例談網格里的中考數學題

【摘要】近幾年網格類題目屢屢出現在中考數學試卷中，常涉及求線段長度，借助勾股定理結合網格邊長與坐標差值來計算；求圖形面積，采用分割或拼湊成規則圖形的方法，依據網格邊長算出結果；圖形變換類題目，平移需按指定方向移動圖形并找出坐標變化規律，旋轉要繞格點按角度操作，軸對稱則要找出對稱點并連線畫圖；證明幾何關系，要依靠網格的平行、垂直等特性，通過算邊長、角度等去證明線段平行、垂直以及判斷三角形的類別等情況.

【關鍵詞】網格題；初中數學；解題方法

網格類題目已經成為近幾年各地中考試題中的熱點問題.這類題目主要考查學生運用數學知識解決實際問題的能力及動手操作能力，培養其探究意識和創新精神.網格中的數學問題的常見題型主要有：①面積、坐標、三角函數等知識在網格中的應用；②使用勾股定理的計算題在網格中的應用；③在網格中運用分類討論思想解決數學問題；④在網格中進行平移、旋轉等操作；⑤網格圖形的操作方案設計問題；⑥相似、圓的知識在網格中的應用；⑦各類知識在網格中的綜合應用.在中考試卷中，網格類試題主要有以下幾個考查方向：

1空間觀念與幾何直觀

考查學生對圖形的觀察能力，要求學生能夠準確識別圖形在網格中的位置、形狀和大小.例如，通過觀察判斷一個三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形.考查圖形變換，包括平移、旋轉、軸對稱.學生需要根據題目要求對圖形進行操作，并且能夠想象出變換后的圖形位置和形狀.

例1 （2023·鹽城·二模）鹽城市紡織染整產業園為國家級綠色紡織生產基地，現有一塊矩形布料的兩邊長分別是2米與3米，若把這個矩形布料按照如圖1的方式擴大到面積為原來的2倍，設原矩形布料的一邊加長a米，另一邊長加長b米，可得a與b之間的函數關系式b=12a+3－2．某校“數學興趣小組”對此函數進一步推廣，得到更一般的函數y=12x+3－2，現對這個函數的圖象和性質進行探究，研究過程如下：

（1）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，請用描點法畫出y=12x+3－2的圖象，并完成如下問題：

①函數y=12x+3－2的圖象可以由函數y=12x的圖象向左平移 個單位，再向下平移 個單位得到，其對稱中心坐標為；

②根據該函數圖象指出，當x在什么范圍內變化時，y≥－1？

（2）若要使面積擴大兩倍后的這塊布料周長最小，請你幫助該校“數學興趣小組”設計出符合要求的擴大方案．

分析（1）用描點法畫出圖象即可．①根據函數圖象的平移規律即可解答；②先求出y=－1時，x的取值，然后結合函數圖象即可解答．（2）寫出周長的表達式，并將其中的b用a表示出來，再利用m+n≥2mn（m≥0，n≥0），當m=n時，m+n取最小值，從而求出a和b的值．

詳解略.

答案（1）畫圖略.

① 3，2，（－3，－2）．

② －3lt;x≤9．

（2）當a=23－3，b=23－2時，這塊布料的周長最小．

點評本題考查反比例函數的圖象及性質，涉及平移等圖形變化方面的知識，熟練運用基本幾何圖形的性質作圖是解答本題的關鍵．格點作圖題具有一定難度，在對圖形進行平移、旋轉、軸對稱等變換時，要能夠想象出圖形在空間中的位置變化，準確把握圖形的形狀、大小和方向.

2計算能力和邏輯推理能力

長度計算：利用網格邊長，結合勾股定理可算出線段長度.例如，已知網格中兩點的坐標時，就能據此求出兩點間連線的長度.面積計算：一是直接計算規則圖形面積，如矩形、正方形、直角三角形等；二是通過分割或拼接的方法計算不規則圖形的面積.

證明幾何關系，如證明兩條線段平行或垂直.可以利用網格中直線的平行和垂直關系，通過計算斜率（在初中可以通過線段所在直角三角形的邊長比例關系來簡單理解）或角度來進行推理.

例2我們知道，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．

（1）如圖3所示，①在邊長為1的方格紙中，線段AB的長度為；

②在圖3中找到一點C，使得△ABC的兩條邊長分別為10，17，則三角形的面積為．

（2）現在有一個三角形的三條邊長分別為36a2+9b2，25a2+b2，a2+4b2，且滿足agt;0，bgt;0．請利用構圖法求這個三角形的面積（用含a、b的代數式表示）．

（3）參照上面構圖的思想方法，構圖求代數式x2+25+20-x2+100的最小值．

分析（1）運用勾股定理求邊長，利用割補法求面積；（2）利用勾股定理作圖，利用割補法求面積；（3）構造直角三角形，應用勾股定理表示AE=25+x2，DE=20－x2+100，再將問題轉化為三角形的三邊關系求最值，最后再運用勾股定理求解即可．

詳解略.

答案（1）①13；②112；（2）92ab;（3）25．

點評本題考查的是勾股定理，割補法求面積等，解題的關鍵在于學會利用割補法求三角形面積，熟練掌握尺規作圖的常見作法并能夠根據題意正確作圖．考查邏輯推理能力，在證明幾何關系的題目中，學生需要利用網格的特性（如平行、垂直等），通過嚴謹的邏輯推理來證明線段平行、垂直，三角形全等、相似等關系.熟悉網格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

3結語

綜上，網格數學題主要培養學生以下幾種能力：一是空間觀念，學生需要在腦海中構建和操作圖形.二是幾何直觀能力，網格為幾何圖形提供了直觀的背景.學生可以直接觀察圖形在網格中的位置、大小，形成對幾何問題的直觀判斷能力.三是計算能力.涉及線段長度計算時，學生需要運用勾股定理，這要求學生熟練掌握平方、開方運算.對于圖形面積的計算，無論是規則圖形還是不規則圖形，要能夠靈活運用面積公式，準確計算，從而提高計算的準確性和熟練程度.四是數學建模能力，解決網格中的不規則圖形面積等問題時，學生需要將實際的幾何圖形問題簡化為數學模型.