發展幾何直觀 優化解題路徑

摘"要：

隨著新高考改革的全面開展，2024年高考數學試卷題目總量由22題減至19題，使得試卷結構更加靈活，對于學生思維過程與思維能力的考查更加突出.解析幾何作為高考內容的重要組成部分，重“代數解析”輕“幾何特征”的解題方式已不符合新高考重思維考查的要求，應探尋借助幾何直觀、剖析圖形特征、實現運算縮減、深化理性思考的問題解決路徑，以促使學生幾何直觀能力得到提升，促進學生理性思維的有效發展．

關鍵詞：幾何直觀；解析幾何；數學運算；理性思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出幾何直觀的內涵為“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”^［1］；《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出以幾何直觀和空間想象為核心的直觀想象核心素養，它主要包括“利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路”^［2］；我國數學教育專家孔凡哲、史寧中指出“幾何直觀是學習者在直觀感知的事物基礎上形成的理性思考”^［3］；數學教育家王尚志將幾何直觀歸納為一種想象力，主要是“依托和利用圖形進行數學的思考和想象”^［4］.總之，幾何直觀就是借助幾何圖形的直觀特征將抽象的數學問題與直觀的圖形語言聯系起來，通過數形結合，找到解決問題的最佳路徑，實現以簡馭繁的問題分析與問題解決．本文以九省聯考和2024年數學新高考I卷中解析幾何解答題為例，探尋借助幾何直觀、剖析圖形特征、實現運算縮減、深化理性思考的問題解決路徑，以促使學生幾何直觀能力得到提升，促進學生理性思維的有效發展．

1"案例分析

例1"（2024年九省聯考數學第18題）已知拋物線C：y²＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點.

（1）證明：直線MN過定點.

（2）設G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值．

解法1：（1）直線MN過定點（3，0），證明過程略.

（2）先求直線MN的方程.設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），直線l的方程為x＝my＋1（不妨令m＞0），由x＝my＋1，

y²＝4x，得y²－4my－4＝0，

則有Δ＞0，y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝－4，得M（2m²＋1，2m），同理得y₃＋y₄＝－4m，y₃y₄＝－4，N（2m²＋1，－2m），故直線MN的方程為mx－（m²－1）·y－3m＝0.直線AE的方程為y＝y₄－y₁x₄－x₁（x－x₁）＋y₁，又y²₁＝4x₁，y²₄＝4x₄，化簡得y＝4y₁＋y₄x＋y₁y₄y₁＋y₄，同理可得直線BD的方程為y＝4y₂＋y₃x＋y₂y₃y₂＋y₃，聯立兩直線方程得x_G＝y₁y₂y₃＋y₂y₃y₄－y₁y₂y₄－y₁y₃y₄4（y₂＋y₃－y₁－y₄），又y₁y₂＝y₃y₄＝－4，故x_G＝－4y₃－4y₂＋4y₄＋4y₁4（y₂＋y₃－y₁－y₄）＝－1，將其代入直線AE的方程得y_G＝y₁y₄－4y₁＋y₄.由方程y²－4my－4＝0，解得y₁＝2m－2m²＋1，同理可得y₄＝－2m－21m²+1，代入化簡可得y_G＝2（m－1）m＋1，所以點G的坐標為－1，2（m－1）m＋1.求△GMN的面積.點G到直線MN的距離d＝|2m²＋2 |m²＋（m²－1）²＝2（m²＋1）m⁴－m²＋1，由弦長公式或兩點間距離公式可得MN＝2（m²＋1）m⁴－m²＋1m²，故△GMN的面積S＝12d·MN＝12·2（m²＋1）m⁴－m²＋1·2（m²＋1）m⁴－m²＋1m²＝2（m²＋1）²m²＝2m²＋1m²＋2≥8，當且僅當m＝1時，△GMN的面積取得最小值8．

解法2：（1）略.（2）先進行等積轉化.記線段AD的中點為H，直線GM與AD的交點為S，由H，M分別為AD，AB的中點可得MH∥DG，則有S△GHD＝S△GMD，故有S△GHS＝S△SMD，記直線GN與AD的交點為T，同理可得S△GHT＝S△TNA，故有S△GMN＝S四邊形ADMN＝12AM·DN＝18AB·DE.設直線l的方程為x＝my＋1，由x＝my＋1，

y²＝4x，得y²－4my－4＝0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則有Δ＞0，y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝－4，則AB＝1＋m²"|y₁－y₂|＝4（1＋m²），同理可得DE＝41m²＋1，故有S△GMN＝18×4（1＋m²）×41m²＋1＝2m²＋1m²＋2≥8，當且僅當m＝1時，△GMN的面積取得最小值8．

評析：九省聯考數學測試卷的第18題在師生間引起了巨大反響.本題以解析幾何中的拋物線為基本問題情境，考查拋物線與直線的位置關系與度量關系，考查所形成圖形面積的最值問題，考查學生的“四基四能”、幾何直觀能力與數學運算素養.其中第（2）問設計巧妙，“想得到”與“想不到”的計算量懸殊，如果延續第（1）問的解題思路，采用解析幾何的常規方法先聯立方程得到M，N兩點的坐標，求得直線MN的方程及線段MN的長度，再聯立直線AE與BD的方程求出交點G的坐標及點G到直線MN的距離，最后寫出△GMN面積的表達式以求得最小值，那么作答過程非常繁雜，很難完成解答；若學生在緊張的考試中能夠“停一停、想一想”，巧妙地結合平面幾何中三角形面積全等的知識，采用等量代換的方法，就能獲得S△GMN＝S四邊形ADMN，從而比較輕松地完成△GMN面積最小值的求解．

例2"（2024年數學新高考Ⅰ卷第16題）已知點A（0，3）和點P3，32分別為橢圓C：x²a²＋y²b²＝1 （a＞b＞0）上兩點.

（1）求C的離心率.

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．

解法1：（1）C的離心率為12，求解過程略.

（2）先聯立方程，求得弦長PB.橢圓C的方程為x²12+y²9=1.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時B3，－32，S△ABP＝92≠9，不符合題意，舍去；當直線l的斜率存在時，直線l的方程可設為y－32＝k（x－3），即為y＝kx＋32－3k，由y＝kx＋32－3k，

x²12+y²9=1，得到（3＋4k²）x²＋12k（1－2k）x＋36k²－36k－27＝0，設點B（x₁，y₁），則有Δ＞0，x₁＋3＝12k（2k－1）3＋4k²，3x₁＝36k²－36k－273＋4k²，則有PB＝1＋k²|x₁－3|＝61＋k²|2k＋3|3＋4k².通過面積列方程.點A到直線的距離d＝3|2k＋1|21＋k²，則有S△ABP＝12PB·d＝12·61＋k²|2k＋3|3＋4k²·3|2k＋1|21＋k²＝9，化簡得|（2k＋1）·（2k＋3）|＝2（3＋4k²）.聯立求l的方程.

由

（2k＋1）（2k＋3）≥0，

（2k＋1）（2k＋3）＝2（3＋4k²）

或（2k＋1）（2k＋3）＜0，

－（2k＋1）（2k＋3）＝2（3＋4k²），解得k＝12或k＝32，故直線l的方程為y＝12x或y＝32x－3．

解法2：（1）略.

（2）以AP為底，得到高.由A，P兩點坐標可求得直線AP的方程為x＋2y－6＝0，同時得到AP＝352，又S△ABP＝12AP·h，故有h＝1255，即點B到直線AP的距離為1255.通過方程組求點B的坐標，繼而求出直線l的方程.設B（x₁，y₁），則有|x₁＋2y₁－6|5＝1255，

x²₁12+y²₁9=1，化簡得x₁＋2y₁＝－6，

3x²₁＋4y²₁＝36或x₁＋2y₁＝18，

3x²₁＋4y²₁＝36，解得x₁＝0，

y₁＝－3或x₁＝－3，

y₁＝－32，故有B（0，－3）或B－3，－32，所以直線l的方程為y＝12x或y＝32x－3．

評析：歷年高考全國卷的解析幾何解答題始終保持著淡化解題技巧、依托基礎知識考查通性通法的特色，對學生的“四基四能”、幾何直觀能力、邏輯推理和數學運算素養等進行全面考查.此題在知識層面對橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、面積等進行考查，在能力與數學思想層面對幾何直觀能力、數形結合思想、推理與運算能力、轉化與化歸思想等進行了考查，體現了新高考尤其注重學生能力提升與素養發展的命題導向.其中第（2）問，如果學生不依據圖形進行深度思考，而直接借助平時的解題經驗引入直線l的方程進行解題，那么聯立方程和最終的含絕對值方程求解這兩步計算量巨大，對學生的運算能力和應試心理都是一個挑戰；如果學生具備一定的幾何直觀能力，有意識地分析圖形，尋找圖形特征，便能發現以AP為底，則三角形的底與高均為定值，接下來借助方程組便可得到點B的坐標，繼而求出直線l的方程，使得問題解決的運算量銳減，這樣才符合學生對于解決16題的運算方面和用時方面的心理預期．

在2024年高考中，筆者所執教班級學生人數為47人，數學單科班級平均分為117.4分，通過調查發現，采用解法1作答本題的學生數為32人，其余15人采用解法2或者其他做法，采用解法1的學生占比約為68％；班級數學得分超過120分的人數為21人，其中采用解法1且得分超過120分的學生人數為12人，占比約為57％.學生反映，在考場上比較緊張，便不加思索直接設直線l的方程進行解題，后來發現聯立方程時計算量略大，但也只能硬著頭皮做下去，或沒有做出來，使得后面的題目無法冷靜思考，這兩種結果都直接促使學生應試水平遠低于真實水平.與學生深入交流發現，選擇解法1的原因有以下兩個：其一為依賴平時的解題經驗，解析幾何解答題用“直譯法”作答過太多次，解法根深蒂固；其二為缺乏幾何直觀能力，雖有九省聯考的“教訓”在前，但還是沒有養成先去剖析圖形特征尋找最佳解題路徑的習慣，僅僅停留在識圖表象.由此可見，在幾何章節新授課教學中，教師應注重引導學生剖析幾何圖形特征，利用圖形特征進行數學問題的想象、思考與解決，提升幾何直觀能力；還應摒棄經驗教學與機械刷題模式，注重數學思考與思維品質提升，讓充滿靈活性、深刻性、邏輯性、批判性、創新性的理性思考過程發生在每一個問題解決之前．

2"結語

當今社會是信息化、數字化、智能化高速發展的時代，社會需要高中教育為大學教育輸送具有探索精神、創新意識和拔尖學習能力的優秀學子作為社會建設的儲備力量.幾何直觀作為高中生必備能力之一，既可以促使學生更好地理解探索數學學科本質，又可以促進學生創新思維與發散思維的發展，應引起廣大師生的重視與思考．

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的一點認識［J］.課程·教材·教法，2012（7）：92-97.

［4］王尚志，胡鳳娟.理解把握數學課程中的核心概念（一）——《義務教育數學課程標準（2011 年版）》解析之三［J］.小學數學教育，2012（Z2）：8-11.