指向深度學習，培養高階思維

【摘要】利用相似三角形計算線段比例關系是中考數學的高頻考點，其難度也較大，此類問題涉及初中平面幾何，著重考查學生的幾何素養，要求學生能夠靈活運用輔助線構造相似三角形，實現線段間的數量轉換.本文通過兩道典型例題展示此類問題的解題思路.

【關鍵詞】相似三角形；比例關系；初中數學

1"引言

利用構造相似三角形的方式來解決線段比例關系問題解題方式較為靈活，不只有一種解題方法.相似三角形的常見類型有“8字”型、“A字”型、“手拉手”型等.在解題時，需要根據題目已知條件構造合適的相似模型，以轉化問題便于求解.

2"中考數學線段比例關系型問題之“8字”型與“A字”型解題思路

例1"如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG∥AB，BG分別交AD，AC于E，F，若EF/BE=a/b，那么GE/BE=_____.

解題指導

方法1"分別延長GC、AD相交于點T，連接BT，如圖2所示.

因為CG∥AB，

所以∠BAE=∠ETG.

在△ABE與△TGE中，∠BAE=∠ETG，

∠AEB=∠TEG（對頂角相等），

所以△ABE∽△TGE，

所以GE/BE=ET/EA.

在△ABC中，因為AB=AC，

所以△ABC為等腰三角形.

又因為AD⊥BC，

所以∠BAD=∠CAD.

又∠BAE=∠ETC，

所以∠CAD=∠ETC，

所以△ATC為等腰三角形，故可知AC=TC.

又因為AB=AC，

所以AB=TC.

在四邊形ABTC中，AB∥TC且AB=TC，故四邊形ABTC為平行四邊形，

所以AF∥BT，

所以∠EAF=∠ETB.

在△AEF和△TEB中，∠EAF=∠ETB，

∠AEF=∠TEB（對頂角相等），

所以△AEF∽△TEB，

所以GE/BE=ET/EA=BE/EF=b/a.

分析"本法通過延長C平行線構造兩個正“8字”型相似三角形，將未知線段比例關系轉化為已知線段比例關系，體現了化歸的數學思想.本題的突破點即為作輔助線構造相似三角形，這也是解答此類型題目的難點，學生需要進行深入思考，發散思維，熟練掌握平面幾何的變換.

方法2"連接EC，如圖3所示.

在△ABC中，因為AB=AC，

所以△ABC為等腰三角形.

又因為AD⊥BC，

所以∠BAD=∠CAD.

在△ABE和△ACE中，AB=AC，

∠BAE=∠CAE，AE=AE，

所以△ABE≌△ACE，

所以BE=CE，∠ABE=∠ACE.

又因為CG∥AB，所以∠ABE=∠G，

所以∠ACE=∠G.

在△EFC和△ECG中，∠FCE=∠G，

∠FEC=∠CEG，

所以△EFC∽△ECG，

所以GE/BE=GE/CE=CE/EF=BE/EF=b/a.

分析"本法是從條件EF/BE=a/b入手，根據實際情況對BE進行轉化，把所求線段比例關系放進一個三角形中，除了“8字”型以外，若想得到兩個三角形相似，發現EF、BE在同一條直線上，不太容易構造相似，但是△ABC是等腰三角形，可以將BE轉化為CE，從而發現GE/BE=GE/CE=CE/EF=BE/EF，問題便可迎刃而解.學生在審題之后要動腦思考，構造相似三角形，發散思維，找尋最簡便的解題方法.

3"中考數學線段比例關系型問題之“手拉手”型解題思路

例2"如圖4，在等邊△ABC中，D，E分別是BC，AB邊的中點，F是BA延長線上一點，過點D作DG⊥DF交EC的延長線于點G，則AF∶CG=_______.

解題指導"如圖5，連接AD，因為△ABC為等邊三角形，D，E分別是BC，AB邊的中點，

所以AD、CE分別垂直平分BC、AB，

所以∠BAD=1/2∠BAC=30°，

∠BCE=1/2∠BCA=30°，

故∠FAD=∠GCD=150°.

因為∠ADC=∠FDG，

所以∠ADC－∠FDC=∠FDG－∠FDC，

故∠ADF=∠CDG，即得△ADF∽△CDG，

所以AF∶CG=AD∶CD=√3∶1.

分析"本題也需要通過構造相似三角形來求解，主要突破點為作輔助線構造“手拉手”型的兩個三角形相似，其中定會有一對角是以兩個相等的角減去一個相同的角得出.例如，在本題中便是由∠ADC－∠FDC=∠FDG－∠FDC得出∠ADF=∠CDG.學生需要掌握此解題技巧，培養高階思維.

4"結語

通過構造相似三角形轉化線段關系是一種有效的解決線段比例關系型問題的方法.運用此方法，要求學生具備較強的幾何思維能力，對于如何巧妙地添加輔助線要有獨特的想法，在解題過程中學生往往需要進行深入思考，這能夠促使他們的思維能力得到顯著提升，同時提升解決問題能力.