指向應(yīng)用性的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)探討

【摘 要】解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，研究如何基于解題教學(xué)提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是重要課題。解答社會(huì)實(shí)踐情境下的問(wèn)題是提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要路徑。指向應(yīng)用性的解題教學(xué)要更加突出教審題，指向培養(yǎng)學(xué)生高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；解題教學(xué)；應(yīng)用題：社會(huì)實(shí)踐情境

【中圖分類號(hào)】G633.6" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號(hào)】1005-6009（2025）07-0016-04

【作者簡(jiǎn)介】渠東劍，南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心（南京，210002）數(shù)學(xué)教研員，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師。

一、問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出“要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系”，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了明確要求。《國(guó)務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》明確指出，要“著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力”，為高考內(nèi)容改革指明了方向。《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》則是命題的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐指南，“四翼”是其核心內(nèi)容之一，回答了“怎樣考”的問(wèn)題，其中之一便是“應(yīng)用性”，強(qiáng)調(diào)突出考查學(xué)以致用的導(dǎo)向。這些都對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)突出應(yīng)用性、提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值、推進(jìn)“五育并舉”，具有積極而重要的意義。

“‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用’是一個(gè)比較寬泛的概念……除了生活實(shí)際中的應(yīng)用之外，數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，和其他學(xué)科有著密切的聯(lián)系……從更廣義的角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與交互可以看作是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種延伸。”［1］這為理解“數(shù)學(xué)應(yīng)用”提供了參考，為突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)給出了路徑，為指向提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的教學(xué)明確了方向。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。就基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與質(zhì)量評(píng)價(jià)而言，一定意義下，數(shù)學(xué)題目是數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要外顯形式，解答題目是解決問(wèn)題的重要表現(xiàn)形式，是關(guān)鍵能力的外在表現(xiàn)。提高學(xué)生解題水平，是深化學(xué)生思維能力、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的重要路徑，進(jìn)而研究解題教學(xué)具有重要的、現(xiàn)實(shí)的意義。

依據(jù)高考數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的分類：課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和社會(huì)實(shí)踐情境，其中社會(huì)實(shí)踐主要關(guān)注數(shù)學(xué)與其它學(xué)科和社會(huì)生活實(shí)際的關(guān)系，包括生活生產(chǎn)實(shí)際、科學(xué)研究等背景。［1］社會(huì)實(shí)踐情境下的問(wèn)題，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要載體，其解題教學(xué)對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有重要意義。本文主要探討社會(huì)實(shí)踐情境下的解題教學(xué)。其基本觀點(diǎn)是，解題教學(xué)要更加突出審題過(guò)程，悉心啟發(fā)引導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)建模，提升應(yīng)用能力，促進(jìn)思維發(fā)展。

二、堅(jiān)持應(yīng)用性問(wèn)題解題大方向

一定意義下，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”是指將數(shù)學(xué)知識(shí)主動(dòng)運(yùn)用于問(wèn)題解決中，即用已有數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題。從問(wèn)題解決過(guò)程看，數(shù)學(xué)是主角，問(wèn)題歸根到底是數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決問(wèn)題的大方向是，將生活實(shí)踐或其他學(xué)科背景下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并回答所要解決的問(wèn)題。因此，解題首先是盡快地從情境中“解脫”出來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不是在情境中作過(guò)多“停留”，或糾纏于無(wú)關(guān)數(shù)學(xué)解題的情境活動(dòng)。這是解答社會(huì)實(shí)踐情境下問(wèn)題的基本原則，是解題教學(xué)所必須堅(jiān)持的。社會(huì)實(shí)踐情境下問(wèn)題的解題路徑如圖1所示。

例1（2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第4題） 2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行。L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：[M1（R+r）2] + [M2r2]=（R+r） [M1R3]。設(shè)α= [rR]，由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3，則r的近似值為（" "）

A.[M2M1R] B.[M22M1R] C.[3M2M1R] D.[M23M1R]

本題屬于科技背景的問(wèn)題，題目表述長(zhǎng)度達(dá)200多字符，信息量較大，對(duì)學(xué)生閱讀理解能力要求較高。但是，題目的前半部分只是背景介紹，意在讓學(xué)生理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈，了解中國(guó)航天事業(yè)偉大成就，滲透愛國(guó)主義教育，實(shí)現(xiàn)高考立德樹人功能。就高考而言，解題本質(zhì)上就是追求答案，因此題目中有用的信息是從“r滿足方程”開始的。解題當(dāng)然要全面審題，但是要突出審題方向，應(yīng)盡快從情境中“解脫”出來(lái)，盡快將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：題目要求什么？可以依據(jù)的條件是什么？條件有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？條件[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3意味著什么，怎樣創(chuàng)造條件用上它？

三、注重應(yīng)用性問(wèn)題解題信息讀取

社會(huì)實(shí)踐背景下的題目，一般都具有如下特征：創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，提出真實(shí)的、有意義的問(wèn)題；全面考查數(shù)學(xué)應(yīng)用的一般過(guò)程，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。這類題目一般表述篇幅比較長(zhǎng)，文字符號(hào)比較多，信息比較紛雜，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題需要的時(shí)間比較漫長(zhǎng)。這些都指向?qū)忣}難度比較大。審題是解題的重要步驟，也是至關(guān)重要的第一步。因此，解題教學(xué)要堅(jiān)持教師不讀題原則，讓學(xué)生“親自”讀題。

根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過(guò)程，即學(xué)習(xí)是一種心理活動(dòng)，重在心理體驗(yàn)。解題教學(xué)也不例外，必須讓學(xué)習(xí)者“親身”經(jīng)歷解題的過(guò)程。在這里，讀題就是審題，畫圖也是審題，如果教師讀題、畫圖，就是包辦代替，越俎代庖。

試想，教師進(jìn)行解題教學(xué)，一般都是事前充分備課，對(duì)所選擇題目了然于胸，對(duì)情境創(chuàng)設(shè)、命題立意、多種解法、變式引申、規(guī)律總結(jié)等都作充分的研究。當(dāng)走向課堂，已然是成竹在胸。因此如果教師讀題，必然會(huì)滲透進(jìn)去個(gè)人的情感，其讀題過(guò)程中的口氣、語(yǔ)氣、標(biāo)點(diǎn)、斷句……都將對(duì)學(xué)生理解題意產(chǎn)生幫助作用。這看似縮短了學(xué)生理解題意的路程，降低了審題的時(shí)間成本，加大了課堂的“容量”，但是學(xué)生通過(guò)解題所經(jīng)受的思維的訓(xùn)練將大打折扣。畢竟到了考場(chǎng)上，誰(shuí)給學(xué)生讀題呢？

當(dāng)然，突出學(xué)生讀題，并不意味著教師可以袖手旁觀，而是要密切關(guān)注學(xué)生得審題進(jìn)程，適時(shí)地啟發(fā)引導(dǎo)。甚至需要事前設(shè)計(jì)好啟發(fā)性問(wèn)題串，以引導(dǎo)學(xué)生審題，展開探究學(xué)習(xí)。

例2（2014年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題）

如圖2，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)。規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不小于80m。經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=[43]。

（1）求新橋BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)OM為多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

分析第（2）題時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)如下啟發(fā)性問(wèn)題串，用于教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探究。

何時(shí)圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？（圓的半徑最大時(shí)）——OM是什么？——它決定圓的圓心位置；圓M因圓心運(yùn)動(dòng)而引起半徑變化，那么半徑與OM長(zhǎng)有何關(guān)系？——變化中的不變量是什么？——圓M與直線BC相切——相切有什么條件？怎樣建立圓半徑與OM的關(guān)系……

四、突出應(yīng)用性問(wèn)題解題思維能力發(fā)展

數(shù)學(xué)應(yīng)用下的社會(huì)實(shí)踐情境題目，重在用已有知識(shí)去解決新情境下的問(wèn)題，一定意義上是“換湯不換藥”。以高考數(shù)學(xué)試題為例，根據(jù)課標(biāo)，考查的知識(shí)點(diǎn)就那么幾十個(gè)；常用基本數(shù)學(xué)思想方法、解題策略就那么幾種，考知識(shí)、考方法、考思想的變化不可能太大。創(chuàng)新主要在情境與問(wèn)題上：創(chuàng)新情境設(shè)計(jì)，變換角度提出問(wèn)題。因此，在某種意義上解題就是多元表征條件，實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化——將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題。

例3（2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷第20題）

北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)（如圖3）的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容。用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。例如正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是[π3]，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×[π3]=π，故其總曲率為4π。

（1）求四棱雉的總曲率：

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)。

從知識(shí)考查視角而言，該題涉及空間圖形、多面體、角、歐拉公式等。從情境設(shè)置、問(wèn)題提出、解題過(guò)程等角度來(lái)說(shuō)，則與傳統(tǒng)的立體幾何題目相去甚遠(yuǎn)：沒(méi)有考查空間直線與平面的位置關(guān)系的推理證明，沒(méi)有考查用空間向量解立體幾何問(wèn)題。這是一道“社會(huì)實(shí)踐情境”的問(wèn)題，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用考查，本質(zhì)上考查了學(xué)習(xí)遷移能力：題目給出一個(gè)新概念，要求考生學(xué)習(xí)理解，并運(yùn)用所學(xué)概念，去解決新的問(wèn)題。［3］

第（1）（2）題中都涉及概念“總曲率”，所以理解總曲率的概念是解題的基礎(chǔ)。學(xué)生之前并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)總曲率的概念，這就要求在新的情境下學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定義（具體問(wèn)題情境之下的），并在準(zhǔn)確理解新定義的基礎(chǔ)上，去理解題意，即用定義去思考，并用已有知識(shí)去解決問(wèn)題。

該題是借北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)背景開啟話題，引出總曲率的概念，并不是從該情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。沒(méi)有這個(gè)情境或換成別的情境，比如其它建筑物，一樣提出總曲率的概念。因此，審題就是要“盡快地”從情境中走出來(lái)，直奔“總曲率”這一概念而去。理解“總曲率”的概念，既是解題的基礎(chǔ)，也是解題的難點(diǎn)。

理解總曲率的概念，關(guān)鍵是讀懂題目中的這句話：“多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。”這其中又涉及對(duì)概念“曲率”“多面體的面角”的理解，可以把它們看作是概念“總曲率”的子概念。而對(duì)這些子概念的理解，又需要具備立體幾何基本知識(shí)。審題就是要厘清每一個(gè)子概念，并在此基礎(chǔ)上理解總曲率的概念。理解“多面體的面角”的概念可能是困難的，需要具備立體幾何基本知識(shí)去，甚至需要借助“熟悉的”多面體模型去理解，題目中所給的“正四面體的總曲率”，就是一個(gè)幫助理解概念的具體的例子，審題時(shí)自然要充分利用。

由此可見，理解題意是一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過(guò)程，是一個(gè)建構(gòu)新概念的過(guò)程，也是解題的至關(guān)重要的過(guò)程。在理解題意的基礎(chǔ)上，自然就是基于概念去思考，利用立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)去解決所面對(duì)的問(wèn)題，但這已經(jīng)是數(shù)學(xué)問(wèn)題了。

“想得明白，寫得恰當(dāng)”應(yīng)該成為解題教學(xué)“兩步曲”。想得明白，就是突出審題，執(zhí)果索因，化歸轉(zhuǎn)化，探尋解決問(wèn)題的起點(diǎn)；寫得恰當(dāng)，就是基于“想得明白”，從起點(diǎn)出發(fā)，謀篇布局，書寫表達(dá)，突出邏輯，環(huán)環(huán)相扣。解題教學(xué)，先教“想得明白”，后教“寫得恰當(dāng)”；只有想得明白，方能寫得恰當(dāng)。解答社會(huì)實(shí)踐背景下的題目的教學(xué)，也不例外。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］渠東劍.春來(lái)江水綠如藍(lán)：2024年高考數(shù)學(xué)江蘇卷試題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（9）：43-46.

［3］渠東劍.八省聯(lián)考數(shù)學(xué)分析及啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（6）：59-63.