由橢圓定義的發(fā)現(xiàn)談數(shù)學(xué)教學(xué)的自然性

蔡乾江

【摘要】數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、探究，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，通過(guò)親身實(shí)踐、主動(dòng)思維，經(jīng)歷不斷地從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動(dòng)來(lái)理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并讓學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法，才能真正學(xué)會(huì)數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);自然性;學(xué)生主體;橢圓定義

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的“主編寄語(yǔ)”中明確說(shuō)明：數(shù)學(xué)是有用的數(shù)學(xué)，是自然的數(shù)學(xué)，是清楚的數(shù)學(xué).南京大學(xué)的鄭毓信教授在《關(guān)于“問(wèn)題解決”的再思考》中也提出：只有通過(guò)深入地揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思維方法，我們才能真正做到把數(shù)學(xué)課“講活”、“講懂”、“講深”，也才能使學(xué)生真正看到思維方法的力量，這樣才不會(huì)變成一門紙上談兵、借題發(fā)揮的空洞“學(xué)問(wèn)”.因此，教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)突出知識(shí)產(chǎn)生的自然性與合理性.

下面，筆者以橢圓定義的發(fā)現(xiàn)為例來(lái)說(shuō)明這一問(wèn)題.

在老教材中，課本先以情景方式舉出了行星運(yùn)行軌道、汽車油罐等相關(guān)橢圓的例子，然后用繩子畫(huà)橢圓，再由畫(huà)法歸納出橢圓的定義；在現(xiàn)在的課本中，直接給出了橢圓的畫(huà)法和定義.不管是老教材還是新課本，這種知識(shí)的傳授都只能讓學(xué)生“被動(dòng)地接受”,而不是“主動(dòng)地建構(gòu)”.讓學(xué)生迷惑的是，這一畫(huà)法是怎樣得出來(lái)的？為什么會(huì)想到這種畫(huà)法？橢圓的定義來(lái)得非常“空洞”.當(dāng)學(xué)生離開(kāi)課本后，不能真正得到其本質(zhì)的東西，讓學(xué)生感到這一概念來(lái)得極其的“不自然”，有一種“強(qiáng)加于人”的感覺(jué).

為解決這一問(wèn)題，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)該節(jié)內(nèi)容作了重新處理.先讓學(xué)生完成兩個(gè)實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)1：將一個(gè)球體置于桌面上，用一束光線斜射（即不垂直于桌面）在球體上，觀察球體在桌面上形成的影子.（讓學(xué)生對(duì)橢圓有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)）

實(shí)驗(yàn)2：在圓錐中，用不平行于底面的平面去截圓錐，觀察所得的截面.（該截面即為橢圓，讓學(xué)生能夠進(jìn)行感知）

然后再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析得出教材中關(guān)于橢圓的定義，進(jìn)而上升到理性認(rèn)識(shí).

如圖，作圓錐的斜截面及兩個(gè)內(nèi)切球O1和O2，兩球在截面的兩側(cè)和截面相切，其切點(diǎn)分別為F1和F2.在橢圓上任取一點(diǎn)P，圓錐的母線SP(S為圓錐頂點(diǎn)）與兩球分別切于點(diǎn)T和R.顯然TR是兩球的公切線，其長(zhǎng)為定值.于是有：

|PF1|+|PF2|=|PT|+|PR|=|TR|=|AB|=2a.（定值）

由此得出教材上的橢圓定義：“平面上到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)(該定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)本身的距離)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.”

得出這一本質(zhì)定義后，自然就是一些相關(guān)問(wèn)題（如讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐畫(huà)圖過(guò)程，探討定長(zhǎng)等于或小于兩定點(diǎn)本身的距離時(shí)其點(diǎn)的軌跡等）和求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)容，在此不用贅述了.

通過(guò)上述分析，讓學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)從粗淺的感性認(rèn)識(shí)上升到了深層次的理性認(rèn)識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生感受到，橢圓是在現(xiàn)實(shí)中被發(fā)現(xiàn)后，通過(guò)分析才得出其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，學(xué)生對(duì)橢圓的概念不僅能“知其然”，而且能“知其所以然”.

筆者在對(duì)本節(jié)的教學(xué)實(shí)踐中，所收到的教學(xué)效果與之前的收效相比，的確大不一樣，這可以通過(guò)學(xué)生獲取新知識(shí)時(shí)的那種興奮和愉悅完全感知得到.

數(shù)學(xué)是在人類長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念來(lái)得“不自然”，是“強(qiáng)加于人”的，那么只要想一下它的背景、它的形成過(guò)程、它的應(yīng)用以及它與其他概念的聯(lián)系，則會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，而且耐人尋味.

在高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講究邏輯推理，要給學(xué)生“講道理”，而不能“憑空”得出.要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，追求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).

【參考文獻(xiàn)】

[1]全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)《數(shù)學(xué)必修》（第二冊(cè)上）.北京：人民教育出版社，2002.

[2]普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修3.北京：人民教育出版社，2007.

[3]羅碎海.數(shù)學(xué)探究與欣賞.廣州：暨南大學(xué)出版社，2010.