連鑄切割過程的多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型

中圖分類號(hào)：TF777；O221；O244 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-0105（2025）01-0047-06

Mixed-integer Nonlinear Programming Model for Continuous Casting Cutting Process under Multiple Constraints

WANG Jijian （ZhejiangIndustryamp; TradeVocational College，Wenzhou 325oo3，China）

Abstract：Aiming atthe online optimization problem inthe continuous casting cuting process，a multi-objectiveoptimization model basedontheideaofbox problem modeling is proposed.The modelof“5boxesand1section”isconstructed andsolved by sequentialalgoithtoobtaintheoptialcutingshemeoftailbilet.Wenanabnomalityoccursintecystalizer，the“6boxes andlsection”modelisusedforralteoptimiationtoensuretheefectivenessofthecutingsheme.Ifnewabnormalityours againinthecrystalizer，the“6-boxmulti-segment”modelisusedtoadjustheorginalcutingschemetofurtherreducethecuting loss.The above three models provide a new method for online optimization of continuous casting cutting.

Keywords：cartoning problem; multi-bjectiveoptimizationmodel;sequentialalgotm;continuouscuting;on-ineoptization

0引言

連鑄是將鋼水變成鋼壞的生產(chǎn)過程，具體流程如圖1所示，鋼水連續(xù)地從中間包澆入結(jié)晶器，并按一定的速度從結(jié)晶器向下拉出進(jìn)入二冷段，經(jīng)過二冷段之后形成鋼坯，然后按照一定的尺寸要求對(duì)鋼壞進(jìn)行切割。在連鑄停澆時(shí)，會(huì)產(chǎn)生尾壞，尾坯的切割也是連鑄切割的組成部分。在切割方案中，優(yōu)先考慮切割損失，要求切割損失盡量小（這里將切割損失定義為報(bào)廢鋼坯的長(zhǎng)度），再考慮用戶要求，在相同的切割損失下，切割出的鋼坯盡量滿足用戶的目標(biāo)值。有關(guān)待切的鋼壞長(zhǎng)度、切割具體尺寸等數(shù)據(jù)來(lái)自全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2021年D題[1]

1文獻(xiàn)綜述

關(guān)于連鑄切割在線優(yōu)化問題的研究，比較典型的解決方法有以下5個(gè)。一是把切割工藝簡(jiǎn)單化，形成更為特殊的約束條件，所建立的雙目標(biāo)優(yōu)化模型更加簡(jiǎn)單，但切割損失過大。例如，在結(jié)晶器正常時(shí)，把切割后的鋼壞長(zhǎng)度限定為8米、9米、9.5米和10米，切割損失64.1米；在結(jié)晶器出現(xiàn)異常且對(duì)原切割方案不作調(diào)整時(shí)，把切割后的鋼坯長(zhǎng)度限定為9米、9.5米和10米，切割損失36米（不含報(bào)廢段）。[2]

二是在解決尾壞最優(yōu)切割問題時(shí)，先估計(jì)出最少可切割成 L₀ 段，最多可切割成 L₁ 段，在 [L₀，L₁] 內(nèi)有 N 個(gè)整數(shù)，就有 N 個(gè)切割方法，然后針對(duì)每一個(gè)切割方法以切割損失最小建立單目標(biāo)優(yōu)化模型，求解后通過比較 N 個(gè)切割方法的最優(yōu)值，取最優(yōu)值最小的那個(gè)切割方法的方案就是最優(yōu)方案。在解決結(jié)晶器出現(xiàn)異常情況下的切割問題時(shí)，分3種情況（1個(gè)報(bào)廢段、2個(gè)報(bào)廢段、需要二次切割）進(jìn)行討論，分別建立了單目標(biāo)優(yōu)化模型，得到了實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案。[3]

三是在解決尾坯最優(yōu)切割問題時(shí)，把切割后鋼坯的長(zhǎng)度設(shè)定為4.8米、4.9米、5.0米、…、12.6米，一共有79種，每一種鋼坯切割 n_i 個(gè)（ i=1，2，…，79 ），其中9.5米的鋼壞根數(shù)是 n₄₈ ，把n₄₈?m 作為約束條件（ Ω_m 是主觀指定的整數(shù)），以切割損失最小建立了單目標(biāo)優(yōu)化模型，得到了最優(yōu)切割方案。在解決結(jié)晶器出現(xiàn)異常情況下的切割問題時(shí)，把相鄰2個(gè)報(bào)廢段，轉(zhuǎn)化為在4.8米與8米之間存在2個(gè)報(bào)廢段，如果只有1個(gè)報(bào)廢段，就轉(zhuǎn)化為在4.8米與8米之間存在1個(gè)報(bào)廢段，從而把尾坯最優(yōu)切割模型推廣到實(shí)時(shí)最優(yōu)切割模型。[4]

四是在解決尾壞最優(yōu)切割問題時(shí)，把切割后鋼坯的長(zhǎng)度設(shè)定為4.8米、4.9米、5.0米、·、12.6米，一共有79種，每一種鋼坯切割 n_i 個(gè)（ i=1，2，…，79 ），以切割損失最小、目標(biāo)值鋼坯個(gè)數(shù)最多建立了雙目標(biāo)優(yōu)化模型，得到了最優(yōu)切割方案。在解決結(jié)晶器出現(xiàn)異常情況下的切割問題時(shí)，把報(bào)廢段附著在正常段的前端或后端，從而轉(zhuǎn)化為尾壞最優(yōu)切割模型。[5-6]

五是從算法角度對(duì)連鑄切割問題進(jìn)行深人研究，建立了最優(yōu)實(shí)時(shí)在線切割算法，從而實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)切割。[7-8]

綜上所述，當(dāng)前學(xué)術(shù)界針對(duì)連鑄切割在線優(yōu)化的研究主要使用多目標(biāo)優(yōu)化模型，但在約束條件上過于特殊化，造成切割損失過大。基于此，本文借助裝箱問題的建模思想，建立多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型，巧妙地解決了連鑄切割的在線優(yōu)化問題，為制定最優(yōu)切割方案提供了一種新方法。

2針對(duì)尾壞制定最優(yōu)切割方案

案例I已知針對(duì)尾壞切割的基本要求如下：切割后的鋼壞長(zhǎng)度必須在 4.8～12.6 米之間，否則無(wú)法運(yùn)走，阻礙生產(chǎn)。下道工序能夠接受的鋼坯長(zhǎng)度是8.0～11.6 米，如果不在此范圍內(nèi)，可以將鋼坯運(yùn)走進(jìn)行二次離線切割，但切割下的部分報(bào)廢，從而產(chǎn)生損失。例如，12.6米的鋼坯切掉1.0米變成11.6米，切下來(lái)的1.0米報(bào)廢；而小于8.0米的鋼坯只能全部報(bào)廢。

正常要求如下：正常切割是按照用戶要求的長(zhǎng)度進(jìn)行切割。用戶要求包含目標(biāo)值和目標(biāo)范圍，鋼壞的切割長(zhǎng)度應(yīng)盡量滿足目標(biāo)值，而在目標(biāo)范圍內(nèi)的長(zhǎng)度也是可以接受的。例如，目標(biāo)值是9.5米，目標(biāo)范圍是 9.0～10.0 米，則切割長(zhǎng)度盡量是9.5米，而在 9.0～10.0 米之間的長(zhǎng)度是允許的。當(dāng)鋼坯長(zhǎng)度不在目標(biāo)范圍內(nèi)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生損失。例如，鋼坯長(zhǎng)度是11.6米，多出來(lái)的1.6米報(bào)廢。

在滿足基本要求和正常要求的條件下，對(duì)109.0來(lái)的尾坯制定最優(yōu)切割方案。假定用戶目標(biāo)值為9.5米，目標(biāo)范圍為 9.0～10.0 米，按“切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出具體的最優(yōu)切割方案。

2.1模型建立

設(shè)基本要求中的鋼壞長(zhǎng)度范圍為 [a₁，a₂] ，正常要求中的目標(biāo)范圍為 [c₁，c₂] ，目標(biāo)值為 c ，尾坯長(zhǎng)度為 d 。根據(jù)工藝參數(shù)的要求有 [c₁，c₂]?[a₁，a₂] 。

把尾壞長(zhǎng)度 d 劃分為5部分，對(duì)應(yīng)5個(gè)箱子，如圖2所示，1號(hào)箱的每根鋼坯長(zhǎng)度等于目標(biāo)值；2號(hào)箱的每根鋼坯長(zhǎng)度在 [c₁，c₂] 之間；3號(hào)箱的每根鋼坯長(zhǎng)度在 （c₂，a₂] 之間，需要離線二次切割而產(chǎn)生切割損失；4號(hào)箱的鋼坯長(zhǎng)度在 [a₁，c₁） 之間（有1根或0根），直接報(bào)廢而產(chǎn)生切割損失；5號(hào)箱的鋼壞長(zhǎng)度在 [0，a₁） 之間（有1根或0根），由于無(wú)法運(yùn)走而不能切割。5個(gè)箱子的編號(hào)有規(guī)律，即編號(hào)越小的箱子希望裝入的鋼坯越多。

根據(jù)以上分析，設(shè)1號(hào)箱含有 n₁ 根鋼坯（ n₁?0 且為整數(shù)），每根鋼壞的長(zhǎng)度為 x₁ ，且x₁=c ；2號(hào)箱含有 n₂ 根鋼坯（ n₂?0 且為整數(shù)），每根鋼坯的長(zhǎng)度為 x₂ ，且 x₂∈[c₁，c₂] ；3號(hào)箱含有 n₃ 根鋼坯（ n₃?0 且為整數(shù)），每根鋼坯的長(zhǎng)度為x₃ ，且 x₃∈（c₂，a₂] ，鋼坯需要離線二次切割；4號(hào)箱含有 n₄ 根鋼坯（ 0?n₄?1 且為整數(shù)），鋼坯的長(zhǎng)度為 x₄ ，且 x₄∈[a₁，c₁） ，鋼壞需要直接報(bào)廢；5號(hào)箱含有 n_s 根鋼坯（ 0?n₅?1 且為整數(shù)），鋼坯的長(zhǎng)度為 x_s ，且 x_s∈[0，a₁） 。

首先，分析目標(biāo)函數(shù)。5號(hào)箱鋼壞導(dǎo)致無(wú)法運(yùn)走，故優(yōu)先減少這一箱鋼坯的數(shù)量，于是第一目標(biāo)為 f₁=n₅ ，求其最小值，即

minf₁=n₅

切割損失為第二目標(biāo)且求最小值，即

minf₂=n₃（x₃-c₂）+n₄x₄+n₅x₅

在相同的切割損失下，切割出的鋼壞盡量滿足用戶的目標(biāo)值，即

maxf₃=n₁

其次，分析約束條件。各箱鋼壞的根數(shù)要滿足

各箱的鋼壞長(zhǎng)度要滿足

尾壞的總長(zhǎng)度要滿足

由式 （1）～（6） 構(gòu)成了優(yōu)化模型I。

2.2應(yīng)用案例

模型I是多目標(biāo)非線性混合優(yōu)化模型，適用于5箱1段的尾壞切割問題。采用序貫算法，即先以第一目標(biāo)求解，然后把第一目標(biāo)的最優(yōu)值作為約束條件，以第二目標(biāo)求解，以此類推，最后得到的最優(yōu)解就是多目標(biāo)優(yōu)化模型的解。

如果 f₁^*=1 ，即 n₅=1 ，說(shuō)明5號(hào)箱有1個(gè)鋼坯，但無(wú)法運(yùn)走，故不能切割，直接報(bào)廢，于是求解程序終止。

根據(jù)案例I中的要求得知， a₁=4.8 ， a₂=12.6 ，c=9.5 ， c₁=9.0 ， c₂=10.0 ， d=109.0 ，使用LINGO軟件求解，先以第一目標(biāo)求解得 f₁^*=0 ，再把 f₁=0 作為約束條件，以第二目標(biāo)求解得 f₂^*=0 ，再把 f₂=0 作為約束條件，以第三目標(biāo)求解得， f₃^*=2 。切割方案是2個(gè)9.5米，10個(gè)9米，切割損失為0米。經(jīng)過檢驗(yàn)，該切割方案既符合正常要求，也符合基本要求。

如果尾坯長(zhǎng)度是13.7米，則切割成10米和3.7米，由于3.7米不符合基本要求（或 n_s=1 ），故不能切割，直接報(bào)廢。

3制定實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案

案例ⅡI在澆鋼過程中，結(jié)晶器會(huì)出現(xiàn)異常。這時(shí)，位于結(jié)晶器內(nèi)部的一段鋼坯需要報(bào)廢，稱此段鋼坯為報(bào)廢段（圖3）。當(dāng)結(jié)晶器出現(xiàn)異常時(shí)，切割工序會(huì)馬上知道，以便立即調(diào)整切割方案。已知實(shí)時(shí)切割的工藝參數(shù)如下：切割機(jī)切斷一塊鋼壞的時(shí)間為3分鐘，切割后，返回到工作起點(diǎn)的時(shí)間為1分鐘。從結(jié)晶器中心到切割機(jī)工作起點(diǎn)處鋼壞的長(zhǎng)度是60.0米，連鑄拉坯的速度為1.0米/分鐘。當(dāng)結(jié)晶器出現(xiàn)異常時(shí)，報(bào)廢段的長(zhǎng)度是0.8米。

在結(jié)晶器出現(xiàn)異常時(shí)，給出實(shí)時(shí)的最優(yōu)切割方案：（1）在鋼坯第1次出現(xiàn)報(bào)廢段時(shí)，給出此段鋼壞的切割方案；（2）在出現(xiàn)新的報(bào)廢段后，給出新一段鋼坯的切割方案和當(dāng)前段鋼壞切割的調(diào)整方案，或聲明不作調(diào)整。假設(shè)結(jié)晶器出現(xiàn)異常的時(shí)刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266.0、270.7和327.9（單位：分鐘），用戶目標(biāo)值是9.5米，目標(biāo)范圍是 9.0～10.0 米。在滿足基本要求和正常要求的條件下，按“初始切割方案、調(diào)整后的切割方案、切割損失”等內(nèi)容列表給出這些時(shí)刻具體的最優(yōu)切割方案。

3.1在結(jié)晶器出現(xiàn)新的異常時(shí)對(duì)原切割方案不作調(diào)整

3.1.1模型建立

假設(shè)以結(jié)晶器中心作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，如果把報(bào)廢段附著在拉坯的最后 （圖4），那么把這一段拉坯視為尾坯，就轉(zhuǎn)化為尾壞切割問題了。

設(shè)從切割機(jī)工作起點(diǎn)到結(jié)晶器中心的長(zhǎng)度是 σ_s 米，鋼壞移動(dòng)速度是 v 米/分鐘，報(bào)廢段長(zhǎng)度為 ρ_e

米，則第1次出現(xiàn)異常時(shí)尾壞長(zhǎng)度為

由于拉壞是連續(xù)的，設(shè)結(jié)晶器上次和新出現(xiàn)異常的時(shí)刻分別是 t₁ ， t₂ （分鐘），則前后出現(xiàn)2次異常的時(shí)間間隔為

t=t₂-t₁

新出現(xiàn)異常時(shí)尾壞長(zhǎng)度為

d=vt

把尾坯長(zhǎng)度 d 劃分為6部分，對(duì)應(yīng)6個(gè)箱子，其中6號(hào)箱含有 n₆ 根鋼坯（ n₆=1 ），長(zhǎng)度為 x₆ ，且 x₆∈（c₂+e，a₂] ， 1～5 號(hào)箱子的要求不變，于是切割損失為

minf₂=n₃（x₃-c₂）+n₄x₄+n₅x₅+（x₆-e-c₂）

6號(hào)箱鋼壞的根數(shù)要滿足

n₆=1

6號(hào)箱的鋼壞長(zhǎng)度要滿足

c₂+e6?a₂

尾坯的總長(zhǎng)度要滿足

由式（7） ～ （13）構(gòu)成了優(yōu)化模型II。

3.1.2應(yīng)用案例

模型ⅡI是多目標(biāo)非線性混合優(yōu)化模型，適用于6箱1段（報(bào)廢段）的拉坯切割問題。

根據(jù)案例I和案例ⅡI中的信息得知， a₁=4.8 ，a₂=12.6，c=9.5，c₁=9.0，c₂=10.0，s=60 ，v=1 ， e=0.8 ， t₁ ， t₂ 的取值如表1第1列所示， d 的計(jì)算結(jié)果如表1第4列所示。

在式（13）中， ，故當(dāng)d?c₂+e 時(shí)無(wú)解。例如，對(duì)于尾壞長(zhǎng)度10.8米，不能優(yōu)化，可在切割后再作離線切割成10米和報(bào)廢段0.8米。再如，對(duì)于尾坯長(zhǎng)度4.7米，由于小于10.8米，故不能優(yōu)化，切割后直接報(bào)廢。

實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案如表1所示。合計(jì)切割損失16.6米。

根據(jù)表1，按“尾壞長(zhǎng)度、切割方案、切割損失”等內(nèi)容列出實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案，如表2所示。

3.2在結(jié)晶器出現(xiàn)新的異常時(shí)對(duì)原切割方案作調(diào)整

3.2.1模型建立

當(dāng)結(jié)晶器新出現(xiàn)異常時(shí)，切割工序會(huì)馬上知道，于是需要調(diào)整原有的切割方案形成新的切割方案，在切割機(jī)返回到工作起點(diǎn)時(shí)，切割機(jī)按照新的切割方案執(zhí)行切割任務(wù)。

設(shè)在新出現(xiàn)異常前原切割方案尾壞長(zhǎng)度為 d 米，在新出現(xiàn)異常前已經(jīng)切掉的尾坯長(zhǎng)度為 h 米，則在制定新方案時(shí)的尾壞長(zhǎng)度為

d₂=d-h+vt

通常情況下，尾坯 d₂ 含有2個(gè)報(bào)廢段，但如果結(jié)晶器頻繁出現(xiàn)異常就有可能含有3個(gè)及以上報(bào)廢段，不管有幾個(gè)報(bào)廢段，都以每個(gè)報(bào)廢段為分界線，把尾坯 d₂ 劃分為若干個(gè)子尾坯，然后分別以子尾坯為單位制定切割方案，再把這些切割方案串聯(lián)起來(lái)組成母尾壞的切割方案。以2個(gè)報(bào)廢段為例，令

則 d₂₁ 表示在新出現(xiàn)異常時(shí)原切割方案尾壞長(zhǎng)度被

切割剩余部分， d₂₂ 表示在新出現(xiàn)異常時(shí)尾壞長(zhǎng)度的增量，于是分別以 d₂₁ 、 d₂₂ 為尾坯長(zhǎng)度，使用模型Ⅱ求解2次就可以得到調(diào)整后的切割方案。

為方便起見，把6箱多段（報(bào)廢段）的多目標(biāo)優(yōu)化模型稱為模型IⅢI，它適用于多個(gè)報(bào)廢段的拉壞切割問題。

3.2.2應(yīng)用案例

仍然以案例Ⅱ?yàn)槔阎?a₁=4.8 ， a₂=12.6 ，c=9.5 ， c₁=9.0 ， c₂=10.0 ， s=60 ， v=1 ， e=0.8 ，其余參數(shù)的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

按“尾坯長(zhǎng)度、切割方案、切割損失”等內(nèi)容列出具體的實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案，如表4所示。

下面舉例進(jìn)行說(shuō)明。當(dāng)結(jié)晶器第7次出現(xiàn)異常時(shí)，距離上次異常的時(shí)間是32.7分鐘，拉坯向前延長(zhǎng)了32.7米，切割機(jī)按照原方案依次切割完9.5米、10米，并開始切割第2個(gè)10米時(shí)，花費(fèi)時(shí)間29.5分，此時(shí)結(jié)晶器尚未出現(xiàn)異常，切割機(jī)需要切割的下一個(gè)鋼壞是10.8米（含報(bào)廢段），它必須在4分鐘后返回起點(diǎn)并等待6.8分鐘才能切割，但是當(dāng)它正在返回途中時(shí)結(jié)晶器就出現(xiàn)了新的異常，此時(shí)立即制定新的切割方案，于是尾壞長(zhǎng)度是86米一 82.8-29.5+32.7=86） ，由于86米包含3個(gè)報(bào)廢段，故把它分為3段，第1段是10.8米（含報(bào)廢段），直接切割，切割損失為0米；第2段是42.5米，已經(jīng)有最優(yōu)切割方案了，切成2個(gè)10米、11.7米、10.8米（含報(bào)廢段），切割損失為1.7米；第3段是新增的32.7米，使用模型Ⅱ求解得，切成2個(gè)10.7米、11.3米（含報(bào)廢段），切割損失為1.9米。

于是調(diào)整后的切割方案（包括切割順序）為：10.8米（含報(bào)廢段）、2個(gè)10米、11.7米、10.8米（含報(bào)廢段）、2個(gè)10.7米、11.3米（含報(bào)廢段），預(yù)計(jì)切割損失為3.6米。而第6次出現(xiàn)異常并已成事實(shí)的切割方案為：9.5米、2個(gè)10米，實(shí)際切割損失為0米。

當(dāng)結(jié)晶器第8次出現(xiàn)異常時(shí)，距離上次異常的時(shí)間是4.7分鐘，拉坯向前延長(zhǎng)了4.7米，切割機(jī)尚未開始切割結(jié)晶器就出現(xiàn)了新的異常，此時(shí)立即制定新的切割方案，于是尾坯長(zhǎng)度是90.7米（ 86-0+4.7=90.7 ），由于90.7米包含4個(gè)報(bào)廢段，故把它分為4段，前3段切割方案不變，于是切割方案（包括切割順序）為：10.8米（含報(bào)廢段）、2個(gè)10米、11.7米、10.8米（含報(bào)廢段）、2個(gè)10.7米、11.3米（含報(bào)廢段）、4.7米（含報(bào)廢段），預(yù)計(jì)切割損失為7.5米。而第7次出現(xiàn)異常并已成事實(shí)的切割方案為：不切，實(shí)際切割損失為0米。

根據(jù)表4統(tǒng)計(jì)，前8次總切割損失為10.8米。如果采用不調(diào)整的做法，則前8次總切割損失為16.6米，調(diào)整效果非常明顯，說(shuō)明針對(duì)原方案進(jìn)行適時(shí)調(diào)整是必要的。

4結(jié)束語(yǔ)

在解決連鑄切割的在線優(yōu)化問題時(shí)，借助“裝箱問題”的建模思想，如果要制定尾壞的最優(yōu)切割方案，那么建立“5箱1段”的多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解；如果在結(jié)晶器出現(xiàn)異常時(shí)要制定拉坯的最優(yōu)切割方案，那么建立“6箱1段”的多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解；如果在結(jié)晶器出現(xiàn)新的異常時(shí)要對(duì)原方案進(jìn)行調(diào)整，那么建立“6箱多段”的多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型，使用序貫算法可得最優(yōu)解。

本文所建立的3個(gè)模型與同類模型相比具有以下優(yōu)勢(shì)：一是建立的多目標(biāo)非線性混合規(guī)劃模型，以基本要求和正常要求為約束條件，以長(zhǎng)度小于4.8米的鋼坯根數(shù)最少、切割損失最小、目標(biāo)值鋼坯根數(shù)最多為目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了制定實(shí)時(shí)最優(yōu)切割方案的目的。二是使用序貫解法求解模型能夠得到最優(yōu)解。三是能夠識(shí)別出不能切割的尾坯，并且鋼壞長(zhǎng)度的精度可調(diào)節(jié)。四是每當(dāng)結(jié)晶器出現(xiàn)異常時(shí)就對(duì)原切割方案進(jìn)行調(diào)整，可大幅度降低切割損失。總之，本文模型不但存在最優(yōu)解，而且切割損失非常小，優(yōu)化效果顯著，為連鑄切割的在線優(yōu)化提供了一種新方法。

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（責(zé)任編輯：麻小珍）