生本理念下的初中幾何證明教學

在教學中，常常出現這樣的現象：教師認為自己講得很透徹，學生感覺自己聽得很明白，但是課后獨立解題時卻常感束手無策.之所以出現這種現象，一個重要原因在于學生在課堂上僅僅是被動地接受了教師的思路，卻未經歷獨立思考的過程，只知道“是什么”，卻不知道“為什么”“怎么樣”，更不會思考是否還有其他方法.學生的思維被禁錮，不僅影響學生解題能力的提升，還影響學生思維能力的發展[1].事實上，初中幾何證明教學能有效地培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力，但是幾何知識比較抽象，學生不容易理解和把握，也是公認的教學難點[2.在解答幾何證明題時，不僅需要學生熟練地掌握基礎知識、基本技能，還需要學生懂得如何分析、如何聯想、如何轉化，若想突破這一難點，僅憑教師的講授是難以達成的，因此教師還應創設空間讓學生去分析、變換、證明、歸納，積累豐富的活動經驗，提高分析問題和解決問題的能力.下面，筆者結合教學經驗，談談對幾何證明教學的認識.

重視幾何基本圖形的教學

學生在解答幾何證明題時常感無法入手，一個重要原因就是自身的讀圖、識圖、用圖能力較弱，不能將復雜的圖形拆分成基本圖形，在解題過程中容易受到其他因素的干擾，難以找到合適的切入點，從而陷入茫然無措之境.眾所周知，復雜圖形往往是由基本圖形構成的，只要將基本圖形分離出來，并厘清它們之間的關系，就可以將復雜問題轉化為簡單問題，將陌生問題轉化為熟悉問題，證明起來自然得心應手.

基本圖形按照來源一般分為兩類：一是教材中的定義、定理等；二是學習過程中遇到的真題.教師作為學生求學路上的領路人，應注意引導學生觀察、分析、積累、應用.

例如，學習了“角平分線性質定理及其逆定理”后，教師設計了如下開放性問題：

如圖1，已知 OC 是 ∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上， PE⊥OA 于點E ， PF⊥OB 于點 F. 結合以上信息，說說你的發現.

問題給出后，教師預留時間讓學生觀察、分析，然后與學生互動交流.

生1結合已知條件，易證：ΔOEP?ΔOFP ，由此可得 PE=PF ，∠EPO=∠FPO ， OE=OF 業.

師很好.生1在只考慮 ΔOEP 和 ΔOFP 全等的前提下，得到了諸多圖形特征.哪位同學還有其他發現？

生2這里將 EF 考慮進去，還可以得到 EF⊥OP ， ED=FD 等幾何性質.

師現在我們將已知條件換一換，如圖1，已知 ΔOEP?ΔOFP 由此你能得到什么結論？

教學中，在學習了相關性質和定理后，教師應注意引導學生觀察圖1，并提煉圖形特征，以此加深學生對角平分線性質定理及其逆定理理解的同時，提煉基本幾何圖形.

又如，在幾何證明教學過程中，有一道經典幾何證明題：如圖2，已知CA=CB，CE=CD，CACB=∠DCE= 90^° ，求證： ΔBEC?ΔADC

該題難度不大，教師讓學生獨立完成.學生獨立完成證明后，教師繼續提問：如圖3，將 ΔECD 繞點 c 旋轉，此時 ΔBEC?ΔADC 這一結論是否依然成立？學生積極思考、交流，發現只要 B ， c ， E 三點不共線，兩個三角形依然全等.在此基礎上，教師繼續追問：如圖4，已知 ΔABC 和△EDC均是等邊三角形， ΔBEC? ΔADC 是否依然成立？學生結合已有知識和已有經驗，順利地證明這一結論成立.證明完成后，教師預留時間讓學生觀察、歸納，從而得到它們之間的共性特征，建構數學模型.

基本圖形是在日常學習過程中逐漸積累的，教師作為課堂教學的組織者，要善于通過合理變式引導學生發現、探索、提煉、積累、應用，讓基本圖形成為學生解答幾何證明題的利刃.

重視數學思想方法的教學

數學思想方法是數學知識的靈魂和精髓，是成功運用數學知識的關鍵，也是數學教學的核心所在.在教學中，教師應注意引導學生提煉數學思想方法，鼓勵學生透過現象看本質，從更高層次理解知識，提高運用知識解決問題的能力.對于一些簡單的幾何證明題，一般采用綜合法，即從已知條件出發，通過正向思考證明結論；對于一些復雜的幾何證明題，常常采用分析法，即從結論出發，執果索因，逐漸向已知條件靠攏.當然，應用哪種方法要根據實際情況靈活選擇，更多的是需要兩種證明方法相結合.

例如圖5，在 ΔABC 中，已知∠C=90^° ， AO=BO ，求證： CO=

問題給出后，學生獨立思考，然后互動交流.

師從已知條件出發，你能得到什么？從結論出發，你又有什么發現？

教師適時啟發學生從不同角度出發，并運用分析法和綜合法相結合的方式解決問題.

生1已知 AO=BO ，由此可知點 o 是斜邊 AB 的中點，如圖6，延長CO ，在延長線上截取一點 E ，使OE=OC ，連接 BE ，由此構造出“倍長中線”這一輔助線，易證 CO= 而結論要求證明 ，為此若能證明 CE=AB ，則問題得以解決.首先可以通過證明 ΔBOE?ΔAOC 得到 ，所以 ∠BCA=∠CBE= 90^° ，又 BC=BC ，所以 ΔBCE? ΔCBA ，所以 CE=AB

師很好.通過“兩頭湊”將問題轉化為證明線段相等的問題，從而得到 ，是可行的.

當然，教學中僅講數學思想方法還不夠，還應進行適度訓練，通過實訓幫助學生搭建證明方法系統.另外，幾何證明題的證明方法一般不唯一，教師應留足時間讓學生思考，鼓勵學生運用不同的方法解決同一問題.

例如圖7，已知 AB=AC ， DB= DC，求證： ∠B=∠C

該題非常簡單，教師設計的目的并非單純證明兩角相等，而是鼓勵學生應用不同的方法進行證明，并引導學生歸納證明“兩角相等”的方法，以便學生今后證明“兩角相等”的問題時，能夠快速地找到解題的突破口.對于此題，若從已知條件出發，學生很容易想到連接BC，從而構造出兩個等腰三角形，而 ∠B 和 ∠C 為兩個相同角之和，于是問題得到解決；若從結論出發，要證明 ∠B=∠C ，學生很容易想到通過證明三角形全等的思路來證明兩個角相等，連接 _AD 可以構造出ΔABD 和 ΔACD ，根據“SSS”定理，可以證明兩個三角形全等，從而完成證明.學生給出證明過程后，教師應引導學生歸納總結證明“兩角相等”的方法.當然，證明“兩角相等”的方法不限于以上兩種，教師還可以利用其他題目引導學生繼續探索、歸納.在教學中，教師不應僅滿足于問題的解決，而應重視數學思想方法的積累，有效拓寬學生的視野.

總之，在幾何證明教學中，教師應改變傳統教學模式，預留足夠的時間和空間讓學生操作、思考、聯想、證明，以此培養學生的數學思維品質，發展學生的數學思維能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1］王興斌.核心素養理念下的初中數學基本圖形教學—以“相似”為例[J].數學之友，2023（22）：42-43.

[2]黎麗芬.初中幾何證明題教學探究[J].基礎教育研究，2018（4）：37-38，40.