單元整體教學下推理素養的培養

在小學數學學科的核心內容“數的運算”中，“兩、三位數除以一位數”是其中重要的內容。整數除法，既是表內除法的自然延伸，又是學生學習除數是兩位數乃至更多位數除法的基礎，起著承上啟下的作用。“商中間有0的筆算除法”這一內容，以小學表演團體操的生活情境為素材，引出商中間有0的除法。從教材編寫來看，本節課的教學重點是引導學生在具體操作活動中理解商中間有0的筆算除法的算理，探索列豎式計算的合理程序。

一、單元整體分析

“商中間有0的筆算除法”是人教版數學三年級上冊“除數是一位數的除法”中的內容。

本單元內容分三段：第一段教學整十數（含幾百幾十）和整百數除以一位數的口算，首位或首兩位能夠整除的兩、三位數除以一位數的筆算，以及除法的驗算；第二段教學首位不能整除和不夠除的兩、三位數除以一位數的筆算；第三段教學商中間或末尾有0的除法。在除法計算中，遇到某一位商是“0除以一個數”，或在求出商的最高位數后，遇到被除數的某一位比除數小，這時需要在商里寫0占位。商中間或末尾有0的除法的學習，一方面需要學生對三位數除以一位數的步驟與方法非常熟練，另一方面需要學生根據具體情況做出是否需要商0的選擇。

二、實踐中的問題

筆者在教學這課時發現，班上學生在學習商中間有0的筆算除法時，錯誤率很高。主要出現以下幾種錯誤。

（一）商空位

如計算 428÷4 時，學生知道被除數中的2不夠除，但商的十位上沒有商0，直接把 28÷4 得到的7寫在個位上。

（二）商錯位

如計算 428÷4 時，有學生把7寫在十位上，商的個位添了0，變成 170 。

面對學生出現的這些問題，教師雖然反復強調不夠商1時，不要忘記商0，但在對“0”的處理上，學生卻經常會出現漏掉0和沒有逐位去除的錯誤。出現這些問題的原因是學生對計算的算理理解不夠，沒有深入理解計算的本質。教師需要引領學生理解商中間有0的除法的計算道理，讓學生觸摸運算本質，在知識的前后關聯中逐步完善認知結構，掌握算法，實現深度學習。

三、研究后的深度思考

（一）核心問題統領主題任務，自主探索理解算理一致性

核心素養導向下的單元整體教學，基于學生認知發展規律，以大問題為依托，幫助學生深刻理解學科本質，促進學生思維能力提升。相比“滿堂講”，問題的提出能引領學生思考，激發思維碰撞，讓學生體驗到解決問題的樂趣，從而提升學習數學的自信心。

【教學片段】自主探索，掌握算法

1.題目：（圖略）三只小猴一個桃子也沒分到很傷心，可是回到家發現猴媽媽早就給他們分好了，猴媽媽給他們準備了多少個桃呀？

提問：要求“每只小猴能分得多少個桃”怎樣列算式？（ 306÷3 ）

師：為什么用除法？你是怎么想的？

2.談話： 306÷3 ，你能先估計商是多少嗎？

提問： 306÷3 的商大約是多少？你是怎樣估算的？

3.嘗試筆算：

學習任務：那到底是多少呢？請你們嘗試算一算。

核心問題：在計算過程中，想一想有沒有遇到新的計算問題？你是怎么解決這個問題的？為什么可以這樣解決？

4.交流豎式：

交流：你們是怎么計算 306÷3 的？說一說你們的計算過程。你們在解決這題的時候遇到了什么新問題？

核心問題：這題的商的中間出現了0，這個0在什么位上？為什么商的十位上要商0？（十位上是0，0÷3=0 ）

總結：如果被除數的百位上正好除盡，那么十位上的0除以3得0，0商在十位上，個位落下來，繼續除。

在教學中，教師主要圍繞以下幾個核心大問題讓學生進行探索和研究：

（1）在探索0作為除數沒有意義環節，提問：0可以做除數嗎？為什么？

（2）在嘗試筆算環節，提問：請你們先嘗試算一算，在計算過程中，你遇到了什么新問題？說說你是怎么解決的。

（3）在對比寫法、規范書寫環節，提問：這種寫法與剛才的寫法比，哪里不一樣？

圍繞這幾個核心大問題，引導學生探索商中間有0的筆算除法的算理和算法，并交流在遇到新問題時是如何解決的。

從之前學過的一般的兩、三位數除以一位數，到這次的學習商中間或者末尾有0的除法，再到之后要研究的被除數中某一位上不夠商1要商0的情況，這些內容都是相互關聯的，雖然這次學習的除法計算比較特殊，需要處理“0”的問題，但是它在計算過程中仍要遵循筆算除法的法則。通過對這些知識的學習，學生看到這些除法都要遵循統一的計算法則，從而學會類比遷移、舉一反三，體會運算知識的一致性。

（二）不僅要重視數學表達形式，更要理解形式背后的本質

1.對比探究算理與算法，完善認知結構

前面學生掌握了除數是一位數的口算和基本筆算方法，經歷了百位夠除有剩余，百位能被整除，十位夠除且有剩余，百位不夠除等情況。關于兩、三位數除以一位數的計算，學生已經有了一定的經驗，對除法“都是從高位開始一次均分”的理解并不困難。本節課要解決 306÷3 十位不夠商1怎么辦的問題，學生只有獨立嘗試解決，才能激發已有知識經驗，讓課堂生成真正發生。

【教學片段】簡便算法對比出示簡便的寫法。（略）

核心問題：將這種寫法與剛才的比一比，哪里不一樣？你們覺得哪個豎式更簡便？

追問：你們認為這樣寫可以嗎？為什么？

師：我們借助方格圖（圖1）來看一看 306÷3 。

圖1

師：誰來用筆圈一圈，表示我們的計算過程？

生1：先分百位上的3，3個百除以3等于1個百，再分個位上的6，6個一除以3等于2個一，十位上是0，0除以3等于0，所以只要兩步，十位上的過程可以省略。

生2：這樣寫比較簡便。百位上的數正好除完，十位上的0除以3直接商0，這一步可以直接省略。

計算要掌握算法更要講明道理，先明理再定法。在用圖解釋算理的過程中，教師需要用數學語言去夯實算理。課上教師收集了學生簡化前后以及結果是12的幾種不同的計算過程并展示出來，引發學生的思考：雖然在形式上有不同，但它們在本質上都是相同的。如此，學生能更好理解形式之外內在本質的一致性。

2.溝通知識聯系，促進結構化學習

在研究了商中間、末尾有0的除法之后，教師組織學生對比 306÷3 和 360÷3 以及練習中的幾道題的算式，立足單元視角，引導學生發現這次學習的計算雖然有的商中間有0，有的商末尾有0，情況都不相同，但它們遵循的計算法則都是相同的：筆算除法的方法是從高位算起，一位一位地除，除到哪一位，就在那一位的上面寫商。商中間有0的除法，計算法則是一樣的，只不過遇到了新的情況一一中間有0，教師要引導學生對比思考，建聯溝通，將新的認識納入原來筆算除法的認知結構中，形成更加完善、更加上位的認知結構體系。如此，勾連了計算除數是一位數的筆算除法之間的知識，促進了學生知識體系的構建。

（三）推理能力主導課堂素養方向，實現學習主 動進階

《PISA2022數學測評框架呈現新變化：推理成為數學素養的核心》一文指出，較之2012版模型，PISA2022數學框架整體結構呈現新的變化，就是建模過程特別凸出了“推理”的核心地位，強調在越來越復雜的環境中，我們所有培養的數學思維不再由基本計算過程的再現驅動，而由推理（演繹和歸納）驅動。

推理作為核心素養的重要組成部分，在教學中應如何培養呢？推理的內涵包含了演繹和歸納，涉及評價情境、選定策略、邏輯結論、制訂和描述解決方案，以及這些解決方案如何應用。在本節課中，推理能力的培養在幾個設計中有所凸顯。

【教學片段】推理遷移，獲得結論

師：三只小猴去采6個桃，平均每只小猴能采到幾個桃？怎么列算式？

板書： 6÷3=2 （個）。

提問：你是怎樣想的？（課件上分一分）

師：現在呢？樹上有3個桃，平均每只猴能摘幾個桃？ 3÷3=1 （個）。

師：現在樹上有幾個桃？（一個桃都沒有）我們用哪個數表示？（0）現在每只猴平均能得多少個桃？

（0）可以怎樣列算式？

預設： 0÷3=0 ，你是這樣想的嗎？（一個都摘不到，0個）

師：如果是4只猴，怎么列算式？（板書： 0÷4=0 0如果是5只猴呢？（ 0÷5=0 如果是10只呢？（ 0÷10=0 ）

談話：這樣的算式寫得完嗎？那你能用一個算式把所有這些情況都包含了嗎？

0÷（γ）=0 ，預設：0除以任何數都等于0。你有不同想法的嗎？

師：0可以做除數嗎？ 0÷0 可以嗎？為什么？（結合情景理解一只猴也沒有，“分”就沒有意義了）

師（評價）：你真會聯系實際想問題，如果猴沒有了，那“分”還有意義嗎？

小結：0除以任何數都等于0，要加個條件—0除外。

本環節引導學生從‘ ?0÷3=0 ， 0÷4=0 ， 0÷6=0 到 ^s0 除以所有數都得0嗎？0可以除以0嗎？”進行討論，通過舉出更多例子進行推理、結合乘法聯系情境進行關聯，最終獲得結論。這樣的教學層層遞進，推理逐漸深入，最終用不完全歸納推理得出結論。

學生在獲得大量計算活動經驗的基礎上，進一步掌握算法，再對商中間有0的筆算除法的計算規則進行提煉、歸納和總結。這整個過程蘊含了歸納推理，從而讓學生理解算理和形成計算技能。教師只有為學生提供有效的深度的結構化學習策略，學生才能更好地把握數學學習方法，進而在不斷進階的思考、探究中“撥云見日”。

培養學生的運算能力不只為做題，教師要讓學生充分感受運算體驗，領悟運算規則的重要性，在理解算理的同時從學科導向轉向育人導向，幫助他們樹立積極的、正確的數學觀，進而滋養理性思維、提升核心素養。

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