回歸教學原點 培養多思少算 提升運算素養2025年數學新高考Ⅱ卷試題評析

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.在完成這些環節的過程中，其他五個數學核心素養的作用是必不可少的.因為在解決一個具體問題的過程中，往往需要采用畫圖、分析、歸納、猜想、比較、推理、驗證等方法，這些方法是與數學核心素養緊密相關的.因此，數學運算素養是其他數學核心素養的集中呈現過程，數學運算能力的形成與數學核心素養的形成過程具有同步性.那么采取哪些方法可以幫助學生提升數學運算核心素養呢？筆者認為“回歸教學原點，培養多思少算”不失為一個良策.

1對核心素養的考查分析

2025年數學新高考Ⅱ卷繼續沿用去年總題量19題的模式，深化考試內容改革，試題加強對基本概念、基本思想方法、關鍵能力、學科素養和思維品質的考查.

1.1 深化基礎性考查，引導教學回歸原點

試題加強對基本知識、原理、方法、技能的深入理解和綜合應用，實現全面深度檢測，引導數學教學要注重減量提質，注重概念教學回歸本質，厘清原理，提升運算能力與運算速度；習題教學應回歸試題的原點，引導學生掌握內在規律，厘清運算思路.

1.2拓展綜合性考查，突出思維品質

試題延續了多思少算的考查思路，注重綜合性考查，增強對主干知識的深層次理解，突出思維品質考查.在解答題部分，對數列、三角函數、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數等主干知識都進行了重點考查，強調在深刻理解的基礎上融會貫通、靈活應用，不考死記硬背、不出偏題怪題，而是降低題目的起點，增強試題的靈活性和開放性，注重解決問題要有創新的思想，實現了平和中有新意，靈活中見潛力，引導學生形成完整的知識體系.

1.3 融合創新性、探索性考查，助力人才識別

通過材料信息的豐富性、解決問題視角的個性化和差異性、試題要素之間的巧妙聯系性以及解決問題思路的多樣性，增強了試題的靈活性、創新性和探索性，發揮高考數學的評價和選拔功能，滿足社會發展對創新型人才，特別是拔尖創新人才選拔的需要，助力教育強國建設.

例如，第18題研究函數極值點和零點的關系，第（1）問要求確定二者的存在性和唯一性，為后兩問進行鋪墊；第（2）問引入輔助函數探索極值點和零點之間的關系，邏輯性強，設問具有一定的開放性，避免極值點偏移的固化解題模式，很明顯就是反押題、反套路化.第19題設置了乒乓球練習的情境，引入了一組事件，并研究其概率遞推與不等式之間的關系，要求學生能夠由特殊到一般創造性地分析問題，在新舊知識的聯系中形成解題思路，很好地考查了學生的信息提取和探索能力.

數學運算能力是高中數學學習的基礎和核心，也是學生形成關鍵能力的必備數學學科核心素養之一，其水平直接影響著學生學習數學的興趣和自信心.要提升學生的運算能力可以采取不同的途徑來實現，如教學中應引導學生知其然更知其所以然，培養多思少算的習慣，從而有效提升學生的數學運算能力，真正發展學生的數學學科素養.

2 對試題的考向分析

2.1 回歸數學概念和基本原理

基本概念和基本原理是數學知識體系的基石和支撐，是數學核心素養發展的根基.數學概念和基本原理教學的關鍵是要通過課堂教學展現數學概念、公式、法則、公理、定理、結論的發現與形成過程，逐步培養學生對知識的主動探究、主動發現和對所學知識的主動建構，這樣可以有效提高學生的創新意識、探索能力，培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養.

1）回歸概念原點，厘清算法算理

例1 （第4題）不等式 的解集是（ ）.

A. {x∣-2?x?1}

B. {x∣x?-2}

C. {x∣-2?xlt;1}

D. {x∣xgt;1}

分析本題的考點是分式不等式的求解.通過移項通分可化不等式一邊為0（-4 ，0），再轉化為解不等式組 主要陷阱在分母 x-1≠0 ，解集需排除 x=1 ，故選C.對于忽略定義域的考生來說會直接選A，成功掉入命題人設計的陷阱里.可見，正確理解運算對象及掌握運算對象的本質特點，才是順利解決此類問題的關鍵.

例2 （第10題，多選題）已知 f（x） 是定義在R上的奇函數，且當 xgt;0 時， f（x）=（x²-3）e^x+2 ，則（ ）.

A. f（0）=0

B.當 xlt;0 時， f（x）=-（x²-3）e^-x-2 C. f（x）?2 當且僅當

D. x=-1 是 f（x） 的極大值點

分析本題是對函數奇偶性、對稱性的全方位考查.選項A和B考查奇函數的基本定義： f（0）=0 和當 xlt;0 時， f（x）=-f（-x） .通過舉反例 f（-1）= 2（e-1）gt;2 可以輕松排除選項C.對于選項D，當 0時， f^′（x）=e^x（x+3）（x-1） ，可得 x=1 是 f（x） 的極小值點.由奇函數的對稱性知 x=-1 是 f（x） 的極大值點，故選ABD.如果漏選D，說明還沒完全理解導數零點與函數對稱性概念間的本質聯系，

2）回歸公式、定理原點，簡化運算程序

例3（第5題）在△ABC中， BC=2，AC=1+ . ，則 ：

A. 45^° B. 60^° C. 120^° （204號 D. 135°

分析本題是余弦定理的逆向使用，設 ΔABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，將題設條件直接代人cos ，求得cos ，故選A.作為選擇題，由于已知三邊長，也可根據大邊對大角用排除法得到最小的角小于 60^° ，直接得出答案.

本題的陷阱是數據設計故意使 AC 的長度含 ，誘導考生聯想 30^° 或 60^° ，但答案卻是 45^° .另外，如果考生作高解三角形硬算，說明沒有回歸公式、定理的原點，缺乏簡化運算程序、優化運算方法的思維.因此，在教學中應回歸公式、定理的本質，了解或理解概念、公式、法則的來龍去脈，對公式不但要會正用，更重要的是會逆用和變形用，這樣才能快速解決相關問題，提升數學運算能力.

2.2 回歸試題原點，掌握內在規律，厘清運算規律

例4（第14題）一個底面半徑為 4cm ，高為

9cm 的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內有

兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

分析球的切接問題是近幾年高考的一大熱點與難點，解決問題的核心是確定球心和球的半徑.解決思路是有圖識圖到無圖想圖、畫圖.

求解本題的關鍵是作出軸截面圖，把問題轉化為矩形內切兩等圓.作出軸截面，如圖1所示，設鐵球的半徑為 r ，由幾何關系得

|AB|²=（8-2r）²+（9-2r）²=（2r）²，

解得 或 因為 rlt;4 ，所以 0

本題源自工程學中的包裝問題，是高考球體問題的經典變式.如果列三元方程組求解，說明缺乏空間問題平面化的轉換能力，沒有回歸球體問題的本質.球的問題常常化歸為球心和其他點組成的平面或多面體的截面問題.

例5 （第19題）甲、乙兩人進行乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分.設每個球甲勝的概率為 ，乙勝的概率為 q，p+q=1 ，且各球的勝負相互獨立.對正整數 k?2 ，記 p_k 為打完 k 個球后甲比乙至少多得2分的概率， q_k 為打完 k 個球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求 ?₃°_?4 （用 Σ_P 表示）；

（2）若 =4，求p；

（3）證明：對任意正整數 m，p_2m+1-q_2m+1lt;

分析本題以熟悉的乒乓球練習得分為情境，引入了事件，并研究其概率之間的關系，是2024年數學高考新定義問題的延續和新探索.解決此類問題的核心是新舊知識的轉化和聯系，即先按照考題給出的要求將新知識“翻譯\"為舊知識，再用學過的舊知識進行解答.解題的突破點是以題目給定的條件和結論作為線索，按圖（或表）索驥，形成猜想，綜合分析出命題人想要考查的核心知識點.解決這類問題的思路是“現象一規律（共性）一猜想原理一挖掘原因”，考生需要通過一些具體的例子，有意識地去總結規律并形成猜想，再將這個過程抽象成數學語言.例如，本題通過解決第（1）問，尋找概率之間的變化，就可以順利寫出遞推關系，然后作差后利用已知條件和組合數性質證明不等式.此題源自博弈論的連勝概率模型，很好地避開了馬爾科夫鏈解題的套路，真正實現考查學生探索能力的要求，有助于拔尖創新人才的選拔，

3對高中數學教學及復習備考的啟示

1）回歸教材，夯實基礎，掌握必備知識

2025年數學新高考1卷有不少題目（如前面的例1～ 例4）都是以教材中的典型例題、習題以及素材為基礎進行改編或重組的.因此，教師在高三復習教學中要深人研究教材，用好教材，深人研究各主要版本教材中的經典例題和習題，使學生了解知識的發生、發展和應用的全過程.回歸教材要注意以下三點：深入理解核心概念、重新溫習重要定理和公式的推導、梳理解題方法.具體可以從以下三個方面入手：一是教師要針對性地精心設計一些典型易混易錯問題，引導學生厘清數學概念的內涵和外延，準確把握概念間的區別與聯系，會用概念進行辨析、思考、運算、推理等，提升學生的數學抽象、數學運算和邏輯推理等數學學科核心素養；二是教師要引導學生自主推導教材中的重要定理、公式、結論等，讓學生明確知識的發生、發展過程，理解知識的內在聯系和形成過程中所蘊含的思想方法，進而形成知識體系，實現知識間的融會貫通；三是教師要充分挖掘教材中典型例題、習題以及素材的價值，通過一題多變、拓展延伸等手段，激發學生的學習興趣，讓學生學會思考，從而積累解決問題的基本活動經驗，提高解題效率，培養創新思維，提高復習實效.

2）依據課程標準建構知識體系，筑牢素養根基

數學課程標準對教、學、評具有指導作用，是高考數學考查內容范圍和考查要求的依據.《中國高考評價體系》是高考數學命題理念的依據，高考備考要以《中國高考評價體系》為指導，以數學課程標準為依據，明確“一核、四層、四翼”的考查要求，遵循數學復習規律，把握高考命題方向，注重構建數學知識體系，完善認知結構，筑牢素養根基.

3）細研真題，明確備考方向

高考真題是命題專家對考試內容的深思熟慮、對學生水平的客觀判斷后精雕細磨的產物，仔細研究高考真題對復習備考、理解課程標準、理解新高考的要求意義重大.

研究高考真題，宏觀上要從以下幾個方面入手：一是通過研究近年高考真題，尋找命題趨勢和變化，如真實情境下探究能力和創新能力的考查是近兩年的命題熱點；二是通過研究相同考點試題，尋找命題規律，如抽象函數問題、三次函數問題、立體幾何中平行與垂直問題等都是近兩年的常考類型；三是通過研究不同高考試卷的試題，尋找命題特點，預測未來考向；四是研究教材例題和習題，尋找題目原型，回歸教材原點，針對每一道高考真題，微觀上要研究命題考查的意圖、命題選材的視角、命題題型的特點、命題設問的特點、命題答案的擬制等.

4）課堂教學為根提效率，培養關鍵能力

2025年數學新高考Ⅱ卷通過創新情境設計、設問方式，破除套路，進而深化基礎性和探索能力的考查，強調對“四基、四能\"的深刻理解，規避高等數學內容和套路化解題模式的直接應用，引導中學教學遵循教育規律，嚴格按照課程標準和《中國高考評價體系》實施教學.因此，教師要回歸教材，立足課堂教學，以課堂教學為根，把教材講透，把精力放在培養學生的數學思維上，精準高效開展高三各個階段的復習備考.

總之，高中數學課堂教學應以課程標準、《中國高考評價體系》為依據，淡化技巧、破除套路，回歸數學本質；掌握基本方法，培養解題思維；克服思維定式，用數學思想引領解題方向，提升學生的理性思維能力和探究能力.

（完）