大學數學教學加強數學文化建設的研究

孫紅衛　黃治琴　吳兆榮

【摘要】數學文化越來越受到專家、學者、研究機構和社會各界的關注，數學文化不再只是需要學生個人去感悟，更重要的是需要教師有計劃、有目的地引入到數學的課堂教學中，在知識教學的同時，去體現數學的文化價值，全面提高學生的數學素養.將“文化立人”的思想較好地貫徹到數學課堂教學之中.

【關鍵詞】數學文化；綜合素質；大學數學；素質教育

【基金項目】山東省2012教研項目（項目編號2012204），濟南大學2012教研項目（項目編號JZC12013）

一、引 言

數學作為一種文化，對全社會成員起著潛移默化的作用：深深銘刻在人們心中的數學精神、數學思維方法、研究方法、推理方法和看問題分析問題的方法等，都隨時隨地發生作用，使人終生受益.正因如此，許多物理學家同時也是數學家，很多經濟學家也是數學出身，比如經濟學家 Markowitz因為用二次規劃解決了證券組合選擇理論獲得了經濟學諾貝爾獎，對于這一成就，他沒有歸功于他的經濟專業知識和具體數學知識，而是歸功于他的數學理念、內在數學素質和從數學衍生的創新精神.因此應使大學生感染數學文化，了解數學歷史，體會數學的美，加深對數學知識體系的理解，了解數學和其他學科的融合，增強創新能力，提高他們的科研能力和工作能力.這對于培養高素質創新型人才有著重要的實際意義.因此研究數學文化課程建設是素質教育中必不可少的一項工作.

二、數學文化簡介

在現代意義下，數學文化作為一種基本的文化形態，屬于科學文化的范疇，它可以表述為以知識、方法、技術、理論等所輻射到相關文化領域為有機組成部分的一個具有強大精神與物質功能的動態系統，其基本要素是數學（各個分支領域）及與之相關的各種文化對象（各個自然科學）.數學文化涉及的基本的文化因素包括數學、哲學、藝術、歷史（不僅是數學史）、教育、思維科學、社會學、文化學、物理學、生物學等.數學不僅是物質文明的基石，而且是精神文明的寶貴財富.根據馬林諾夫斯基對文化層次的理解，由此概括數學文化的形態有以下幾個方面：

（一）物質形態

人們在探索數學的過程中要借助一定的設備與工具，像語言、文字、符號、印刷品、計算器、計算機網絡以及通信設備等.這些既是數學文化發展所必需的工具，也是傳播數學文化的手段，它們使數學文化以物質的形態對人們的生產方式與日常生活產生影響.

（二）知識形態

人們在不斷地探索數學的過程中，建立起了完善的數學概念，發現了不同的數學規律，構建了系統的數學理論，并且用專門的語言與符號將它們表達了出來，這樣就構成了一個綜合的數學知識體系.這是人們對數學世界探究所獲得的勞動與智慧的結晶，是數學文化的知識形態.

（三）組織形態

人們在不斷地從事數學活動以及探索數學的過程中形成了一個特殊的群體，即數學共同體.數學共同體包含一切從事或者探索和數學相關的活動的社會群體以及活動與活動方式.例如，從事數學研究的技術人員與科研人員，探索數學教育事業的工作者與數學文化的學習者.廣泛的社會群體、組織形式以及數學活動，是數學文化存在和發展的基本保障.

（四）精神形態

數學文化不但隱含著數學家的道德觀念、內心信念、情感態度以及價值體系，而且數學本身也蘊含著理性精神，如公正性、理智性、客觀性、追求完美、嚴謹性等.正是這些多種多樣的精神形態，使得數學文化有著多種多樣的表現形式和存在狀態以及豐富的內涵.

三、加強數學文化建設提升學生綜合素質的途徑

（一）通過介紹數學史滲透數學文化，讓學生了解數學與人類社會發展的關系

數學史是數學文化的代言.自古就有“教書、育人不分家”，將數學史的內容融入大學課堂，不論是數學家或者數學界的逸聞趣事，還是數學發展中遇到的難題，都會激發學生的學習興趣，并且還有較強的勵志作用.比如，在講積分時，可以介紹一下積分符號“∫”是萊布尼茲發明的，它是英文單詞“sum”的首字母縮寫，數學上許多符號如“dx”“dy”“dxdy”“d-n”等都是由萊布尼茲發明的.還可以介紹雙目失明的歐拉的頑強拼搏精神和陳景潤為數學而獻身的精神，從而激發學生的學習斗志.

在課堂上滲入數學史的內容，把學生認為“枯燥的數學課”，轉變成“生動有趣的數學課”.與此同時，學生不再是“只會做題的機器”，通過數學史的知識，學生開闊了視野，并且學數學也懂數學，真正讓學生體會數學的科學價值、應用價值、人文價值，加強對數學創新的認識，受到優秀文化的熏陶.

（二）通過灌輸數學思想方法滲透數學文化，提高學生思維能力與創新能力

數學思想是數學中高度抽象與概括的內容，也是數學知識的本質.數學方法即是解決數學問題的步驟、過程與格式，它是實施數學思想的手段與解決問題的具體實行辦法.大學數學中蘊含著豐富的思想方法，比如，類比思想、化歸轉化、變換、構造、反證法、數形結合、分類討論、分段處理、歸納遞推、猜想假設、特殊化與一般化的思想、隨機思想、統計思想等等.具體滲透數學文化思想的方法有以下幾種：

第一，運用類比推理，增強數學創新能力

大學數學中很多知識可通過類比來得到，從低維到高維、從有限到無限等，可以使學生在原有的認知結構基礎上，應用類比推理，使知識、方法、技能向更高層次遷移.

例如積分中的類比：奇函數在對稱區間上的定積分為零.數學語言表述為：若f（x）為[-a，a]上的奇函數，則有∫a-af（x）dx=0.此基本結論可以類比到線積分、面積分、二重積分和三重積分上.

（1）線積分：如果平面光滑曲線l關于x（或y）軸對稱，f（x，y）是關于y（或x）的奇函數且在l上有連續的偏導數，則有∫f（x，y）dx=0.

（2）面積分：如果空間光滑曲面Ω關于xOy（或xOz或yOz）面對稱，f（x，y，z）是關于z（或y或x）的奇函數且在Ω上有連續的偏導數，則有Ωf（x，y，z）ds=0.

（3）二重積分：如果平面閉區域M關于x（或y）軸對稱，f（x，y）是關于y（或x）的奇函數，則有Mf（x，y）dσ=0.

（4）三重積分：如果空間閉區域V關于xOy（或xOz或yOz）面對稱，f（x，y，z）是關于z（或y或x）的奇函數，則有Vf（x，y，z）=0.

又如，不同學科的類比：

由A∪B=A+B-A∩B（其中A和B為集合）

類比結論：

（1）線性代數中，若V1，V2是線性空間V的兩個子空間，則有

dim（V1+V2）=dimV1+dimV2-dim（V1∩V2）.

（2）概率論與數理統計中，若A1，A2是兩個隨機事件，則有

P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）-P（A1∩A2）.

第二，運用化歸思想，加強學生思維能力

在大學數學教學中，化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略.化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.

以上只列舉了大學數學思想方法中的類比法與化歸法，在大學數學中還有許多其他的數學思想方法，學生如果能夠掌握大學數學中解決問題的獨特與新穎的思想方法，且掌握其精髓，就可以使學生形成正確的數學觀念，培養學生的創造性思維，學生的思維能力與創新能力得到加強.

（三）通過挖掘數學美滲透數學文化，讓學生領會數學的美學價值

隨著社會的進步，人們對審美的追求越來越高，數學具有特殊的美育和人文素養塑造功能，感染著人們對主觀世界的認識與升華.

1.挖掘數學的簡潔美

簡潔美是數學美的基本內容.愛因斯坦曾說過：“美，本質上終究是簡單.”舉幾個數學簡潔美的例子：（1）數學分析中的數列極限的ε-N定義.用語言敘述為：“設{an}為數列，a為定數.若對任意給的正數ε，總存在正整數N，使得當n>N時有|an-a|<ε，則稱數列{an}收斂于a，定數a稱為數列{an}的極限.”而用數學語言表述為：“ε>0，N+，n>N+時，|an-a|<ε，則{an}以a為極限.”（2）線性代數中用數學語言表示一個矩陣非常簡潔、直觀，而用其他語言其復雜性不言而喻.

2.發現數學的對稱美

對稱美是數學美的另外一種表現形式.如：ΩR3，Ω是球心在原點、半徑為1的球.計算三重積分（x+y+z）2dv，若將這個問題直接來計算會相當的煩瑣，但如果利用對稱性來計算，則非常簡單：

（x+y+z）2dv =（x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz）dv =（x2+y2+z2）dv=3x2dv =24Ω1x2dv.

此處Ω1為球體在第一卦限部分，這里就運用了對稱性.

數學對稱美無處不在，指數與對數互為逆運算，除法是乘法的逆運算，這些均可看成是對稱關系.

（四）開設第二課堂滲透數學文化，增加學生領會數學文化的機會

1.開設“數學文化賞析”通選課，提升學生的數學素養

現在的數學課，由于各種原因，常常采取重結論不重證明、重計算不重推理、重知識不重思想的講授方法.大多數學生對數學的思想、精神了解得較膚淺，對數學的宏觀認識和總體把握較差，而這些數學素養，反而是數學讓人終身受益的精華.而“數學文化賞析”通選課正是以數學知識為載體，講授數學思想、方法、數學美等內容，從而提升學生的數學文化素養.通過“數學文化賞析”通選課讓全校學生，特別是像文學院、體育學院的學生也有了學習數學思想的機會了.

2.開展“數學文化”系列講座

國內外有好多專家、學者對“數學文化”有了比較深入的研究，南開大學的顧沛教授從1999年就開始了數學文化的研究，學校和學院可根據學校的學術氛圍，聘請一些專家和學者做關于“數學文化”的講座，像顧沛教授的講座“郵票中的數學文化”就給學生留下了非常深刻的印象，激發學生探索生活中所蘊含的數學文化的熱情，開設數學文化講座是開拓學生視野的一條有效途徑.

四、結 論

隨著數學文化研究的深入，人們越來越認識到在大學數學教學中滲透數學文化，對于提高大學生的綜合素質具有非常重要且深遠的意義，不僅能使他們感受和體驗數學文化的魅力，更能使他們接受數學文化的感染和熏陶.張奠宙教授曾強調：“數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中使得學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位和世俗的人情味.”

隨著數學教育改革的深入，人們也越來越關注數學文化在數學教育中的地位和作用，我們相信，數學文化的深入發展必將對中國數學教育改革產生深遠的影響.