初中數學中動點問題的解題策略

【摘要】本文探討初中數學中關于動點問題的解題策略，針對典型題型進行系統性分析，包括等腰三角形問題、相似三角形問題和平行四邊形問題等.通過分步解析具體例題，展示了在動點問題中應用幾何、代數等知識點的策略，有助于提升學生在初中數學動點問題中的解題能力和思維邏輯.

【關鍵詞】動點問題；初中數學；解題策略

1"引言

動點問題是初中數學中幾何部分的一類重要題型，考查學生對幾何圖形的理解及動態變化的解析能力.通過研究點在幾何圖形中運動時的變化規律，學生可以更好地掌握數學模型的建立和解題策略的應用.本文以北師大版初中數學為基礎，通過一系列例題展示解題步驟和思維過程，為學生提供明確的解題策略指引.

2"相關例題解題策略

2.1"動點構造等腰三角形問題

例1"如圖1，O為坐標原點，四邊形OABC為長方形，邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，且A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，4）.點D是OA的中點，點P在線段BC上運動，當△ODP為腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標.

解析"A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，4）.因此，OC的長度為4，OA的長度為10.D是OA的中點，故D點坐標為（5，0）.OD的長度為5.接下來分兩種情況討論.

（1）當OD作為等腰三角形的底邊時，P點在OD的垂直平分線與BC的交點上，此時OP和PD的長度都不等于5，因此此情況不滿足題目條件，可以排除.

（2）當OD作為等腰三角形的一條腰時：

①若O為兩腰交點.P點位于以O為圓心，半徑為5的圓與BC的交點上.在Rt△OPC中，使用勾股定理計算CP的長度：CP=√OP2－OC2=√52－42=3.因此，P點的坐標為（3，4）.

②若D為兩腰交點，P點位于以D為圓心，半徑為5的圓與BC的交點上.過D點作垂直于BC的線，交BC于M點，如圖2所示.

在Rt△PDM中，根據勾股定理計算PM的長度：PM=√PD2－DM2=√52－42=3.

當P點位于M的左側時，CP的長度為5－3=2，因此P點的坐標為（2，4）.

當P點位于M的右側時，CP的長度為5+3=8，因此P點的坐標為（8，4）.

2.2"動點構造相似三角形問題

例2"如圖3，已知矩形ABCD，長BC等于12厘米，寬AB等于8厘米，點P、Q分別是AB和BC上運動的兩點.若P從A點出發，以每秒1厘米的速度沿AB方向運動，同時，Q從B點出發以每秒2厘米的速度沿BC方向運動.問經過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與△BDC相似？

解析"根據題意，P點從A出發沿AB方向以每秒1厘米的速度運動，Q點從B出發沿BC方向以每秒2厘米的速度運動.在經過x秒后，P點到B點的距離為：PB=8－x（因為P是沿AB從A向B運動）；Q點到B點的距離為：BQ=2x（因為Q是沿BC從B向C運動）.

設經過x秒后，△PBQ與△BDC相似.

由于∠PBQ=∠BCD=90°，

（1）如圖4，當∠1=∠2時，根據相似關系可得：PB/DC=BQ/BC，代入PB和BQ得到8－x/8=2x/12，解得x=24/7.

（2）當∠1=∠3時，同理可知：PB/BC=BQ/DC，代入PB和BQ得到8－x/12=2x/8，解得x=2.

所以，經過24/7秒或2秒，△PBQ與△BCD相似.

2.3"動點構造平行四邊形問題

例3"如圖5，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點M，點F在AD上，AF=6cm，BF=12cm，∠FBM=∠CBM.點E是BC的中點，若點P以1cm/s的速度從點A出發，沿AD向點F運動；點Q同時以2cm/s的速度從點C出發，沿CB向點B運動.點P運動到F點時停止運動，點Q也同時停止運動.當點P運動到第幾秒時，以點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？

解析"四邊形ABCD是平行四邊形，因此AD∥BC，且AD=BC.根據平行四邊形的性質，可以得到∠ADB=∠CBD.同時，由題意給出的條件∠FBM=∠CBM得∠FBM=∠ADB，因此線段FB和FD的長度相等，即FB=FD=12cm.

已知AF=6cm，則可以求得AD的長度為18cm.根據題意，點E是BC的中點，因此CE=1/2×BC=1/2×AD=9cm.為了使點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，只需滿足PF=EQ即可.

設當點P運動了t秒（0≤t≤6）時，點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形.根據題意的速度條件可得：點P到點F的距離為6－t；點Q到點E的距離為〖JB（|〗9 － 2t〖JB）|〗.

因此，可以列出方程6－t=9－2t或6－t=2t－9，解得t=3或t=5.

3"結語

本文通過對初中數學動點問題的幾類常見題型進行分析，歸納了不同題型的解題思路和步驟.研究表明，學生在掌握動點問題時需注重圖形特性與運動規律的結合.該研究為初中生提供了應對動點問題的系統性解題策略，有助于提高其數學解題能力和邏輯思維能力.

參考文獻：

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