“數形結合”在初中數學教學中的應用

林綺霞

摘 要： “數形結合”是初中數學中一種重要的思想方法，數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題.利用數形結合的方法可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有形的直觀與數的嚴謹，是優化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數學思想方法.

關鍵詞： 數形結合 數學思想方法 初中數學教學

著名數學家華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”數形結合是解決數學問題的重要思想之一，所謂的數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并利用這種結合，探求解決問題的思路.應用其解決問題更加形象直觀.

數形結合思想在初中數學中的應用中非常廣泛，它比較適合處理那些數量關系與圖形位置關系可以互相轉化的問題，在中考中既有填空題、選擇題，又有解答題.在教學中教師要注重數形結合思想方法的滲透、概括和總結.

一、數形結合在數與式中的應用

在“數與代數”的教學中，教師應強調數與形的結合，讓學生建立由數想到形，由形想到數的思想，這樣可以加深學生對“數與代數”的理解和認識，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式.

北師大版七下第一章《整式的乘除》第5課時《平方差公式》，教科書通過拼圖游戲給出平方差公式的一個解釋，讓學生完整地經歷“猜想—驗證—證明”的過程，目的是使學生對此公式有直觀的認識，避免對公式的死記硬背，使平方差公式的學習更有意義.

例題1：如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形.

（1）請表示圖中陰影部分的面積.

（2）小穎將陰影部分拼成了一個長方形，如圖2，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

圖1 a■-b■ 圖2 （a+b）（a-b）

（3）比較（1）、（2）的結果，你能驗證平方差公式嗎？

得到a■-b■=（a+b）（a-b）.

北師大版七上第二章《有理數及其運算》中，數軸概念是中學數學中數形結合的起點，有理數的有關性質和運算都是結合數軸進行的.由于對每一個有理數，數軸上都有唯一確定的點與它對應，因此兩個有理數的大小的比較，是通過這兩個有理數在數軸上的對應位置關系進行比較的，相反數、絕對值概念則是通過相應的數軸上的點與原點的位置關系來刻畫的.借助數軸可以更好地理解互為相反數、絕對值的幾何意義.

例題2：數在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|的結果是（ ）

A.a+1 B.-a+1 C.a-1 D.-a-1

分析：因為字母a表示的是數，所以a+1仍是一個數，要去掉絕對值符號，關鍵是正確判斷a+1這個數是正的還是負的或者是0.根據在數軸上的位置可知a<-1<0，所以a+1<0，故|a+1|=-（a+1）=-a-1.

二、數形結合在方程中的應用

列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系列方程，要突破這一難點，通常根據題意畫出相應的示意圖，特別是應用題中的行程問題、追及問題.

北師大七上第五章《一元一次方程》第7課時《能追上小明嗎》

例題3：小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學校上學.小明以80米/分的速度出發，5分鐘后，小明的爸爸發現他忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.

（1）爸爸追上小明用了多長時間？

（2）追上小明時，距離學校還有多遠？

解：設爸爸用了x分鐘追上小明

通過學生自己動腦動手，畫出線段圖，能進行圖形語言、符號語言與文字語言之間的相互轉化，理解題中的等量關系，不同的思路就會出現等量關系的不同表現形式，從而列出不同的式子，培養學生思維的靈活性，進一步列出方程，解決問題，既能嫻熟使用“線段圖”又能利用方程的思想解決問題，為初二、初三列分式方程、一元二次方程解應用題打下基礎.

例題4：（2013年漳州市中考數學試卷選擇題第8題）如圖，10塊相同的長方形墻磚拼成一個矩形，設長方形墻磚的長和寬分別為x厘米和y厘米，則依題意列方程組正確的是（ ）

A.x+2y=75y=3x B.x+2y=75x=3y

C.2x-y=75y=3x D.2x+2y=75x=3y

分析：注意觀察圖形中隱含的數量關系，將對應的數與形結合起來，結果一目了然.

三、數形結合在不等式中的應用

北師大八下第一章《一元一次不等式和一元一次不等式組》，不等式的解集是一個集合，比較抽象.教學時，為了加深學生對不等式解集的理解，把不等式的解集在數軸上直觀地表示出來，使學生更能形象地看到，不等式的解集有無數個.從而滲透了數形結合的思想，發展了學生符號表達的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

例題5：解不等式3x+7>11-x

解：移項，得3x+x>11-7

合并同類項，得4x>4

兩邊都除以4，得x>1

這個不等式的解集在數軸上表示如下：

四、數形結合在函數中的應用

“函數及其圖像”是初中數學的一個重點，同時也是一個難點.它是歷年中考的熱點，也是每年中考必考的知識點之一.有關函數的問題讓許多學生心生畏懼，無從下手.實際上函數與方程、不等式之間有著緊密聯系，在解題時要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對應的“數”結合起來，往往會使很多棘手問題迎刃而解，并且解法簡捷、獨特.

例題6：已知反比例函數y=■，若x■<0

分析：因為x■，x■，x■不是具體的數，無法帶入y=■求值比較大小，利用反比例函數y=■的圖像及x■，x■，x■的大小關系，如上圖，在圖像上就可以直觀地比較出y■，y■，y■的大小關系.本題巧妙地構造反比例函數的圖像，建立合理的幾何模型，利用圖像法解決抽象的代數問題.

例題7：已知方程x■-px+5=0有一個根大于2，另一個根小于2，求p的取值范圍.

分析：由二次函數與一元二次方程的關系知：方程x■-px+5=0的兩個根是拋物線y=x■-px+5與x軸的兩個交點的橫坐標，因為一根大于2，另一根小于2，所以拋物線與x軸的兩個交點一個在2的左邊，另一個在2的右邊，且開口向上，如圖可知當x=2時，函數值y<0，即22-2p+5<0，故p>4.5.

此解法利用函數圖像的直觀性，把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，化難為易，充分體現了數形結合解題的有效性.

例題8：已知一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0），x與y的部分對應值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）

A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1

分析：從表中選取兩對對應值x=0，y=1；x=1，y=0作為點的坐標，在平面直角坐標系內畫出y=kx+b的圖像，不等式kx+b<0的解集就是直線y=kx+b在x軸下方部分所對應的自變量的取值，由圖可知，當y<0時，x的取值范圍為x>1，所以不等式kx+b<0的解集為x>1，故選D.

解此題的關鍵是將它們對應的形與數結合起來，從形的角度看，是求直線在x軸下方所對應的自變量的取值范圍，從數的角度看，是求不等式的解集.

以上三例是有關函數與方程、不等式的問題，解此類題型時要善于將問題中的數與形結合起來，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過“以形助數”、“以數解形”的思想策略，揭示出其隱含在內部的幾何背景，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，達到優化解題的目的，同時也能發展學生的思維.

五、數形結合在解直角三角形中的應用

北師大九上第一章《直角三角形的邊角關系》第4課時《船有觸礁的危險嗎》

例題9：海中有一個小島A，該島四周10海里內暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續向東航行.你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎？

解：要知道貨輪繼續向東航行途中有無觸礁的危險，如圖，只要過點A作AD⊥BC的延長線于點D，如果AD>10海里，則無觸礁的危險.根據題意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.設AD=x，則

∵tan55°=■，tan25°=■

∴BD=xtan55°，CD=xtan25°.

∴xtan55°-xtan25°=20.

∴x=■≈■≈20.79（海里）>10（海里）.答：貨輪繼續向東航行途中沒有觸礁的危險.

此題是把實際問題轉化為數學問題，構建數學模型，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，運用已有的三角函數知識進行解答.

六、數形結合在統計與概率中的應用

新課標中的統計與概率，在內部編排和內容要求上有所加強，真正讓學生經歷統計的全過程，發現并提出問題，運用適當的方法，收集和整理數據，運用合適的統計表統計圖來展示數據做出決策.

例題10：（2010年漳州市中考數學試卷第21題）漳州市某中學對全校學生進行文明禮儀知識測試，為了解測試結果，隨機抽取部分學生的成績進行分析，將成績分為三個等級：不合格、一般、優秀，并繪制成如下兩幅統計圖（不完整）.請你根據圖中所給的信息解答下列問題：

（1）請將以上兩幅統計圖補充完整；

（2）若“一般”和“優秀”均被視為達標成績，則該校被抽取的學生中有？搖？搖 ？搖？搖人達標；

（3）若該校學生有1200人，請你估計此次測試中，全校達標的學生有多少人？

在統計初步中，一組數據，反映在坐標平面上就是一群離散點.研究一組數據的集中趨勢（平均數、眾數、中位數），相當于考察這群離散點的分布狀態；而研究一組數據的波動大?。ǚ讲睢藴什睿拖喈斢诳疾熳鴺似矫嫔线@群離散點的分布規律.這里融入了數形結合的思想方法.在教學中老師要注意到這點，從而加深學生對平均數、眾數、中位數、方差、標準差概念的理解.

例題11：（2012年漳州市中考數學試卷第21題）有A、B、C1、C2四張同樣規格的硬紙片，它們的背面完全一樣，正面如圖1所示.將它們背面朝上洗勻后，隨機抽出兩張（不放回）可拼成如圖2的四種圖案之一.請你用畫樹狀圖或列表的方法，分析拼成哪種圖案的概率最大？

圖1 圖2

分析：首先根據題意畫出樹狀圖或列出表格，然后根據樹狀圖或表格求得所有等可能的結果與拼成各種圖案的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：畫樹狀圖如下：

列表如下：

∴P（卡通人）=■=■

P（電燈）=■=■

P（房子）=■=■

P（小山）=■=■

∴拼成電燈或房子的概率最大.

概率是新增加的內容，其抽象性使它成為教學的難點，在計算簡單事件的概率時，采用畫樹狀圖的方法，數形結合，能收到化難為易的效果.

“數形結合”思想，就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，代數問題與圖形之間的相互轉化，使代數問題幾何化，幾何問題代數化.由于數形結合具有形象直觀、易于接受的優點，在對于培養和發展學生的空間觀念和數感有很大的啟發作用.利用數形結合思想進行解題可以使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化.將數形結合的數學思想方法滲透到課堂教學及解題訓練中，對培養學生思維的廣闊性、層次性及學習能力都有很大的幫助.