配方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

【摘要】本文基于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐，將初中數(shù)學(xué)青島版九上“第四章一元二次方程第二節(jié)‘用配方法解一元二次方程’”的教學(xué)內(nèi)容作為基礎(chǔ)，通過(guò)列舉相關(guān)習(xí)題和解析的方式提煉配方法在解題中的應(yīng)用方法，旨在鞏固學(xué)生對(duì)一元二次方程解題技巧的掌握，提高學(xué)生熟練運(yùn)用配方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】配方法；初中數(shù)學(xué)；一元二次方程

在青島版教材中，一元二次方程是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，一元二次方程是初中階段學(xué)生對(duì)方程研究的繼續(xù)深入和必然發(fā)展，即對(duì)已學(xué)的有關(guān)方程知識(shí)的鞏固，又是今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)、分式方程的基礎(chǔ).“配方法”是解一元二次方程的基本方法、常用方法，在實(shí)際應(yīng)用中通過(guò)“加上”“減去”相同的項(xiàng)，將代數(shù)式中某些項(xiàng)配成完全平方式，可以達(dá)到巧解問(wèn)題的目的.

1"應(yīng)用配方法求解的一般過(guò)程

應(yīng)用“配方法”解一元二次方程的過(guò)程中，若方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)是2的整數(shù)倍，則學(xué)生可以遵循“配方法”解題的一般過(guò)程進(jìn)行求解[1].

例1"用配方法解方程x2－4x+1=0.

解析"第一步，移項(xiàng).將方程x2－4x+1=0的兩邊移動(dòng)為“一邊含有未知數(shù)項(xiàng)、一邊不含未知數(shù)項(xiàng)”的情況，即x2－4x=－1.

第二步，配方.在移項(xiàng)后的方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即x2－4x+（－4/2）2=－1+（－4/2）2，然后將x2－4x=－1左邊寫成完全平方的形式，即（x－2）2=3.

第三步，開方.結(jié)合所學(xué)的平方根的意義，采取直接開平方的方式可以得到一個(gè)一元一次方程，從而達(dá)成“降次”的目的，把一元二次方程轉(zhuǎn)化成為一元一次方程，即x－2=√3或x－2=－√3.

第四步，求解.求解兩個(gè)一元一次方程獲得結(jié)果：x1=2+√3，x2=2－√3.

由上述解題過(guò)程可知，本題主要考查學(xué)生是否能夠規(guī)范地運(yùn)用配方法解一元二次方程，使用配方法解題的一般過(guò)程為“移項(xiàng)→配方→開方→求解”[2].解題教學(xué)中教師應(yīng)側(cè)重于強(qiáng)調(diào)配方法各個(gè)步驟的順序，引導(dǎo)學(xué)生按部就班地解題，并告知學(xué)生配方降次的解題思想，從而使學(xué)生思路清晰，正確解題.

例2"用配方法解方程x2－8x+1=0，變形后正確的選項(xiàng)是（""）

（A）（x－4）2=5."""（B）（x－4）2=16.

（C）（x－4）3=7.""（D）（x－4）2=15.

解析"將方程x2－8x+1=0移項(xiàng)，可得x2－8x=－1，然后將移項(xiàng)后的方程兩邊分別加上“16”，即x2－8x+16=－1+16，則可得出（x－4）2=15.正確選（D）.

由上述解題過(guò)程可知，本題主要考查學(xué)生移項(xiàng)、配方的能力，所以解題教學(xué)中教師需引導(dǎo)學(xué)生按照“配方法”解題的一般過(guò)程進(jìn)行求解，從而快速獲知正確的選項(xiàng).

2"應(yīng)用配方法求代數(shù)式的最值

“配方法”是一種常用的解題方法，所以在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還可以應(yīng)用此種方法巧解與一元二次方程知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例3"已知一個(gè)代數(shù)式2x2－8x+9，試著說(shuō)明無(wú)論x取何實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值恒大于零，并求出這個(gè)代數(shù)式的最小值.

解析"將原代數(shù)式2x2－8x+9進(jìn)行配方，轉(zhuǎn)化為2（x2－4x+4－4）+9，然后化簡(jiǎn)為2（x－2）2+1，說(shuō)明2（x－2）2+1的值恒大于零即代表原代數(shù)式2x2－8x+9的值恒大于零.可以從（x－2）2≥0入手，從而得出2（x－2）2+1＞0的結(jié)論，故無(wú)論x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值恒大于零.最后，結(jié)合代數(shù)式2（x－2）2+1＞0，可以明確當(dāng)x=2時(shí)，原代數(shù)式2x2－8x+9有最小值，最小值為1.

由上述解題過(guò)程可知，本題主要考查學(xué)生是否能夠靈活地運(yùn)用配方法解決與一元二次方程相關(guān)的試題.本題的解題關(guān)鍵在于應(yīng)用配方法將題干所給出的代數(shù)式2x2－8x+9轉(zhuǎn)化為a（x－h(huán)）2的形式，然后再對(duì)這個(gè)代數(shù)式的最值進(jìn)行判斷.解題教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用配方法改變?cè)鷶?shù)式，從而幫助學(xué)生獲得解題思路，快速解題.

3"應(yīng)用配方法求式中的代數(shù)值

關(guān)于“配方法”在一元二次方程解題中的應(yīng)用，部分習(xí)題所求并非直接是方程的解，而是某些代數(shù)的值，對(duì)于此類習(xí)題，學(xué)生需要先配方，再代入某些代數(shù)的值，然后才能夠獲得最終的答案[3].

例4"方程x2－2x－3=0，在配方后可以轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式，那么m+n的值為（""）

（A）5.""（B）4.""（C）3.""（D）1.

解析"若想求出m+n的值，需要分別明確m與n的值，根據(jù)題干信息可以明確，一元二次方程x2－2x－3=0配方后可以轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式，那么根據(jù)配方法解一元二次方程的一般過(guò)程，先將原方程移項(xiàng)，可得x2－2x=3，然后進(jìn)行配方，x2－2x+1=3+1，則可以轉(zhuǎn)化為（x－1）2=4的形式.將（x－1）2=4與（x+m）2=n兩兩對(duì)應(yīng)，可以直觀地看出m=－1，n=4.最后，將兩個(gè)代數(shù)的值代入到m+n中，即可完成求解，m+n=－1+4=3.正確選（C）.

由上述解題過(guò)程可知，本題除考查學(xué)生是否能夠靈活地運(yùn)用配方法解一元二次方程，還考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.解題教學(xué)中，教師不僅要督促學(xué)生遵循配方法解方程的一般過(guò)程，還需要引導(dǎo)學(xué)生觀察配方后的（x－1）2=4與題干給出的（x+m）2=n，分析二者之間的關(guān)系，從而快速求出式中的m與n的值，正確解題.

4"應(yīng)用配方法求解無(wú)理方程

根號(hào)下含有未知數(shù)的方程一般叫作無(wú)理方程[4].在求解此類方程的過(guò)程中，學(xué)生可以先對(duì)方程的兩邊進(jìn)行平方，以達(dá)到去根號(hào)的目的，將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后再應(yīng)用配方法求解，最后針對(duì)方程可能產(chǎn)生增根的問(wèn)題對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，由此才能夠得出正確答案.

例5"解方程√18－7x=x.

解析"將原方程兩邊分別平方可以轉(zhuǎn)化為x2+7x－18=0，然后應(yīng)用配方法再次轉(zhuǎn)化，可得（x+7/2）2=121/4，求解該方程，x+7/2=±11/2可得x1=2，x2=－9，最后檢驗(yàn)是否存在增根，可知x2=－9為原方程的增根，所以舍去這一結(jié)果，即√18－7x=x的解為x=2.

由上述解題過(guò)程可知，對(duì)于無(wú)理方程學(xué)生并不能夠直接應(yīng)用配方法進(jìn)行求解，所以在解題教學(xué)中教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生采取平方的方式去根號(hào)，然后再應(yīng)用配方法求解，并強(qiáng)調(diào)此類方程因?yàn)閮蛇吰椒剑员仨殭z驗(yàn)是否會(huì)產(chǎn)生增根，從而獲得正確的結(jié)果.

5"結(jié)語(yǔ)

綜上所述，應(yīng)用配方法解一元二次方程，可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)化一元二次方程的解題過(guò)程.解題教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用配方法基于“移項(xiàng)→配方→開方→求解”的流程進(jìn)行解題，同時(shí)在求代數(shù)式的最值、求式中的代數(shù)值以及無(wú)理方程的過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用配方法巧解習(xí)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]盧明昊.求解一元二次方程的四種方法[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2024（08）：26-27.

[2]鄭妙蘭.提升計(jì)算能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)——“解一元二次方程——配方法”教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（06）：60-61.

[3]柯麗娟，石紀(jì)芬.構(gòu)建生態(tài)課堂中回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)——以“配方法解一元二次方程”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（02）：14-16+50.

[4]李慧琳.HPM視角下“一元二次方程的解法——配方法”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2023（05）：21-23.