設計層級活動 深化概念理解 落實素養提升

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：要強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構[1]85．章建躍博士曾說：“教數學根本上是教概念.”概念的理解是知識的支點、思維的基礎，概念教學如何適應學生的認知水平，如何強化學生對概念本質的理解，如何培養學生的核心素養，是概念課設計與實施過程中需要思考和關注的問題．2024年11月，筆者參加了蘇州高新區初中數學教學研討活動，觀摩了任琴執教的“正切”章起始課，現結合這堂課的觀摩情形及章建躍博士的評課觀點與思考，闡釋這堂課的教學立意，以饗讀者．

內容分析

1.教學內容的界定

教學時是否要從函數視角出發去研究銳角三角函數，這是很多教師糾結的問題．蘇科版九下教材中提到：“在 RtΔABC 中 1 和機 的值都隨 ∠A 的大小變化而變化，都隨A的大小確定而唯一確定.”“函數味”十足，同時蘇科版高中教材對“任意角的三角函數”的研究采用了函數研究的一般路徑，所以，基于初高中數學的整體性和一致性，本節課的“函數味”不可缺失.

2.教學目標的定位

新課標對課程內容的學習要求：“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數．[1]69”以相似的直角三角形為基礎，研究直角三角形的邊角關系是本節課學習內容的“生長點”與“延伸點”．鑒于新課標對課程內容的學習要求是“探索并認識”，經筆者分析，新課標對“探索”的描述為：“在特定的問題情境下，獨立或合作參與數學活動，理解或提出數學問題，尋求解決問題的思路，獲得確定結論．[1]181”

新課標中“認識”的同類詞是“理解”，而新課標對“理解”的描述為：“描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系.”[1]181-182將兩者結合起來，不難發現新課標對本節課的目標定位更注重過程性，即教師在教學中要創設真實問題情境，給予學生充分的時間與空間，讓學生經歷豐富的探索活動，積累數學基本活動經驗，在經歷認知、思考與獲得后，深化對銳角三角函數概念的理解，提升數學核心素養.

教學過程

第一層活動：經歷直觀，“數眼”審視世界，發現研究對象

教師通過微視頻介紹蘇州虎丘斜塔.虎丘斜塔是世界第二大斜塔，距今已有1000多年歷史，是一座八角形仿木結構閣樓式磚身木檐塔，重達6000噸，七層八面，塔身高47.7米，最大傾斜角度為3度59分．

問題1塔高47.7米，傾斜角度為3度59分，你想探究什么？

追問：把實際問題抽象為數學問題，如圖1，在 RtΔABC 中，∠A度數為3度59分，你能求出哪些量？能求出BC的長嗎？

垂直中心線

設計說明教師播放微視頻介紹虎丘斜塔，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，發現并提出欲探究的問題，把實際問題抽象為數學問題，在教師的追問下喚醒學生對直角三角形邊角關系的認識，面對新的問題形成認知沖突，幫助學生發散數學思維，激發探究欲望.

問題2如圖2，若脫離實際問題對A大小特殊化， ∠A 為多少度，可以求BC？

生1：若 ∠A 為 45^° ，直角三角形的三邊之比為 ，已知 AB 長可求BC.

生2：若∠A為 30^° ，直角三角形的三邊之比為 ，已知AB 長可求BC.

追問1含 30^° 角的直角三角形中， 30^° 角所對的直角邊是斜邊的一半．這個命題的條件是什么？結論是什么？你有什么發現？

追問2在直角三角形中，當一個銳角為 30^° 或 45^° 的特殊角時，三角形的三邊之比是確定的，你還想探究什么？

生3：在Rt△ABC中，若∠A為一般的度數，三角形的三邊之比是多少？

設計說明基于學生已有認知經驗，把/A特殊化后可知直角三角形三邊之比，進而可求BC．引導學生關注A取某個特定值時，直角三角形三邊之比是固定的，由特殊到一般，學生提出新的問題并繼續展開探究.

第二層活動：推理驗證，自主操作探究，發現一般結論

問題3在Rt△ABC中，當∠A為 37^° ，三角形的三邊之比為多少？

操作探究：

（1）在練習本上畫出有一個角為 37^° 的 RtΔABC

（2）探究 ΔABC 三邊的比值.

追問1回顧探究過程，你是怎么獲得結論的？

生4：先畫一個符合題意的RtΔABC ，然后測量三條邊長分別為4cm， 5.4cm， 6.8cm ，最后計算它們的比值，約為 3：4：5 ：

生5：先畫一條直角邊為10cm ，然后畫出符合題意的直角三角形，測量另外兩邊分別為 7.4cm r12.5cm ，這樣相對好算些，算出的比值也約為 3：4：5 ：

追問2生5先思后畫，簡化了運算，非常棒！經過剛才的操作探究，你還有什么發現？

生6：一個角為 37^° 的直角三角形，它的三邊之比約為 3：4：5

追問3剛才我們經歷了觀察、操作、運算與猜想，得出的結論可靠嗎？為什么？

生7：不可靠，畫圖和測量可能有誤差.

追問4為獲得一個數學結論，還需做什么？

生8：推理驗證.

追問5依據勾股定理，能否簡化需要探究的問題？只需探究幾條邊之比？可研究哪兩邊之比？

生9：兩邊之比.

生10：∠A的對邊與斜邊之比.

生11：直角三角形中，三邊分別是A的對邊、鄰邊與斜邊，兩兩之間的比有6種.

生12：若從 ∠B 的角度觀察，也有這樣的關系.

師：回答都非常棒！只需探究任意兩邊之比，我們不妨從中選一個，先探究A的對邊與鄰邊之比.

設計說明 學生經歷畫圖、觀察、運算、比較、猜想、驗證等數學探究活動，將零散、碎片化的經驗系統化，為抽象數學概念作準備．教師追問：“可探索哪兩邊之比？”學生暢所欲言，發現A的對邊、鄰邊與斜邊，兩兩之間的比有6種，而且它們之間是并列關系，地位平等，本節課先研究A的對邊與鄰邊之比，為后續研究正弦、余弦作鋪墊，也為本章的學習構建整體認知.

問題4自主畫圖探究，銳角A在不同的直角三角形中，A的對邊的值是否變化？你能說∠A的鄰邊明理由嗎？

設計說明教師給予學生充分的時間與空間自主畫圖探究，畫出包含A在不同位置下的直角三角形，并運用圖形變換、相似等知識進行推理說明.學生運用數學思維思考問題，驗證猜想，獲得學習體驗，增強學習自信.

第三層活動：內化理解，發現對象特征，生成正切概念

問題5通過對問題4的研究，我們發現直角三角形中A的大小確定后， ∠A的對邊 的值也確定了，∠A的鄰邊當A的大小改變， ∠A的對邊 的值∠A的鄰邊也隨之改變，這種關系與之前學習的哪個概念一致？你能嘗試用數學語言描述銳角∠A與4的對邊 的值∠A的鄰邊的關系嗎？

追問1 函數的定義是什么？

追問2這是一種什么函數？你能嘗試給這種函數取名嗎？

師：直角三角形中有兩個變量，分別是一個角的角度及這個角所對兩邊之比的比值.當角度變化時兩邊的比值隨之發生變化；當角度確定時，比值也有唯一確定的值與之相對應，這就是銳角三角函數．如圖3，在 RtΔABC 中， ∠A 的對邊與鄰邊之比稱為 ∠A 的正切（tangent），記作 tanA ，即 tanA= A的對邊 ∠A的鄰邊 （20 ：

設計說明從生活、數學的內部情境中經歷不同層級的數學活動，引導學生發現知識的共性，體會A與A的對邊 的值之間的對應關系，∠A的鄰邊經歷函數定義的回顧和取名等活動后進行抽象、概括，學生通過數學語言表達自己的發現，深刻理解了概念的內涵.

第四層活動：遷移應用，利用正切概念，解決實際問題

數學史：教師播放正切數學史微視頻，畫面定格在表1三角函數換算表．根據此表，每個銳角都有對應的三角函數值.你能借助這個表求出圖1中虎丘斜塔偏離垂直中心線的水平距離BC嗎？

問題6如圖4，借助刻度尺、測角儀等工具，你有哪些方法可以測出旗桿的高度？

生13：借助太陽光，測出一根竹竿及其影長，再測出旗桿的影長，用相似原理便可求出旗桿的高度.

追問：若測量時沒有太陽光，影長無法測量，還能想到其他辦法嗎？測角儀可測量角度，能否利用今天所學的知識嘗試解決？

設計說明學以致用，通過播放數學史微視頻，讓學生了解正切概念的發展演變歷程，感知銳角三角函數的起源及廣泛應用，培養學生正確的數學觀，實現前后呼應作用.引導學生利用所學知識解決本節課一開始提出的“虎丘斜塔偏離垂直中心線的水平距離”問題.問題6通過開放性設問，引導學生用數學眼光觀察、用數學思維思考問題并給出旗桿測量方案，體會新知的應用價值，培養學生的數學建模能力、應用意識和創新意識.

第五層活動：完善認知，自主總結建構，形成學習體系

問題7

（1）通過今天的學習，你學到了哪些新的知識、思想和方法？（2）回顧今天的學習，你經歷了怎樣的學習過程？（3）你還想繼續學習什么內容？

設計說明核心素養導向下的課堂要求學生“學會學習”，而“勤于反思”又是學會學習的重要路徑．通過對學習過程的回憶、小結、反思，學生能夠簡要地總結出本節課學習的知識、經歷的探究過程及學習的基本方法，暢談對銳角三角函數的認識與展望.教師則根據學生的思維走向，關注學生問題的層次性和邏輯的連貫性，幫助學生對已學內容形成結構化的認知，進一步完善學生的認知結構.

教學思考

1.創設層級活動階梯，促進概念生成

新課標要求學生能夠從情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的數學基本活動經驗，并運用數學思維思考并解決問題．在當下的概念教學中，教師通常簡化概念的生成及應用，靠“熟”能生“巧”的題海訓練來深化學生對知識的理解.這種教學方式缺乏對學生思維的激發，學生的數學智慧靠大量做題是練不出來的．真正的概念教學要從現實背景出發，引導學生在數學活動中深度體驗概念的生成．本節課中，教師引導學生運用數學的眼光從真實生活情境中發現并提出問題，并將其抽象為三角形邊角關系問題.研究直角三角形的三邊之比時∠A 的取值從 30^° 、 45^° 到 37^° ，向學生滲透特殊到一般的數學思想，同時讓學生經歷了畫圖、運算、猜想等探究活動.學生多感官參與，通過直觀體驗和操作探究獲得了直覺思維.學生從圖形變換、相似等入手驗證“直角三角形中當A的大小確定時，A的對邊 的值也確定”，發現∠A的鄰邊共性建構概念，并遷移應用于解決實際問題．上述探究中，學生經歷了感知、推理、內化、應用、反思等層級活動，揭示了數學概念的背景、內涵及發生、發展、生成的動態過程，完成了從直觀到抽象、由感性認識到理性認識的升華.

2.整體構建知識內容，優化認知結構

評課時，章建躍博士指出：“概念教學時要把概念放在系統中，形成概念的網絡結構.”學生應把將要學習的知識與原有知識建立關聯，為新知找到“生長點”與“延伸點”，并將新知納入已有知識體系中，形成結構化的認知．本節課從現實問題中抽象出直角三角形后，喚醒學生回顧直角三角形邊與邊、角與角之間的數量關系，學生自然而然地從邊與角的角度提出新問題.在課堂小結環節，師生經過交流、歸納出概念課的研究路徑：概念建構一概念理解一概念內化一概念應用.對學習的知識進行展望時，有學生提出想要繼續研究A的大小與 A的對邊A的鄰邊 的∠A的斜邊∠A的斜邊值的關系；也有學生提出想要學習銳角三角函數的圖象、性質、應用.教師追問是怎么想到的？學生回答是依據之前學習函數的經驗，教師及時給予了肯定并解釋將在高中學習三角函數時繼續研究這些內容.整節課上聯下延，學生從知識內容、思想方法、研究路徑等角度對概念教學形成了結構化認知，優化了認知結構.

3.重視數學活動體驗，落實數學核心素養提升

新一輪課改以核心素養為導向，課程目標也實現了從知識立意到能力立意、再到素養立意的提升[2]知識是培養數學素養的載體，活動是培養數學素養的渠道[3].數學核心素養的形成不是“教”出來的，是學生經歷觀察、比較、類比、歸納、抽象、概括等數學探究活動逐漸積累、無痕生長出來的，是對數學本質的深度理解與把握．在本節課的第一層活動中，學生用數學的眼光觀察現實世界，采用問題驅動模式，經歷抽象、建模、直觀想象等學習活動，提升了幾何直觀素養；在第二層活動中，學生經歷了畫圖、運算、猜想、驗證等探究活動，提升了運算能力、推理能力；在第三層活動中，學生自主完成了銳角三角函數概念的建構，提升了抽象能力；在第四層活動中，學生應用所學知識解決了虎丘斜塔測量中的實際問題并設計了測量旗桿高度等方案，提升了應用意識和創新意識；在第五層活動中，學生通過回顧本節課內容，對所學知識形成了結構化認知，提升了數學認知水平和語言表達能力.

后記

以數學核心素養為導向，以數學活動為抓手，革新教與學的方式，教師要不惜時、不惜力，由淺入深地創設多層級的數學探究活動，只有讓學生的手、眼、耳、嘴、腦等感官全身心地投入學習中來，學生對概念的理解與建構才更深刻，引發的思維活動才更活躍，實現數學核心素養的無痕生長.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M]：北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]李樹平．立足整體關注邏輯提升素養—“同底數冪的乘法”章起始課教學設計與反思［J］.中學數學月刊，2024（1）：23-26.

[3]羅增儒．“認識三角形”課例的現場研修［J］.中學數學教學參考，2023 （2）：31-36.