聚焦“生本”課堂 厚植核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）開啟了課程改革的新篇章，進一步強調了數學學科教學需關注“立德樹人”“以智育人”等職能，此為發展數學核心素養的基本要求.為此，教師應在“知識為基礎，能力為核心，素養為導向”的基礎上設計教學活動，真正落實新課標對培育“人”的要求．“三角形內角和”是初中階段的基礎性知識，雖然難度系數不大，但要使學生真正掌握其原理，卻不那么容易.為了凸顯數學學科的育人價值，筆者在深耕“生本”課堂的基礎上以“三角形內角和”為例展開教學實踐與思考.

教學過程實錄

1.新課導入

上課伊始，教師提出學生比較熟悉的3個問題： ① 什么是平角？

② 平行線的性質與判定定理是什么？③ 描述平行線各個定理的條件與結論.

設計意圖這三個問題都是學生熟知的內容，教師引導學生回顧平角、平行線的性質以及判定定理等，意在以低起點的問題活躍課堂氣氛，激發學生已有學習經驗為本節課的定理證明作好鋪墊．

師通過之前的學習，大家知道三角形三條邊之間存在怎樣的關系嗎？

生1任意兩條邊的和必然大于第三條邊.

師不錯，那么三角形的三個內角是否也存在某種特別的關系呢？此為本節課將要重點探索的內容.

設計意圖通過對三角形三邊關系的回顧引入教學主題，流暢而自然.三角形邊與邊的關系、角度關系等都涉及數學命題，而命題又包括真假命題判斷、命題的條件與結論、推導過程等.對于初中階段的學生而言，命題屬于既枯燥又難理解的內容.為了讓學生充分做好學習準備，教師從學生熟悉的內容入手，以互動的方式引導學生從三角形的“三邊關系”聯想到“三個角的關系”.如此設計具有承上啟下的作用，可使學生自主自發地投入學習活動中.

2.實踐操作

師如果要探索三角形三個角之間的關系，根據以往認知經驗，我們可以從哪些地方入手？

生1實踐操作最直觀，而且 也最容易理解.

師非常好?。òl放三角形紙片）現在請各個小組嘗試用折疊法分析三個角之間的關系，并對結論進行驗證.

如圖1，學生經交流合作后展示折疊方法，并得出結論：經折疊，發現三角形內角和為 180^°

師你們是如何得出三角形內角和為 180^° 的結論的？請描述具體步驟.

生2在折疊三角形紙片時，確保將三角形的三個頂點疊到同一個位置，這樣就能將三個角拼成一個平角.

師能否理解為將三角形的三個角的頂點都移動到同一個點上，必定組成平角？

（學生沉默）

師現在，請大家將手中三角形紙片的三個角都撕下來，嘗試用多種方法進行拼圖.

在教師的引導下，學生自主撕角、拼圖，形成了多種拼接方法（見圖2）.其中，圖2（3）中的∠A與∠B可以互換.

教師將學生拼成的圖2進行投影展示，并將圖2（1）的拼接方法用磁石固定到黑板上供學生觀察與探究.經過師生之間的交流與互動，最終得出結論：三角形的三個角可以拼出平角.但這一結論是否為真命題呢？顯然，用拼角的方式進行驗證不夠嚴謹，想要明確命題的真假，還需求證真偽.此時，課堂教學自然進入下一個環節.

設計意圖實操活動的開展不僅給課堂教學帶來了生機與活力，還秉承了“生本”教育理念.整個探索過程都由學生自主操作、分析、思考，撕紙拼角的活動促使學生自主得到“三角形的內角和為 180^° ；的結論.或許有人認為撕紙拼角的活動是小學生行為，已不適于初中學生.其實，撕紙拼角的活動蘊含著作輔助線功能，為接下來利用平行線驗證“三角形內角和為 180^° ”的結論作了鋪墊.因此，這是一個特別有效的實操活動，值得初中課堂加以應用，各種各樣的拼接方法進一步發散了學生的思維，為培養學生的創新意識奠定了基礎.如此設計，意在引導學生抓住重點，為接下來突破難點奠定基礎.結合此環節的教學效果來看，學生的參與熱情積極高漲，為課堂教學營造了良好氛圍.

3.逐步驗證

將“三角形的內角和為 180^° ；這一結論板書在黑板上，并引導學生分析此命題的條件與結論.要求學生用規范的數學語言進行描述，最后由教師板書.

已知 ΔABC ，求證： ∠A+ ∠B+∠C=180^°

為了證明這個命題，教師與學生一起觀察并處理黑板上的圖2（1），用粉筆畫出角的輪廓線，拿掉紙片后在相應的角內寫上對應的字母，得到圖3.在這一處理過程中，延長BC并添加射線CE.需要強調的是，這是為了研究需要添加的“輔助線”.所謂輔助線，就是原圖沒有，為了實際需要而添加的線，一般以虛線的形式呈現.

根據圖2（1）可知，圖3中的∠A 與∠1相等， ∠B 與∠2相等.不過，這只是目測得來的結論，未經嚴謹的證明，切不可直接使用，但能給人以啟發.通過作輔助線的方式將問題進行轉化并求證，若證明為真則表明這是正確的結論.為了便于學生理解，教師帶領學生剪下 ∠B 將它置于∠2上，相當于再作一個角等于∠B（見圖4）：

師現在，大家一起來觀察圖形，并思考下列問題： ①∠1 與∠2屬于什么關系的角？ ② 可用什么辦法求證兩個內錯角具有相等的關系？③ 想要明確上一個問題，需證明哪兩條線平行？如何證明？

要求學生帶著上述問題去觀察與思考，并用數學語言規范表達出推導過程.需要強調的是，在分析過程中存在“由結論推導條件”的情況，但在證明過程中，必須先寫條件，再寫結論，切忌無序書寫.學生根據平行線的判定定理，從作等角的視角探尋到平行線，此為學生提出的第一種證明方法（過程略）.在教師的點撥下，學生又聯想到利用平行線的性質來證明，即通過作平行線來證明，此為第二種證明方法（過程略）：

最后，師生共同總結判斷幾何命題真偽的步驟： ① 厘清命題的條件和結論，并畫出與題意相符的圖形； ② 觀察圖形，將命題抽象為規范的數學語言，即按照條件與結論書寫已知與求證的內容； ③ 根據命題條件逐步推導結論，規范書寫步驟.

設計意圖數學講究嚴謹、理性.當面對一個新的命題時，需用規范的推理證明它的真偽.在教師的引導下，學生探索出兩種證明方法，規范求證出“三角形的內角和為180^° ”這一命題，并概括出證明真命題應當遵循的一般步驟.整個過程學生都處于主體地位，教師僅僅進行引導與點撥，培養了學生推理能力等數學核心素養.

師通過以上探索，明確了“三角形的內角和為 180^° ”是一個真命題，除了大家已經探索出的兩種方法，還有其他證明方法嗎？請以小組合作學習的模式進行探求，然后，各組派一名代表上臺展示.

（學生合作交流并展示，略）

師隨著證明方法的增加，大家都充分理解了為什么三角形的內角和是 180^° ，各種證明方法之間是否存在某種共同點？

生3都是作平行線或相等角，將三角形的三個角轉化為平角來求證，

師不錯，你們還記得之前的學習中，還有什么情況涉及 180^° 這個特殊角的？

生4關于平行線定理中，有一個“同旁內角互補”的說法.

師非常好！可否將這一定理應用到求證三角形內角和的問題中？

生5如圖5，過點A作射線AD ，令 AD 與 BC 平行（證明過程略）.

設計意圖在“生本”理念的基礎上，引導學生從不同視角來求證三角形內角和的定理.學生從最初的“撕角拼平角”到后續嚴謹的證明，經歷了動手動腦的過程，有效地發展了探索精神，其認知實現了從感性向理性的轉變.關于“三角形內角和”的兩種證明方法雖然有所區別，但本質卻高度一致.這一發現，有效地促進了學生抽象能力等數學核心素養的發展，為幫助學生更好地建立事物之間的聯系，獲得良好的數學遷移能力創造了條件.同時，輔助線的應用，也有效地滲透了轉化與化歸思想.

4.拓展延伸

問題1居住在直角三角形內的三兄弟發生了口角，老二對老大說：“憑什么你比我大？我想要跟你一樣大.”老大匆忙擺手：“不行，不行，你不能跟我一樣大，如果一樣大就沒有房子了.”聰明的你，能否說說為什么老大要這么說嗎？

生6因為老大為 90^° ，如果老二也是 90^° 的話，根據三角形內角和為 180^° 的命題，則沒老三什么事了．即兩個 90^° 的角無法構成一個三角形.

問題2 “四邊形的內角和為360^° ”是不是真命題？請求證.

聯系“三角形內角和為 180^° ”的探索流程，學生自主分析該命題的條件與結論，并畫出圖形，分別用規范的數學語言寫出已知與求證內容，然后探尋證明方法.整個過程流暢、合理.由此可見，學生已經掌握了探索某個命題是真是偽的基本方法.

設計意圖新課標引領下的數學教學不僅僅是知識的教學，更是發展能力與素養的教學.關于三角形內角和定理，學生已經有了深刻的理解.然而，要讓學生獲得舉一反三的學習能力，就要為學生創造更多的思考條件，例如用問題驅動學生的思維，進一步強化一般研究路徑，為后續探索更多問題夯實基礎.

教學感悟

1.“生本”課堂“度”的把握

學生是課堂的主體，但也不能放任其不管.教師在秉承“生本”理念的同時，要以組織者與引導者的身份使課堂在松弛有度中穩步推進.然而，有些教師在理解課標要求時走入極端，認為既然強調學生是課堂的主體，就應遵循學生的意愿，讓學生主導課堂.這種理解不僅無法完成既定的教學任務，也不利于學生個體的長遠發展.事實上，學生猶如放飛的風箏，教師需時刻拽牢手中的線，并隨著風向適當牽引，才能讓學生飛得更高.本節課中，學生處于主體地位，教師時刻關注其思維動向，并給予適當的點撥與引導，不僅讓學生自主發現并證明了三角形內角和定理，還進一步提升了學習能力，發展了抽象能力、幾何直觀等數學核心素養．

2.“生本”課堂需創造思考條件

利用課堂立德樹人，就要增強學生的思維容量.思考是培養數學思維的基礎，課堂為學生創造了更多的思考機會，是實現“以智育人”的重要途徑.數學教學過程中的解題模仿、類型強化等做法，都是鞏固知識與技能的基礎，缺乏思考的模仿與強化會導致教學低效.有思考才有反思，有反思才能促進思維的成長.本節課中，教師為學生創造了充足的思考空間，學生通過實操互動、方法提煉等方式，逐步發展了“四基與四能”，深刻體會到本節課教學的價值，獲得了良好的數學演繹推理能力.總之，踐行“立德樹人”理念，讓學生獲得舉一反三的能力，是促進學生數學核心素養發展的重要路徑.正如盧梭所言，教育的關鍵不在于告訴學生真理，而是教會學生如何發現真理.新課標背景下的數學教學，要以生為本、恪守正道，守住“正”，才能確保“出新”．