數學思維中的哲學思想

黃國安,林漢燕

摘要:數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的一門學科,高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性是這門學科的特點。翻開數學的發展史,我們還發現數學的理性思維中蘊含了極其深刻的哲學思想。

關鍵詞:數學思維;實踐;辯證法;哲學思想

中圖分類號:G40-02文獻標志碼:A 文章編號:1002—2589(2009)14—0159—02

一、數學來源于實踐

數學的外在表現,或多或少與人的智力活動相關,因此有人認為數學是“人的精神的自由創造”。實際上數學是來源于實踐的學科,數學的發展是為了實際的需要。從我國殷代的甲骨文中可以看到,我們的祖先為適應農業的實際需要,將“天干”“地支”配成六十甲子來記年月日,幾千年的歷史說明這種日歷的計算方法是有效的;古代的巴比倫人用于商業和債務的計算就有了乘法表和倒數表,積累了許多屬于初等代數范疇的資料;在埃及,由于尼羅河泛濫后重新測量土地的需要,積累了大量計算面積的幾何知識;后來隨著社會生產的需要,特別是為適應農業耕種與航海技術的需要而產生的天文測量,逐漸形成了初等數學,其中包含了當前我們在中學里學到的大部份數學知識;由于蒸汽機等機械的發明而引起的工業革命以及大量力學問題的出現,需要對運動特別是變速運動做更精細的研究,促使了微積分在長期的醞釀后應運而生;二十世紀以來近代科學技術的飛速發展促使數學進入一個空前繁榮時期,這個時期數學出現了許多新的分支:計算數學、信息論、控制論、分形幾何等等。總之,實際的需要是數學發展的最根本的推動力。

數學的抽象性也往往使人誤解數學的公理、公設、定理僅僅是數學家思維的產物,其實不然。就最早以公理化體系面世的歐幾里德幾何來說,是實際事物的幾何直觀和實踐中人們發現的現象,盡管不符合數學家公理化體系的程式,卻仍包含著數學理論的核心。當數學家把建立幾何的公理體系當作自己的目標時,他的頭腦中也一定聯系到幾何作圖和直觀現象。一個人,即使是很有天賦的數學家,要想在數學的研究中得到具有科學價值的成果,除了他接受過嚴格的數學思維訓練外,在數學理論研究的過程中,他必定會在問題的提出、方法的選擇、結論的提示等諸多方面自覺或不自覺地受到實踐的引導。所以,脫離了實踐,數學就會成為無源之水、無本之木。

數學的研究是不能僅滿足于現實的數量關系和空間形式的,它還努力探索一切可能的數量關系和空間形式。在古希臘時期,數學家就超越了在現實有限尺度、精度內度量線段的方法,覺察到了無公度量線段的存在,即無理數的存在,這其實是數學中最困難的概念之一——連續性、無限性的問題。直到兩千年以后,同樣的問題導致了極限理論的深入研究,大大推動了數學的發展。如果沒有實數的概念,我們無法度量正方形對角線的長度,也不會解一元二次方程,極限理論與微積分學更不可能建立。即使人們可以像牛頓那樣應用微積分,但是在判斷結論的真實性時會感到無所適從。在這種情況下,科學技術能走多遠?在歐幾里德幾何產生時,人們就對其中一個公設的獨立性產生懷疑,到十九世紀上半葉,數學家改變這個公設,得到了另一種可能的幾何——非歐幾里德幾何。

現實世界似乎沒有這種幾何的容身之地,因為這種幾何得出的結論從“常理”來說是非?！盎奶啤钡?。例如,“三角形的面積不會超過某個正數”。但是過了近一百年,在愛因斯坦發現的相對論中,非歐幾里德幾何卻是最適合的幾何。再如,二十世紀三十年代哥德爾得到了數學結論不可判別性的結果,其中的某些概念非常抽象,近幾十年卻在算法語言的分析中找到了應用。所以,許多數學在一些領域或一些問題的應用,是這些理論當初的創始者做夢也想不到的。所有這一切說明,一旦實踐推動了數學,數學本身就會不可避免地獲得了一種動力,使之有可能超越直接應用的界限,而數學的這種發展,最終也會回到實踐中去。

二、數學思維充滿了辯證法

就數學的內容來說,數學思維充滿了辯證法。在初等數學發展時期,占統治地位的是形而上學。在該時期的數學家或其它科學家看來,世界由僵硬的、不變的東西組成。與此相適應,那時數學研究的是常量。而笛卡爾的變數是數學中的轉折點,他把數學中兩個完全不同的領域——幾何和代數結合起來,建立了解析幾何。這個框架具備了表現運動和變化的特性,辯證法因此進入了數學。在此后不久產生的微積分拋棄了把初等數學的結論作為真理的觀點,常常作出相反的判斷,提出一些在初等數學的代表人物看來完全不可理解的命題。數學走到這樣一個領域,在那里即使是很簡單的關系,都采取了完全辯證的形式,迫使數學家們不自覺又不自愿地轉變為辯證數學家。在數學研究的對象中,充滿了矛盾的對立:曲線和直線,無限和有限,微分和積分,偶然和必然,無窮大和無窮小,多項式和無窮級數,等等。解決這些矛盾的思維方法是極限法。極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系,是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。借助極限法,人們可以從有限認識無限,從“不變”認識“變”,從直線形認識曲線形,從量變認識質變,從近似認識準確。極限法在現代數學乃至物理等學科中有廣泛的應用。

無限與有限有本質的不同,但二者又有聯系,無限是有限的發展.無限個數目的和不是一般的代數和,把它定義為“部分和”的極限,就是借助極限法,從有限認識無限;“變”與“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態,但它們在一定條件下又可相互轉化,這種轉化是“數學科學的有力杠桿之一”。例如,要求變速直線運動的瞬時速度,用初等方法是無法解決的,困難在于這時速度是變量。為此,人們先在小范圍內用勻速代替變速,并求其平均速度,把瞬時速度定義為平均速度的極限,就是借助極限法,從“不變”認識“變”;曲線形與直線形有本質的差異,但在一定條件下也可相互轉化,正如恩格斯所說:“直線和曲線在微分中終于等同起來了。”善于利用這種對立統一關系是處理數學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得,要求曲線形的面積,只用初等的方法就不行了。劉徽用圓內接多邊形逼近圓,一般地,人們用小矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積,都是借助極限法,從直線形認識曲線形;量變和質變既有區別又有聯系,兩者之間有著辯證關系。量變能引起質變,質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一,在數學研究工作中起重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說,當它邊數加倍后,得到的還是內接正多邊形,是量變,不是質變。但是,不斷地讓邊數加倍,經過無限過程之后,多邊形就“變”成圓,多邊形面積變轉化為圓面積.這就是借助極限法從量變認識質變;近似與準確是對立統一關系,兩者在一定條件下也可相互轉化,這種轉化是數學應用于實際計算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內接正多邊形面積”,依次是相應的無窮級數和、瞬時速度、圓面積的近似值,取極限后就可得到相應的準確值。這都是借助極限法,從近似認識準確。

由于數學的嚴密性,很少有人懷疑數學結論的正確性,而把它們當作真理的一種典范。數學真的是萬古不變的真理嗎?數學結論的真理性也是相對的,即使象1+1=2這樣簡單的公式也有不成立的地方。例如在布爾代數中,1+1=0,而布爾代數在電子線路中有廣泛的應用;歐幾里德幾何在我們的日常生活中總是正確的,但在研究天體運動某些問題或速度很快的粒子運動時卻不適用。把數學的嚴密性和公理化體系看作是一種教條是錯的。數學的公理化體系從來也不是不容懷疑、不容變化的“絕對真理”。就如歐幾里德的幾何體系從一開始就有人懷疑第五公設不是獨立性的。兩千多年來人們一直在尋找答案,終于在十九世紀發現了非歐幾何。雖然人們長時期受到歐幾里德幾何的束縛,但是最終人們還是接受非歐幾里德幾何。如果歷史上某些數學家多一點敢于向舊體系挑戰的革新精神,非歐幾里德幾何也許還可能早幾百年出現。

數學是多樣化的,它研究的范圍隨著新問題的出現而不斷擴大。同一切科學一樣,如果死守著前輩的思想方法結論不放,數學就不會進步。在一個學科領域內,當有關的知識積累到一定的程度后,理論就會要求把一堆看來散亂的結果以某種體系的形式表現出來。這就需要對已有的事實再認識、再審視、再思索,創造新概念、新方法,盡可能地使理論能包括最一般、最新發現的規律。這是一個艱苦的理論創新過程。數學公理化也一樣,它表示數學理論已經發展到了一個成熟的階段,但并不是認識一勞永逸的終結,現有的認識可能被今后更多更深刻的認識所代替,現有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事實的公理提議所代替。數學就是在不斷地更新過程中得到發展。

參考文獻:

[1]馬忠林.數學思維論[M].南寧:廣西教育出版社,1996.

[2]馬忠林主編,張永春編著.數學課程論[M].南寧:廣西教育出版社,1996.

[3]教育部人事司組編.高等教育學[M].北京:高等教育出版社,1999.

(責任編輯/彭巍)