與圓有關角的一個通性

史林虎

〔關鍵詞〕 數學教學；與圓有關的角；通性；應用

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）15—0081—01

在“圓”這一章中，我們學習了圓心角、圓周角和弦切角，這些角的兩邊與圓相交或相切.筆者經研究發現，具備這種特點的角共有下列七種情形：

定義：兩邊與圓相交或相切的角，統稱與圓有關的角.

定理：與圓有關的角，等于它所夾弧度數的代數和.如果它所夾的是一條弧，那么它等于它及它的對頂角所夾的兩條弧度數和的一半（若無對頂角所夾弧，則度數按零計算）；如果它所夾的是兩條弧，那么它等于這兩條弧度數差的一半.

證明：（1）如圖一，∠1是圓心角，于是∠1=（+）；

（2）如圖二，∠2是圓周角，于是∠2=（+0）；

（3）如圖三，∠3是弦切角，于是∠3=（+0）；

（4）如圖四，作AE∥BD，于是∠4=∠CAE（+）=（+）；

（5）如圖五，作BF∥ED，于是∠5=∠CBF=（-）=（-）；

（6）如圖六，作BE∥DC，于是∠6=∠EBF=（-）=（-）；

（7）如圖七，作BD∥AC，于是∠7=∠DBF=（-）=（-）.

綜上，與圓有關的角等于它們所夾弧度數的代數和.那么，如何應用該定理呢？以下舉例說明.

例1如圖八，已知AB為⊙O直徑，P為AB延長線上一個動點，過P作⊙O的切線，設切點為C.①連結AC，作∠APC平分線交AC于D.請你測量∠CDP的度數.②猜想∠CDP的度數是否隨點P在AB延長線上位置的變化而變化？并對猜想加以證明.

解析：觀察圖八發現，∠A，∠APC均是與圓有關的角，于是∠CDP=∠A+∠APC+（-）（+）=45°.

例2試分析高爾夫球比賽中，擊球點與球洞之間的距離和命中率有何關系？

解析：畫圖、分析、研究得，∠AP1B（-）、∠CP2D（-）.由于＜，且＜，因此∠CP2D＞∠AP1B，命中率與張角∠AP1B的大小成正比，而張角∠AP1B的大小與擊球點到球洞中心的距離成反比.故距離越近，命中率越高，反之命中率越低.

至此，我們把圓心角、圓周角和弦切角推廣到與圓有關的七種角，于無疑處生疑，把書讀厚.然后，探索得出定理，合七為一，整合知識，把書讀薄，便于聯系，便于記憶，減輕了學生學習的負擔.

編輯：劉立英