，速度的瞬時值其實就是我們在某一點上求的切線的斜率，而這便是導數的定義。隨后，教師引導學生設定函數s（t）為汽車在時間t時的位移，假設汽車在t=0到t=10秒內行駛了不同的距離，通過記錄數據構造函數，如：s（t）=5t2。在該函數模型下，汽車的平均速度可以表示為米/秒，

瞬時速度則需要用到導數來求。教師引導學而生計

算導數：，在t=5秒的時候，學生可

以得到瞬時速度s＇（5）=10×5=50米/秒。通過此例，學生不僅學會了如何計算導數，還理解了導數所代表的瞬時速度的意義。通過研究性學習，教師運用與實際問題緊密結合的案例，幫助學生理解導數的概念及其在生活中的應用。學生不僅學會了如何求導，更重要的是，認識到導數在描述變化與速度中的核心作用，使他們換種思維思考如何將抽象的數學知識與現實問題相結合。

2.跨學科學習，生成創意方案

跨學科學習可以通過實現各個學科之間的互動，數學作為自然科學的基礎，與物理、工程等其他學科緊密相連。如學習空間向量，不僅幫助學生理解空間的幾何關系，更為物理學中的力、速度等概念提供了強有力的模型支持。

在教學“空間向量的應用”時，教師先讓學生回顧空間向量的基礎知識，包括向量的定義、加法、減法和數乘等運算。之后，教師提出一個實際問題：假設有一艘漁船在海面上航行，已知漁船的

初始位置向量為（表示在三維空間中的坐

標），漁船的航行速度向量為（單位是千米/

小時），并要求學生計算在2小時后，漁船的位置向量。這里，教師可以引導學生進行如下步驟：

（1）計算位移向量：教師引導學生先計算位移向量，即時間乘以速度得到的向量：

（2）更新位置向量：教師指示學生通過向初始位置向量添加位移向量來獲得漁船的新位置：

（3）綜合討論：與學生討論漁船到達的新位置在海面上的實際意義，引導學生思考如何利用空間向量的方法進行其他類似問題的求解，如運動中的相遇問題。

通過跨學科學習，教師能夠有效地將空間向量的數學知識與現實生活中的問題相結合，使學生在實踐活動中生成創新方案。在具體的教學案例中，教師通過求解漁船的位置向量，不僅展示了數學建模在實際問題中的應用，也激發了學生的探索精神。

三、基于思維邏輯，優化建模教學的過程

1.尋找原型，抓取關鍵信息

原型總結了問題的本質，而關鍵信息則幫助學生在建立模型時快速把握核心概念。通過關鍵信息，學生能夠在復雜問題中找到簡單的數學結構，從而進行有效建模。

在教學“復數的四則運算”時，教師選擇了關于電路的相關問題來進行模型構建。考慮一個交流電路，其中電壓和電流可以用復數表示。教師介紹了復數，包括形式a+bi（其中a和b為實數，i為虛數單位），以及它們的四則運算。在這里，教師強調了復數的加法和乘法運算：

教師引導學生進行逐步簡化，最終得出I=A+Bi的形式，幫助學生理解復數在電路理論中的應用。

通過這種方式，教師展示了如何在課堂中將抽象的復數運算與電路相結合，引導學生在電流和電壓計算中掌握復數的四則運算，培養了他們進行數學建模的思維習慣。

2.數字支持，調整關鍵數據

數字的支持使得教學過程中的關鍵數據調整變得更為高效和直觀。現有技術的多次升級，教師在處理數據時更加順利，如Excel軟件結合了強大的數據計算和分析功能，教師在處理數據時就可以調用其內置的函數功能和圖表功能。

在教學“離散型隨機變量及其分布列”的過程中，教師以數據支持和數學建模的方式開展課堂活動。設想某個班級正在進行一次期末考試，教師希望通過這次考試成績來分析班級總體表現。假設班級共有30名學生，其考試成績（離散型隨機變量）為：65，70，75，80，85，90，95，100，70，80，75，85，90，95，80，75，70，65，60，95，90，85，80，75，70，100，90，70，65，100。教師使用Excel指導學生統計這組數據的頻率，構建出離散型隨機變量的分布列。為此，先組織學生將成績分組，例如60-69：4個；70-79：9個；80-89：7個；90-100：10個。

接著，教師引導學生計算每一組的概率，并最終形成概率分布列：P（X=60-69）=4/30=0.133；P（X=70-79）=9/30=0.300；P（X=80-89）=7/30=0.233；P（X=90-100）=10/30=0.333。

完成這一過程后，教師可以通過統計圖形（如柱狀圖或條形圖）直觀地展示出整個班級的考試成績分布情況，也有助于學生理解隨機變量的概念。

3.聯系生活，強化應用意識

在數學教學中，特別是在建模教學中，聯系生活情境對于學生的學習至關重要。通過真實的情境，學生能夠更好地理解這些知識的背景及意義。通過生動的實例，學生可以在實際使用中體會到基礎知識在生活中的應用價值。

講解“排列與組合”時，教師選擇帶領學生策劃一次學校的文藝匯演。在此過程中，教師提出，假設學校此活動有4個節目：舞蹈、歌曲、小品和樂隊，現需要從這4個節目中選出3個進行匯演，并在演出順序上排定次序。考慮到選出3個節目的順序問題，這實際上是一個排列的問題。教師問道：“同學們，如何計算從4個節目中排列出3個節目的不同順序呢？”在學生的討論中，教師鼓勵他們回憶排列

的公式，并給出排列公式為Anr，其中Anr表示從n個中選取r個的排列方式。然后，教師提供具體數據，n=4（節目總數），r=3（要選取并排列的節目數）。于是，教師繼續計算：

教師通過示例計算得出，選擇3個節目并排列的方式共有24種。接下來，教師還可以引導學生考慮另一種情況，即如果不考慮節目順序，僅僅選擇3個節目的組合，則這就是一個組合問題。教師提到組合的計算公式為。此時，學生再以相同

的例子進行計算：

因此，學生感受到，從4個節目中選擇3個節目的組合有4種方式。在這個過程中，教師不僅教授了排列與組合的基本知識，也提高了學生的實際應用意識，使他們能夠看到數學與生活的緊密聯系，同時增強了他們解決實際問題的能力和信心。

隨著社會發展對數學應用能力的日益重視，數學建模教學必將在高中數學教育中發揮越來越重要的作用，成為培養創新型人才的重要途徑。

【參考文獻】

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