【摘要】動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn),綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和幾何知識(shí),并對(duì)學(xué)生的解題能力和解題思維提出更高的要求.鑒于當(dāng)前初中學(xué)生在解題中面臨的障礙,靈活開展解題教學(xué)已經(jīng)成為一線教師研究的重點(diǎn).本文簡(jiǎn)述初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題中面臨的障礙,并結(jié)合解題實(shí)踐提出針對(duì)性的解題策略,具備一定的參考價(jià)值.
【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài)幾何;初中數(shù)學(xué);解題策略
動(dòng)態(tài)幾何是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中最為重要的組成部分之一,也是初中數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn).就這一類問題而言,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)和幾何基礎(chǔ)知識(shí)、抽象思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等,都提出了更高的要求.就近幾年而言,動(dòng)態(tài)幾何題目中涉及的知識(shí)范圍也越來越廣,命題方向也更加多元化,綜合難度系數(shù)不斷提升.鑒于此,聚焦學(xué)生在動(dòng)態(tài)幾何解題中存在的障礙,優(yōu)化解題教學(xué)策略,已成為當(dāng)前亟待解決的問題.
1"初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題障礙研究
鑒于動(dòng)態(tài)幾何問題的特點(diǎn),在常規(guī)的解題教學(xué)中,學(xué)生常常面臨著“上課聽得懂,課下做不來題”“毫無頭緒”“邏輯思維混亂”等問題.具體來說,當(dāng)前初中學(xué)生在解題中面臨的障礙主要來源于以下方面:
(1)對(duì)動(dòng)態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),部分學(xué)生由于對(duì)動(dòng)態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位,以至于其在解題中出現(xiàn)了讀不懂題意、無法挖掘出題目中隱含條件的問題.在這種情況下,學(xué)生在解題中常常毫無解題思路、找不到等量關(guān)系等;
(2)學(xué)生的運(yùn)算能力有待加強(qiáng).在動(dòng)態(tài)幾何問題中,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求.但在實(shí)際解題中,部分學(xué)生常常因?yàn)檫\(yùn)算能力低下,以至于其在復(fù)雜的運(yùn)算中常常出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤,如求解析表達(dá)式、轉(zhuǎn)換代入計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤[1].
2"初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題解題策略
2.1"依托函數(shù)性質(zhì)解決問題
最值問題是動(dòng)態(tài)幾何題目中最為常見的問題.通常,學(xué)生在解決這一類型問題時(shí),可從函數(shù)的角度出發(fā),找到題目之間的數(shù)量關(guān)系,科學(xué)設(shè)置參數(shù),最終根據(jù)所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù),基于函數(shù)的具體性質(zhì),得出最終的答案.需要說明的是,在利用這一方法解決問題時(shí),關(guān)鍵要關(guān)注自變量的取值范圍,以免出現(xiàn)錯(cuò)誤.
例1"如圖1所示,已知矩形ABCD,AB=10cm,AD=6cm,E,F(xiàn)為動(dòng)點(diǎn),分別以1cm/s、2cm/s的速度,沿著AD,DC的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)ts之后,S△DEF+S△ABE存在最大值,則t的值為("")
(A)2.""(B)3.""(C)7/2.""(D)11/2.
解析"這是一道常見的動(dòng)態(tài)幾何題目.針對(duì)這一題目的解答,學(xué)生需要從函數(shù)的角度出發(fā),根據(jù)題目中所給出的已知條件,得出DF=2AE,并求出AE的長(zhǎng)度,之后即可得出S△DEF,S△ABE和AE之間的關(guān)系,對(duì)其進(jìn)行整理之后,最終形成了一個(gè)關(guān)于AE的二次函數(shù)最值問題,繼而結(jié)合所學(xué)的函數(shù)問題進(jìn)行解答.
設(shè)AE的長(zhǎng)度為x,
則S△ABE=1/2×AB×AE=5x,
S△DEF=1/2×DE×DF=1/2×(6-x)×2x=(6-x)x=6x-x2,
則S△DEF+S△ABE=6x-x2+5x=-x2+11x(0<x<6).
令y=-x2+11x=-(x-11/2)2+121/4(0<x<6),
因此,當(dāng)x=11/2時(shí),在其取值范圍之內(nèi),S△DEF+S△ABE存在最大值,
又AE的速度為1cm/s,則t=11/2,故(D)選項(xiàng)是正確的.
2.2"基于圖形性質(zhì)解答問題
在解答初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí),依托圖形基本性質(zhì)進(jìn)行解答是最為常用的一種方法.通常情況下,學(xué)生在解答這一問題時(shí),可靈活借助所學(xué)的三角形、正方形、圓形、菱形等圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答.但學(xué)生在利用這一解題方法時(shí),必須具備極強(qiáng)的圖形思維、抽象思維,還應(yīng)熟練掌握各種圖形的性質(zhì)[2].
例2"如圖2所示,已知A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng),已知直線y=x與x軸的夾角為45°,當(dāng)線段AB最短時(shí),則點(diǎn)B的("")
(A)(0,0).""""(B)(√2/2,-√2/2).
(C)(-1/2,-1/2).""(D)(-√2/2,-√2/2).
解析"這一動(dòng)態(tài)幾何題目,具備一定的綜合性.學(xué)生在認(rèn)真分析和挖掘題目隱含條件的過程中,即可發(fā)現(xiàn):過A點(diǎn)作AP⊥OB,∠AOP=45°,進(jìn)而得到一個(gè)等腰直角三角形△PAO,之后根據(jù)“點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短”這一圖形性質(zhì)進(jìn)行解答.
過A點(diǎn)作AP⊥OB,因?yàn)锳的坐標(biāo)為(-1,0),OA=1,點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng),得知∠AOP=45°,因此△PAO為等腰直角三角形.此時(shí),學(xué)生即可根據(jù)“垂線段最短”圖形性質(zhì)得出:當(dāng)B,P兩點(diǎn)重合時(shí),AB距離最短,即B的坐標(biāo)為(-1/2,-1/2).因此(C)選項(xiàng)是正確的.
2.3"基于圖形關(guān)系解決問題
在解答動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí),學(xué)生常常可借助角度、線段之間的關(guān)系,或者是三角形相似、三角形全等、線段平行等關(guān)系進(jìn)行解答.通常,學(xué)生在利用這一方式解決問題時(shí),必須熟練掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì),并基于題目分析,正確作輔助線,進(jìn)而完成題目的解答.
例3"如圖3所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A,C分別在x,y軸上,當(dāng)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是多少?
解析"這一題目難度系數(shù)比較小,學(xué)生只要讀懂題目,找出其中的隱含條件,即可從圖形關(guān)系的角度出發(fā),通過作輔助線的方式,利用“三角形三邊關(guān)系”這一圖形關(guān)系進(jìn)行解答.
取AC的中點(diǎn)D,連接OD,BD,
則OD=CD=1/2AC=1/2×4=2.
在Rt△BCD中,
BD=√BC2+CD2=√22+22=2√2,
因此,當(dāng)O,D,B三點(diǎn)共線時(shí),B到原點(diǎn)O的距離最大,為2+2√2.
3"結(jié)語(yǔ)
綜上所述,動(dòng)態(tài)幾何題目作為高頻考點(diǎn)和難點(diǎn),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、數(shù)學(xué)思維、綜合能力均提出了更高的要求.鑒于當(dāng)前學(xué)生在解題中面臨的困境,教師必須基于動(dòng)態(tài)幾何題目的特點(diǎn),科學(xué)選擇針對(duì)性的題目,帶領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度探究尋解題方案,以便于學(xué)生在解題實(shí)踐中,真正提升其解題能力.
參考文獻(xiàn):
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[2]關(guān)麗娟.初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題常用解題技巧分析[J].數(shù)理天地(初中版),2024(20):56-57.
[3]焦多琛.初中動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)難點(diǎn)問題與對(duì)策[J].基礎(chǔ)教育論壇,2022(09):50-51.