一題多解提升思維 一題多變發(fā)展素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》發(fā)布后，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地實(shí)施，在教育界引發(fā)了廣泛關(guān)注.普遍共識(shí)認(rèn)為，積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)、提升思維能力，是形成這些核心素養(yǎng)的重要途徑.數(shù)學(xué)問(wèn)題作為思維的載體，在解題過(guò)程中往往涉及多個(gè)核心素養(yǎng)的運(yùn)用，因此解題教學(xué)成為提升思維能力的重要手段.其中，“一題多解”教學(xué)因能揭示解題的普遍規(guī)律，并對(duì)學(xué)生思維培養(yǎng)具有顯著效果，而備受推崇.我們以“一題多解”與“一題多變”為視角，結(jié)合2020年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第17題的具體案例，深入探討了解題教學(xué)中的思維與素養(yǎng)并進(jìn)策略.通過(guò)分析該題目的不同解法及其變式，我們旨在揭示如何通過(guò)一題多解與一題多變的教學(xué)實(shí)踐，既提升學(xué)生的解題能力，又培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的全面提升。

一、試題呈現(xiàn)

題目（2020年全國(guó) 卷）在 Δ A B C 中， （1）求 A ；（2）若 B C = 3，求 Δ A B C 周長(zhǎng)的最大值.

分析主要考查了三角形的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，以及不等式、三角函數(shù)和最值問(wèn)題的求解技巧.第一小題由正弦定理知 = b c 而得 第二小題在三角形中范圍（最值）求解問(wèn)題，是高考數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)題型，它要求考生根據(jù)已知的一角一邊或一角一邊關(guān)系，求解三角形的周長(zhǎng)最值，學(xué)生需要深人理解三角形的邊角關(guān)系，通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，能夠靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊或角的函數(shù)關(guān)系通過(guò)不等式和函數(shù)最值求解，也可以利用數(shù)形結(jié)合等方法，求解三角形中范圍（最值）問(wèn)題.本文主要探究第（2）問(wèn)。

二、一題多解提升思維

解法一 （化角為邊）由余弦定理知 即 ，得 ，即 b + c ？ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)“ ”成立，所以 Δ A B C 周長(zhǎng)的最大值為

評(píng)注利用余弦定理將三角形的一邊及其對(duì)角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的表達(dá)式，然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解最值.這種解法直接體現(xiàn)了“化角為邊”的思想，將復(fù)雜的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為更易處理的邊長(zhǎng)關(guān)系.

解法二 （化邊為角）由正弦定理知 ，所以 ， ，則

因?yàn)? ，所以 所以 即 時(shí)， b + c 取最大值 ，故Δ A B C 周長(zhǎng)的最大值為

評(píng)注采用正弦定理將三角形的邊長(zhǎng)（ A B 和A C ）轉(zhuǎn)化為角度（角 B ）的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)（正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性）求解最值.這種方法在處理三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)尤為有效，因?yàn)樗軌蛑苯咏⑵疬呴L(zhǎng)和角度之間的函數(shù)關(guān)系。

解法三 （數(shù)形結(jié)合）如

圖1，由正弦定理知

=2√3，點(diǎn)A在⊙0的劣

弧 中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)以 B ， C 為焦

點(diǎn)的橢圓最圓，離心率 3-2

最小

Δ A B C 周長(zhǎng)的最大值為

評(píng)注從幾何的角度出發(fā)，利用橢圓的性質(zhì)求解三角形的周長(zhǎng)最值.這種方法需要深入理解三角形的幾何性質(zhì)，并能夠?qū)⑵渑c橢圓等幾何圖形相聯(lián)系.在這個(gè)解法中，通過(guò)構(gòu)造以 B ， C 為焦點(diǎn)的橢圓，并利用橢圓的性質(zhì)（離心率越小，橢圓越圓）來(lái)求解三角形的周長(zhǎng)最值。

解法三 （數(shù)形結(jié)合）如圖2，延長(zhǎng) B A 至 D ，使得 A C = A D ，連接 D C . ∠ D A C = π 1 Δ A D C 形， 由正弦定理知 ，所以點(diǎn) D 在由 B C 和 ∠ B D C 確定的圓上，當(dāng) 為該圓直徑端點(diǎn)時(shí)， B D 取最大值 ，即 b + c 取最大值 ，所以Δ A B C 周長(zhǎng)的最大值為

評(píng)注通過(guò)構(gòu)造輔助圖形（延長(zhǎng)線段 B A 至 D ，使得 A C = A D ，并連接 D C ）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更直觀的幾何問(wèn)題.這種方法在處理三角形的面積、邊長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)非常有用，因?yàn)樗梢酝ㄟ^(guò)直觀的圖形幫助我們理解和求解問(wèn)題.在這個(gè)解法中，構(gòu)造的輔助圖形使得原問(wèn)題中的三角形 A B C 變?yōu)榱艘粋€(gè)正三角形和一個(gè)等腰三角形的組合，從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解。

三、一題多變發(fā)展素養(yǎng)

變式1 已知 Δ A B C 為銳角三角形， 且 ，則 Δ A B C 面積的取值范圍

解法一 （化角為邊）由余弦定理知 在銳角三角形 Δ A B C 中，角 為銳角， 由余弦定理知 得 αlt;2，所以S△ABC 所以 Δ A B C 面積的取值范圍為

評(píng)注通過(guò)余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再結(jié)合銳角三角形的條件及基本不等式求出邊 和邊b 的關(guān)系，進(jìn)而求出三角形面積的取值范圍.這種方法需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和不等式求解技巧。

解法二 （化角為邊）在銳角三角形 Δ A B C 中，角 為銳角，所以 得三 所以 即 所以 得

2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)條件

評(píng)注利用正弦函數(shù)的取值范圍求出角 A 和角 的取值范圍.通過(guò)正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，求出邊 和邊 b 的表達(dá)式.這種方法需要深入理解正弦定理和三角形的性質(zhì)，及較強(qiáng)的三角函數(shù)運(yùn)算能力.

解法三 （化邊為角）由 得 則 .因?yàn)?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0603/D8cvZdpALU85KXdPD2Wydo.webp"/> 得 lt;2，所以 S△ABC

評(píng)注通過(guò)正弦定理求出邊 和邊 b 的表達(dá)式.利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性，求出邊 的取值范圍.最后，將邊長(zhǎng)代入三角形面積公式，結(jié)合三角形的存在性條件（即兩邊之和大于第三邊），求出面積的取值范圍。

解法四 （數(shù)形結(jié)合）

如圖3，在 Δ A B E 中， ∠ A D B

且 在RT△ABD中，

（204號(hào) 圖3

在RT△ABE中，

銳角三角

C 在線段 D E （不含端點(diǎn)）上，

評(píng)注根據(jù)題目條件構(gòu)造出相關(guān)的幾何圖形，如延長(zhǎng) B A 至 D ，連接 D C 等.然后，利用正弦定理和三角形的性質(zhì)，求出相關(guān)邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系.最后，通過(guò)直觀的圖形和幾何背景，求出三角形面積的取值范圍.這種方法需要較強(qiáng)的空間想象能力和幾何直觀能力。

變式2 在 Δ A B C 中， 且 ，則 + 2 c 的最大值為

解法一（化邊為角）由正弦定理知 （20號(hào) 其中 θ 為銳角，且 由 得 .當(dāng) A + θ = （204號(hào) 時(shí)， 的最大值為

評(píng)注本題 的系數(shù)不同，利用余弦定理和基本不等式不好解決，將 a + 2 c 轉(zhuǎn)化為角 A 或角 的函數(shù)，便于求 最大值.

解法二 （化角為邊）由余弦定理知 ，化簡(jiǎn)得 令， 2 c ，則 ，帶人上面的方程，整理得 因?yàn)殛P(guān)于 的方程有解，則 2 8 ？ 1 2 ≥ 0 ，可得 ，所以 的最大值為4

評(píng)注本題 的系數(shù)不同，利用余弦定理和基本不等式不好解決，利用換元法，令 t = a + 2 c ，最值轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的方程 有解，利用判別式法求得 最大值.

解法三 （數(shù)形結(jié)合）如圖4，延長(zhǎng) C B 至 D ，使得 B D = 2 A B = 2 c ，連接 （20號(hào) 在 Δ A D C 中，由余弦定理知 ，又正弦定理知 sin ∠ A D B = 圖4 所以點(diǎn) D 在由 A C 和∠ A D C 確定的圓上.在 Δ A D C 中，由正弦定 ，當(dāng) 為該圓直行

C D 取最大值 ，所以 取最大值

評(píng)注利用數(shù)形結(jié)合求解本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造 B D ，使得 ，結(jié)合點(diǎn) D 在由 A C 和∠ A D C 確定的圓上，利用圓的弦長(zhǎng)不超過(guò)直徑，求得 最大值

解法四 （數(shù)形結(jié)合）如 B圖5，在 Δ A B C 中，由正弦定理知 0 0A C4，點(diǎn) B 在由 A C 和 ∠ A B C 確定D的圓 上，在劣弧 中點(diǎn)作一點(diǎn) D ，使得 C D = 2 A D ，連 圖5接 A D ， C D ，在 Δ A D C 中，由余弦定理知 得 C D = 2 A D （204號(hào)由托勒密定理知 A B ？ C D + A D ？ B C = A C · ，從而 化簡(jiǎn)得 a + 2 c ？ ，當(dāng)且僅當(dāng) B D 為圓 的直徑時(shí)，“ ”成立，所以 ，所以 取最大值

評(píng)注該解法關(guān)鍵是將 中 系數(shù)轉(zhuǎn)換為托勒密定理中圓內(nèi)接四邊形點(diǎn) D 的位置（ 2），再由托勒密定理得 ，結(jié)合點(diǎn) D 在由 A C 和 ∠ A B C 確定的圓上，利用圓的弦長(zhǎng)不超過(guò)直徑.求得 最大值.

四、教學(xué)啟示：高三二輪復(fù)習(xí)中的“一題多解”與“一題多變”策略

在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段，面對(duì)復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題和緊迫的備考時(shí)間，如何高效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力成為教學(xué)的核心任務(wù).結(jié)合“一題多解”與“一題多變”的教學(xué)策略，我們可以從中得出以下幾點(diǎn)深刻的教學(xué)啟示：

1.培養(yǎng)多元思維，促進(jìn)解題靈活性：

在復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度和途徑探索問(wèn)題的解答.這不僅有助于拓寬學(xué)生的解題思路，使學(xué)生深人地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，提高解題的靈活性和準(zhǔn)確性.通過(guò)對(duì)比不同解法，學(xué)生可以總結(jié)出最優(yōu)解和解題技巧，提高解題效率和準(zhǔn)確性.同時(shí)，歸納總結(jié)也有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體把握能力。

2.深化問(wèn)題理解，揭示本質(zhì)規(guī)律：

一題多變策略能夠幫助學(xué)生從不同維度和角度審視問(wèn)題，深化對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)通過(guò)變換題目的條件、結(jié)論或形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，提升他們的邏輯思維能力和遷移應(yīng)用能力。

3.激發(fā)創(chuàng)新思維，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力：

通過(guò)一題多解與一題多變的訓(xùn)練，學(xué)生可以學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和自主分析，學(xué)會(huì)主動(dòng)探索問(wèn)題，勇于提出自己的見(jiàn)解和解決方案，為他們未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題2816號(hào)的證明與拓展

福建省福清第三中學(xué) （350315） 何 燈何文昌

摘要本文對(duì)數(shù)學(xué)通報(bào)一道多元不等式問(wèn)題進(jìn)行了證明，并從指數(shù)、變量個(gè)數(shù)兩個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行了一般性拓展探究。

關(guān)鍵詞多元不等式；數(shù)學(xué)通報(bào)2816號(hào)問(wèn)題；拓展

題目 （數(shù)學(xué)通報(bào)2024年第12期2816號(hào)）對(duì)于 以及正整數(shù)指數(shù) n ？ 2 ，證明： +c2≥ an-1 （+%+b- ” +

本題通過(guò)次數(shù)的調(diào)整構(gòu)造不等式，形式對(duì)稱且給人以啟發(fā)，本文給出此題的一個(gè)解答，并從指數(shù)。