垂線段最短的實際應用

【摘要】線段最值問題是平面幾何中比較難的，涉及知識比較多，綜合性強，圖形比較復雜，學生難以把握.一般以動態的變化圖形為載體，探究圖形中線段長的最值，學生雖然知道垂線段最短這一定理，但對如何靈活運用此定理解決實際問題存在疑惑.本文結合實例探討應用此定理解決線段最值問題的方法，思考此定理在實際數學問題中應用的更多可能性.

【關鍵詞】垂線段最短；初中數學；最值問題

初中平面幾何中有一類最值問題，思考最值問題解題思路時，首先想到的是數學定理：垂線段最短，試圖尋找最值問題中可以使用的最短線段，但題中往往不容易找到，如何在問題求解中找到最短線段就是接下來要討論的問題.

類型1"動點軌跡確定

例1"如圖1，在△ABC中，AC=10，AB=8，△ABC的面積為30，AD平分∠BAC，E，F分別為AB，AD上兩動點，連接BF，EF，求BF+EF的最小值.

問題分析"觀察題目，可以發現E，F分別為AB，AD上兩動點，所以F，E的軌跡確定，要求的兩條線段BF和EF分別在線段AD兩側，迅速聯想到“將軍飲馬”問題，通過軸對稱把線段EF放到AD的另一側，BF+EF變為BF+FH，B，F，H三點共線，同時線段BH垂直AC時最小.

解析"過B作BH⊥AC于H，如圖2.

因為S△ABC=1/2BH×AC=30，

所以BH=6，即BF+EF的最小值為6.

類型2"動點軌跡不確定

例2""如圖3，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=6，CB=3√3，M為BC上的一個動點，將線段AM繞點A順時針旋轉60°得到線段AN，求CN的最小值.

問題分析"觀察題目，點A是定點，點M在BC所在的直線上運動，AN=AM，∠NAM=60°，由瓜豆原理（主從聯動模型）[1]知點N也在一條直線上運動，假設點M與B點重合，旋轉60°后與M在AC的延長線上D處，假設M點與C點重合，旋轉60°后到AF，由主從聯動模型，點N的軌跡是直線DF，CN的最小值問題轉化為求點C到直線DF的距離大小問題，即“垂線段最短”問題.結合已知條件很容易求出CN的最小值.

解析"如圖4，把△ACB繞點A順時針旋轉60°得△AFD，過C作CE⊥FD于點E.

因為旋轉，所以△ACB≌△AFD，

∠AFD=∠ACB=90°，

∠ADF=∠ABC=30°，AD=AB=6，

所以CE=1/2CD=1/2（AD-AC）=3/2，

所以CN的最小值為3/2.

類型3"加權（含系數）折線最值

例3"如圖5，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC邊上的動點，求2AD+DC的最小值.

問題分析"觀察題目，要求2AD+DC的最小值，變形為2（AD+1/2CD），關鍵是線段CD的一半并與AD連接，要線段CD的一半就需要30°角，于是過點C作30°角，過點D作DE⊥CE，則AD+1/2CD =AD+DE.要求2AD+DC的最小值，即求AD+DE最小值的2倍，需求出點A到CE的垂線段長，加權折線的最值問題轉化為點到直線的距離問題.

解析"如圖6，作∠DCH=30°，過點D作DE⊥CE，過點A作AF⊥CH.

在直角三角形ABC中，因為∠A=90°，∠B=60°，AB=2，所以BC=4，AC=2√3.

在直角三角形ACF中，因為∠AFC=90°，∠FAC=30°，AC=2√3，所以FC=√3，AF=AC2－CF2=3，所以2AD+DC的最小值為6.

類型4"需轉化線段最值

例4"如圖7，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，點D是BC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求線段EF的最小值.

問題分析"觀察題目，有3個動點，點D的運動決定點E和點F的運動，結合已知DE⊥AB，DF⊥AC，聯想到A，E，D，F四點共圓O，EO=FO=1/2AD，EF怎么與AD建立聯系呢？△OEF是等腰三角形，如果知道其中一個角就能建立EF與AD的關系，由圓周角定理∠EOF=2∠BAC，要求∠BAC的大小，過C作CI⊥AB于I點，用勾股定理可以算出AI=4，而AC=8，于是∠BAC=60°，所以EF=√3OE=√3/2AD，故EF的最值問題轉化為點A到直線BC的距離問題.

解析"如圖8，連接AD，取AD的中點O，過A作AH⊥BC于點H，過C作CI⊥AB于點I，連接OE，OF.因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以OE=OF=1/2AD，設AI=x，則BI=5-x，由勾股定理得AC2-AI2=BC2-BI2，即82-x2=72-（5-x）2，解得x=4，于是∠BAC=60°，∠EOF=120°，EF=√3OE=√3/2AD，當AD⊥BC時，AD最小，最小值為20√3/7，所以EF的最小值為30/7.

結語

在解決平面幾何線段最值問題時，我們經常使用垂線段最短的原理進行解答，本文中解答時的思路是將求解線段長度問題轉化為求一點到某條直線的距離大小問題，由此將其變成點到直線的距離最小問題，這時就符合使用“垂線段最短”定理的情況，解決此類問題的關鍵是綜合運用幾何知識，適當添加輔助線，建立起要求的線段與垂線段之間的聯系.

參考文獻：

[1]賴學李.“種瓜得瓜，種豆得豆”——一類“主從聯動”最小值問題的解法策略[J].數理天地（初中版），2024（05）：13-14.