在高中數學教學中發展學生數學建模核心素養

摘 要：落實數學建模素養的培育工作，既能培養學生的數學應用能力，激發學生的創新思維，又能有效提升學生的數學學科核心素養水平和課堂教學效果。然而，由于教師數學建模素養有待提升，學生對數學建模的認知尚不充分，使得高中生數學建模素養培養效果未能達到預期。高中數學教師應明確建模教學的要求，基于教學內容的分析確定教學重點、難點和教學目標，通過問題分析與研究假設的提出、數據收集與變量間的關系分析、模型的構建與模型合理性的檢驗、模型的應用與結果呈現等環節有效落實課堂教學。

關鍵詞：數學建模；高中數學；核心素養；教學策略

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0091-06

2014年9月，國務院發布《關于深化考試招生制度改革的實施意見》，開啟了新一輪高考改革，廣西則于2021年啟動新課程、新教材、新高考改革。新高考數學試題摒棄了傳統的命題框架，以靈活且科學的方式設定試題內容與順序，進一步強化了基礎知識的考查。同時，數學試題融入了綜合性、應用性和創新性的要求，突出對理性思維的考查，增強數學學科在人才選拔中的作用，旨在全面考查考生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等六大核心素養。改革的目的是引領一線教師將教學重心由單純解題技巧的總結，轉向全面培養學生的學科核心素養，充分重視思維能力、探究能力和獨立解決問題能力的培養。數學建模在攻克實際問題、推演科學規律及制定決策中有著關鍵作用，已成為現代公民不可或缺的基本素質。將數學建模正式列入學科必修內容，是我國高中數學課程發展中的第一次［1］13。數學建模活動與數學探究活動，是落實高中數學課程標準中數據分析、數學抽象、邏輯推理等核心素養培養工作的重要載體。提升高中生的數學建模素養，一方面能提高學生的實踐能力和數學應用能力，為學生提供一個“現實的出口”，使學生能經歷完整、系統地從知識學習到應用的過程，滿足學生數學思維發展的需求［1］13；另一方面能促進教學方式的轉變，使之貼合教育改革發展的趨勢。然而，當前數學建模教學面臨教師素養不足、教學資源匱乏和學生參與度不高等問題。眾多教師對數學建模教學頗為陌生，在教學中往往傾向于讓學生解答那些現成的、條件設定明確的題目，導致學生缺乏數學建模的實踐經驗。同時，教學環境和教學資源的局限也導致學生無法深入參與建模活動；評價機制的不完善，也很難充分評估學生在解決實際問題和創新思維方面的表現。

一、數學建模教學的相關要求

（一）精準把握數學建模教學的五個關鍵要素，培育學生的建模素養

高中數學學科教學的一個重要目標是培育學生的數學建模素養，使他們能在實際情境中，從數學的視角出發，發現問題、提出問題、分析問題，進而構建模型、確定參數、進行計算求解，并檢驗結果、對模型進行改進，最終解決實際問題，積累豐富的實踐活動經驗。在開展數學建模教學時，教師應把握好以下五個關鍵要素：①活動內容。解決一個有意義的現實問題，所選的問題應該是真實的、具體的，用學生已掌握的數學知識可以解決的。②活動性質。運用數學知識、思想方法，構建一個數學模型從而解決實際問題。③活動形式。以課題研究的形式開展活動，包括選題、開題、做題、結題等四個環節。④活動過程。數學建模活動重在“活動”，即以學生活動為主，與課題研究四個環節相對應的教學活動有確定課題、撰寫開題報告、構建模型解決問題、撰寫研究報告、研究報告交流與評價等。⑤活動結果。學生通過參與數學建模活動的全過程，在獲得研究成果的同時轉變學習方式，能以多樣化的方式開展學習與實踐活動，從而逐步實現數學建模素養的發展［1］15。

（二）引導學生深刻理解模型的建構邏輯，提升學生的建模能力

對學生而言，數學建模既需要扎實的數學基礎知識，又需要對模型的建構邏輯有深刻的理解。首先，學生必須了解具體問題中所有重要的變量要素有哪些；其次，學生需要考慮如何將這些要素以數學的形式關聯起來，這將涉及確定變量之間是否存在線性關系、非線性關系或其他復雜的數學關系；最后，學生需要確定模型中的具體數值（如圖1所示）。簡而言之，數學建模即從抽象要素出發，設計模型結構，再精確設定參數值，實現由抽象到具體的轉化。其間的每一步都不可忽視，唯有如此，構建的模型方能切實解決現實問題，為決策提供堅實可靠的依據。

高中數學模型主要分為兩類：一是具有明確依賴關系和內部機理問題的數學建模；二是內部機理未知問題的數學建模。建立函數模型和統計模型是這兩類問題數學建模的典型代表。統計建模的價值在于，學生在面對未知事物內在規律時，可以通過數據收集與統計分析，揭示其最可能的運行模式，從而為決策提供堅實的數據支撐。通過高中數學建模課程的學習，學生可以有效改變學習方式，提升實踐能力、創新意識和科學精神。此外，數學建模活動還能使學生收獲五種重要能力：一是學會從背景中發現和提出問題，問題源于對現實的改進；二是學會建立、選擇合適的模型，知道模型的意義和作用；三是學會運用信息技術工具求解模型，知道統計模型中各參數的含義和作用；四是學會用數據說話，會用統計模型進行推斷、預測；五是學會合作與交流，會分工協作開展建模活動，能進行成果分享與交流。

（三）建立科學的課堂評價機制，發揮評價的激勵、導向功能

課堂評價是教師能夠迅速把握學生學習動態的重要方式；同時，它能幫助學生識別學習障礙，指明改進學習方法的道路。作為促進教與學的核心要素，課堂評價應貫穿于整個教學流程。在數學建模教學過程中，教師可通過課堂觀察、隨堂測試等方式評估學生的學習表現。評價數學建模活動應圍繞“四基”“四能”和“三會”展開，重點考查學生提出問題的多元性和差異性，以此判斷學生是否具備以數學視角審視世界的能力。在數學建模活動中，教師應該鼓勵學生從不同角度分析情境并建立數學模型，從而判斷他們是否能用數學思維理解世界［2］21，并用數學語言描述世界。在成果展示與交流環節，課堂評價應關注小組匯報和討論的過程，考查學生運用數學語言表達觀點、論證時是否條理清晰、邏輯嚴密。數學建模活動的成果通常是研究報告，教師可以通過學生間的互評來進行教學評價，讓小組成員之間相互評價，同時教師根據數學建模報告對各小組作出評估。

（四）提升教師的信息技術應用能力，保障課堂教學質量的提高

隨著教育信息化和智能化的發展，信息技術已經成為促進教育教學現代化的關鍵技術。數學建模教學作為數學學科教學的重要內容，要求教師具備較強的信息技術應用能力，以適應新形勢下的教學需求和學生學習習慣的變化。數學建模涉及大量的數據分析和模型驗證，可借助多種軟件來提高效率和準確性，因此教師要掌握專業的數據分析軟件，如MATLB、SAS、Excel、SPSS、幾何畫板、LINGO等，能夠運用這些軟件進行數據的可視化、統計分析、相關性分析等，幫助學生從數據中發現規律和問題，為模型的建立和優化提供參考依據，從而加深學生對建模過程的理解。使用軟件能夠減少煩瑣的手工計算，更快、更準確地完成建模過程中的各項任務，因此提升教師的信息技術應用能力，不僅是為了提高課堂教學的質量和效果，而且是順應教育信息化發展、培養學生實際問題解決能力和創新思維的必然需求。

二、培養高中生數學建模核心素養的教學實踐

數學建模教學地位和作用已經受到教育界的廣泛關注，如2024年廣西普通高中數學學科課堂教學優秀課例評比的指定課題之一便是《數學建模——建立統計模型進行預測》。因此，筆者就以此教學實踐為例，談一談如何在課堂教學中開展數學建模教學，提升師生的數學建模核心素養。

（一）基于教學內容的分析確定教學重點、難點和教學目標

“建立統計模型進行預測”這一內容安排在2019年人教A版普通高中《數學·選擇性必修》第三冊的最后一課，此專題活動綜合性強，涵蓋了高中數學的統計、函數及信息技術應用等多個內容。統計學作為一門學科，其研究對象主要是隨機現象，建立統計模型是探索隨機性中的規律性的重要手段。學生在學習高中統計知識后，通過建模實踐，運用所學知識解決實際問題，從而深化對統計思想和方法的理解，提升數據分析能力與數學建模能力，并培養以統計視角洞察現實世界的素養。基于以上分析，筆者將本課的教學重點設置為：一是統計問題的提出與回歸模型的建立；二是數學建模活動的關鍵環節，統計建模的實施步驟；三是統計建模活動的成果呈現與交流評價。

根據此前的教學，學生已學習了高中統計的全部知識，初步掌握了撰寫研究報告的基本要求，并了解數學建模的基本流程（如圖2所示）。但是學生在如何將統計知識運用于數學建模活動之中，缺乏必要的經驗和能力。特別是在線性回歸、線性模型的分析與應用上，學生還缺少相應的參數檢驗的方法；對復雜事件，學生也缺乏將內部機理不清楚的實際問題抽象為統計問題的經驗和能力，以及缺乏數據收集的有效方法。基于以上分析，筆者將本課的難點設置為：一是從實際背景中提煉統計問題；二是統計建模活動的步驟和方法；三是回歸方程中參數的確定；四是統計軟件的運用。

數學建模教學目標與常規教學均應遵循素養導向，但在細節上有所不同。特別是知識與技能方面，數學建模教學不僅關注數學知識內容的鞏固與應用，而且強調經歷問題解決的過程［2］20。因此，筆者將“建立統計模型進行預測”建模活動的教學目標設置為：一是能夠針對實際問題進行深入背景分析，并提出恰當的統計研究課題（開題與選題階段）；二是根據研究的問題選擇適當的方法收集數據，能根據樣本數據建立回歸模型，能求解所建立的統計模型（答題階段）；三是能運用回歸模型解決實際生活的預測問題，能對模型進行評估和修訂，能撰寫統計分析報告，并能進行交流和評價（結題階段）；四是通過統計建模活動，進一步加強統計思維，掌握運用統計的基本原理和方法，提高運用統計思想方法解決實際問題的能力。

（二）基于學習目標的達成開展教學活動

環節一：問題分析與研究假設的提出

統計建模中學生感到困難的問題之一是從實際背景中提煉統計問題，對現實問題的抽象是統計建模的起點。教師可以構思一個貼近生活的實際問題場景，引導學生深入分析問題背景中的相關因素，清晰界定研究的對象與目的，并鼓勵學生提出合理的研究假設，從而為統計模型的構建奠定堅實的基礎。

教學中，筆者參考2019年人教A版普通高中《數學·選擇性必修》內容，設計了以下教學情境。大氣污染物PM2.5（大氣中直徑小于或等于25μm的顆粒物）的濃度超過一定限度會影響人的身體健康。為研究PM2.5的濃度是否受到汽車流量、氣候狀況等因素的影響，研究人員選擇了24個社會經濟發展水平相近的城市，在每個城市選擇一個交通點建立監測點，統計每個監測點24小時內過往的汽車流量（單位：輛），同時在低空相同的高度測定每個監測點該時間段的平均氣溫（單位：℃）、風速（單位：m/s）、空氣濕度（絕對濕度，單位：g/m3）以及空氣中PM2.5的平均濃度（單位：μg/m3），得到如下頁表1所示數據。

根據生活經驗，影響空氣中PM2.5濃度的主要因素有汽車尾氣、燃料燃燒、氣溫、風速、空氣濕度等。因此，筆者指導學生全面梳理相關因素，逐一列出并深入分析各因素間的內在聯系，從中甄選出關鍵要素，進而提出科學假設：汽車尾氣排放與PM2.5濃度之間存在顯著相關性。

環節二：數據收集與變量間的關系分析

研究假設是理論上的猜測，教師需要考慮提出的假設是否符合實際，思考如何證明其合理性，以及需要哪些數據支撐這些假設，而數據收集和關系分析是將假設轉化為模型的必要路徑。氣溫、濕度及風速作為自然因素，可通過氣象監測中心獲取相關數據。至于汽車尾氣，由于直接收集難度較大，筆者采取模型假設的方式，對問題進行合理簡化，以確保模型的實用性。假設每一輛汽車排出的尾氣量是相等的，可以根據監測所得汽車流量來估計尾氣排放量。根據表1中24個城市的公開數據，通過可視化工具分析變量間的關系，發現可能的趨勢，以此確定統計模型的形式。如，將汽車流量和PM2.5的濃度看成成對的樣本數據，汽車流量看作自變量，PM2.5的濃度看作因變量繪制散點圖（如圖3所示）。我們通過觀察散點圖可以發現，PM2.5濃度隨著汽車流量的增加，呈線性增長趨勢。而對某些城市，盡管它們的汽車流量數據接近，但是PM2.5濃度卻有很大差別。這說明PM2.5的濃度除了受到汽車流量的影響，還受到許多其他因素（如風速、空氣溫度、濕度等因素）的影響。因此，PM2.5濃度與汽車流量之間是一種相關關系。通過R軟件計算汽車流量與PM2.5濃度計兩個變量的樣本相關系數，表明樣本數存在較強的正線性相關關系，這為模型的構建提供了明確的方向。

環節三：模型的構建與模型合理性的檢驗

首先，模型的構建（如圖4所示）。當學生發現變量之間的相關關系，并能夠將其用數學形式建立模型時，這一過程既能幫助他們掌握數學知識和方法，又能有效培養他們在理解復雜現象、分析和解決問題、評估模型、批判性思考、創新和跨學科應用等方面的能力，為他們未來在各個領域進行數據分析和決策提供了堅實的能力基礎。學生根據回歸分析知識，可以構建一元線性回歸模型[Y=bx+a+eE（e）=0，D（e）=σ2]，模擬汽車流量對PM2.5濃度的影響［3］，并把其他因素作為隨機誤差，然后通過最小二乘法計算模型參數a，b。但由于樣本數據復雜，較難實際操作，學生可借助信息技術工具進行計算。筆者通過現場演示在R軟件中輸入：1m（w$PM2.5濃度～w$汽車流量），運行后可算出截距參數（即a估計值）為[a=-99.69]，斜率參數（即b的估計值）為[b=138.60]。得到一元線性回歸方程為[y=138.60x-99.60]。由[b=138.60]研究顯示，隨著汽車流量的增加，空氣中PM2.5的濃度呈現線性增長趨勢。例如，在24個城市的研究中，汽車流量每增加100輛，PM2.5濃度預計增加13.86μg/m3。這一發現支持了通過控制汽車流量來預測和降低大氣中PM2.5濃度的決策。

其次，回歸模型的檢驗。對上述得到的一元線性回歸模型，我們需要檢驗其合理性與可靠性，回歸系數的顯著性檢驗可以幫助學生判斷每個自變量對因變量的影響是否顯著。在多元回歸模型中，通過比較不同自變量的回歸系數及其顯著性，學生可以了解各個自變量對因變量影響的相對大小和重要程度，從而確定哪些因素是主要影響因素、哪些是次要影響因素，為進一步研究提供依據。教學中，通常使用F檢驗和T檢驗來評估模型的有效性和參數的顯著性。

在R語言中，通過T檢驗可以評估汽車流量對PM2.5濃度影響的顯著性。T檢驗是一種統計方法，用于比較兩組樣本均值是否有顯著差異，其結果有助于學生理解變量間的相關性。設定原假設為“回歸系數為零”，計算得到的T值與臨界值進行比較，以判斷汽車流量是否顯著影響PM2.5濃度。根據T檢驗結果，若回歸系數顯著不為零，可以得出結論：汽車流量對PM2.5濃度有顯著影響。這一結論與專家觀點一致，機動車對PM2.5的影響度在10.00%—50.00%之間。此外，具體研究也表明，在非采暖期，機動車排放的PM2.5是天津市道路兩側環境空氣中顆粒物污染的主要來源之一。F檢驗則用于評估整體回歸模型的擬合優度，通過分析車流量與PM2.5濃度之間的關系，判斷車流量是否對PM2.5濃度有顯著的共同影響。通過計算F值并與臨界值進行比較，如果F值顯著，表明該模型整體有效，回歸方程能夠較好地預測PM2.5濃度。

在通過T檢驗和F檢驗確認模型的有效性后，教師還應強調回歸模型的優化和修正。此時，教師可檢查回歸模型的殘差，即實際觀測值與擬合值的差異，如果殘差的分布表現出某種模式（非隨機分布），說明線性模型可能不適用。另外，在具體實踐中，盡管課本沒有引入非線性模型進行比較，但學生可以通過殘差圖的分析，發現模型可能需要進一步修正和完善。

環節四：模型的應用與結果呈現

在該環節教學中，筆者引導學生根據回歸模型的結果進行統計解釋，并結合實際問題提出建議。如，筆者引導學生思考以下兩個問題：①我國規定空氣中PM2.5濃度的安全標準為年平均濃度35μg/m3，24小時平均濃度75μg/m3，那么當汽車流量為1 300輛和2 300輛時，計算PM2.5的濃度并判斷是否需要采取預警和干預措施？②某城市為使PM2.5濃度平均值在60—120μg/m3，擬對汽車流量作適當控制，請用所得的回歸模型，計算該城市24小時的汽車流量的取值范圍，并提出政策建議。根據問題，學生能夠利用多元回歸模型，根據特定的汽車流量預測PM2.5濃度的變化趨勢，為交通管理或環境保護政策提供數據支持。

三、“建立統計模型進行預測”一課教學反思

本課以“建立統計模型進行預測”為主題，圍繞PM2.5濃度與汽車流量之間的相關關系展開，構建并優化回歸模型，讓學生掌握統計建模的核心方法，同時培養其數據分析能力與邏輯推理能力。在課堂實施中，教學設計以學生為主體，注重知識應用與核心素養提升，教學目標基本達成。然而，在回顧教學過程時，仍有一些值得總結與改進的地方。以下，筆者將從教學設計與實施的成功經驗及不足之處展開反思，為未來教學優化提供參考。

（一）教學設計與實施的亮點

一是目標明確且注重核心素養的培養。“建立統計模型進行預測”是以數據驅動為核心，通過構建統計模型解決實際問題的課堂，教學目標聚焦于學生統計思維的培養與實際應用能力的提升。在本課中，筆者借助具體案例分析，引導學生深入理解統計建模的基本方法，并學會在實際問題中靈活應用統計模型進行數據分析與預測。在本課的學習中，學生掌握了統計模型的核心概念及其構建方法，深入理解了變量篩選、數據擬合及結果驗證等關鍵環節，且能將所學理論靈活應用于解決簡單的預測知識。通過這些課堂實踐活動，學生提高了數據分析能力與問題解決能力，尤其是使用工具構建模型和解釋預測結果的能力得到了鍛煉，發展了數學建模、數據分析、邏輯推理等高中數學學科核心素養。

二是教學方法科學且多樣化。教學中，筆者采取任務驅動法、案例教學法和合作學習法，激發學生的學習興趣，促進學生對統計模型構建與優化的深入理解。第一，利用案例教學法激發興趣。通過生活實例的導入，筆者將抽象的統計模型概念具體化，引導學生思考實際問題背后的數據邏輯，激發了他們的學習興趣和主動性。第二，利用任務驅動法增強實踐性。課堂上，通過分階段設計的建模任務，學生在教師的指導下有條不紊地完成了數據整理、模型搭建及預測驗證等步驟，這一過程極大地增強了他們學習的實踐性。第三，利用互動教學法提升學習深度。筆者將教學重心從單純講授理論知識轉向培養學生的綜合能力，教師不再是課堂的主導者，而是學習的引導者，通過問題引導使學生思考和討論，并在此過程中逐步深入理解統計建模的邏輯與應用場景，讓學生通過動手實踐和合作學習獲得知識，提升學生的解決問題能力、團隊協作能力和創新能力。

三是課堂活動高效且參與度高。在本課中，課堂活動的設計充分考慮了學生的參與性和實際操作性，從而提高了課堂的效率與學生的參與度。通過任務驅動與小組合作學習模式，學生踴躍參與統計模型的構建與數據分析，實踐中迅速領悟建模方法與技巧。每名學生都能在小組中扮演重要角色，負責數據整理、模型構建或模型檢驗等任務，這種分工合作的方式確保了每名學生都能積極參與，激發了他們的學習興趣。此外，課堂教學融入現代信息技術工具，能夠幫助學生實踐數據分析與模型構建。通過這些技術手段，學生能在更短的時間內完成數據處理和模型驗證，極大地提高了課堂的效率。

四是資源運用充分，充分發揮評價的導向、激勵作用。本課充分利用教材、數據案例和信息化工具，將抽象的統計模型教學與生活情境相結合，激發了學生對數學應用的興趣。學生不僅掌握了知識，而且提高了實踐能力和獨立解決問題的能力。在小組合作與課堂展示中，筆者適時給予正面反饋，肯定學生的探索精神與創新成果，進一步提振他們的自信心與參與熱情。這種評價方式激發了學生的內驅力，使他們不僅有效完成了課堂任務，而且主動探討變量關系和模型優化問題。資源的充分運用與評價的激勵功能相結合，為學生提供了實踐與思維的雙重鍛煉，充分展現了教學設計的科學性和有效性。

（二）教學過程中存在的問題

雖然本課教學整體表現良好，但教學設計與實施中仍顯露若干問題，具體體現在以下三個方面。一是學生參與度存在兩極分化。在小組合作過程中，每一組都有一兩名基礎較弱的學生依賴他人完成任務，參與度較低，而能力較強的學生則包攬任務，缺少與組員的深入協作。出現這一現象的原因在于筆者未充分考慮學生基礎差異，任務難度分配不當，小組任務分工欠合理且監督不足，致使學生分工失衡，合作效率低下。二是教學時間分配不夠合理。理論講解所花時間較多，壓縮了實踐環節，導致兩組學生未能完成建模任務，特別是模型驗證與反思部分。出現這一現象的原因在于課程設計時間分配不精確，且沒有根據實際情況進行靈活調整。三是課堂評價與反饋機制不夠完善。教學評價方式單一，僅限于教師提問與學生回答，未在學習過程中融入對學生創新性思維、表達能力和問題解決能力的全面評價，阻礙了學生創新思維與批判性思維的培養。課堂收尾之際，筆者的反饋缺乏針對個體的改進良策，難以點燃學生深度思考與創新的火花。出現這一現象的原因在于筆者對課堂評價的設計未予足夠重視，評價手段不夠精準，未能憑借數據化或行為記錄等科學方式深入剖析學生的學習成效。這反映出筆者在應對課堂突發情況和學生的個性化問題時，還不夠靈活和熟練，需要進一步積累教學經驗。

數學建模作為連接數學與現實世界的橋梁，是數學應用的重要手段和解決實際問題的基本方法。在素養為導向的今天，發展學生的核心素養至關重要，課程是實現核心素養培養的關鍵，課堂教學則是其主要載體，如何在數學課堂上從普通數學知識的傳授轉向學生核心素養的培養，仍需要不斷探索。

參考文獻

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［3］金熠，樓思遠.數學建模教學設計：有關PM2.5的研究與決策［J］.中小學數學（高中版），2021（12）：54-58.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

（責編 蒙秀溪）

作者簡介：李俊，1973年生，湖南郴州人，本科，正高級教師，主要研究方向為高中數學教學；黎福慶，1972年生，廣西南寧人，本科，正高級教師，主要研究方向為高中數學教學。