如何將數學思想滲透到初中數學教學中

焦永安

摘 要：初中數學課程內容是數學知識與數學思想方法組成的有機整體。《義務教育數學課程標準》指出：“初中數學的基礎知識主要是代數、幾何中的性質概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內容所反映出來的數學思想方法，數形結合、分類討論和化歸等數學思想方法蘊涵在數學知識的學習過程中。在教學過程中，強化數學思想方法的滲透，應成為數學教師的自覺行為，也是數學課程改革的導向之一。

關鍵詞：數學教學；數形結合；分類討論；化歸思想

一、數形結合入堂奧

華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”可見，數形結合可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。人們一般把代數稱為“數”，而把幾何稱為“形”，“數”與“形”從表面看是相互獨立的，其實在一定條件下它們可以相互轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題。

在初中數學教學中，最典型的數形結合就是借助圖形研究函數性質。函數圖象既具有特殊的幾何特征，又具備數量特征，將二者緊密結合，方有助于理解題意，探究解題思路，檢驗解題結果。

例題：如右圖，已知一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=■的圖象交于A（2，4）和B（-4，m）兩點。

（1）求這兩個函數的解析式。

（2）求△AOB的面積。

（3）根據圖象直接寫出，當y1>y2時，x的取值范圍。

分析：解決此問題的關鍵是利用圖象的位置，反映相應的自變量和函數值的范圍，讓學生觀察圖象的特點，由圖象上的A（2，4）決定y1、y2的解析式，求△AOB的面積比較困難，激發學生由C點線段想到△AOB面積是△AOC與△BOC的面積和，就化難為易，得心應手。

解：（1）∵點A（2，4）在反比例函數y2=■的圖象上，由反比例函數的概念y=■可變形為xy=k得a=2×4=8，

∴反比例函數的解析式為y2=■。

∵點B（-4，m）也在反比例的圖象上，

∴當x=-4時，m=-■=-2。

∵直線y1=kx+b經過A（2，4）和B（-4，-2），

∴2k+b=4-4k+b=-2解得k=1，b=2。

∴一次函數的解析式為y1=x+2。

（2）設直線y1=x+2與x軸交點C（如上圖）

則C點的y1=0時，x+2=0，x=-2。

∴點C（-2，0），|OC|=2是兩三角形的底邊。

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=■×2×4+■×2×2=6。

由圖象可知，當x>2或-4y2時，-42。

二、分類討論找規律

在數學教學中，分類討論的思想無處不在，無時不用。如，對于有絕對值的代數式，當去掉絕對值符號時，便要把代數式分大于0、等于0、小于0三種情況加以討論；在解含有字母系數的方程和不等式時，也要對字母的范圍進行討論。

方程知識是初中數學知識的重點和基礎，涉及一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程、分式方程等。這些不同類型的方程之間又可以通過降次、消元和去分母等方法互相轉化，解決這類問題，只有審清了題意，全面、系統地考慮問題，才能確定出各種可能情況的分類框架，分類時也才能做到條理清楚、不出現漏解的現象。

例題：已知關于x的方程（m+■）xm2-1+2（m-1）x-1=0

（1）m為何值時，它是一元二次方程；

（2）m為何值時，它是一元一次方程。

分析：根據一元二次方程和一元一次方程的定義，確定m的值。

（1）m2-1=2m+■≠0解得m=■。即當m=■時，原方程是一元二次方程。

（2）若使原方程為一元一次方程，則m的情況分三種情況討論：

①m+■=2m-1≠0解得m=-■

②m2-1=1m+■+2（m-1）≠0得m=±■m≠■（2-■）解得m=±■

③m2-1=02（m-1）≠0得m=±1m≠1解得m=-1

當m=-■或±■或者-1時，原方程是一元一次方程。

討論關于x的方程是一元一次方程或一元二次方程的問題，關鍵要考慮兩點：一是未知數的最高次數，二是最高次項的系數不等于0，要進行嚴密的思考，做到不重復不遺漏。

分類討論思想涉及初中數學的全部知識點，因此，加強分類討論思想的訓練，培養學生分類的習慣，有利于學生形成思維的條理性、縝密性和科學性，有利于學生形成良好的思維品質，降低數學知識的理解難度，提高學習效率。

三、化歸思想見魅力

在處理問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉化歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答，諸如將未知向已知化歸，復雜問題向簡單問題化歸，實際問題向數學問題化歸等。

例題：若（■-a）2與b-1互為相反數，則■的值為 。

分析：由相反數的性質可知（■-a）2+b-1=0，由非負數性質得■-a=0，b-1=0，得a=■，b=1，所以■=■=■+1。

初中代數教學內容中處處滲透著化歸思想，有理數的運算法則是小學四則運算的拓展，分式方程、無理方程和簡單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申，平面直角坐標系是數軸的推廣……

在方程的教學中，化歸思想表現得更是突出。如，x=a是一個最簡單形式的方程，同樣也是一個方程的解，那么，由此可以認為：解方程的過程，就是把已知方程通過同解變形化為x=a的過程，數學思想是隱含在數學知識之中的，且隨著每一章節知識點的不同，隱含其中的數學思想也不同。

可見，教師有意識地滲透數學思想方法的首要條件是教師要從數學思想方法的角度對教材進行系統的分析研究，發現和把握教材內容中所隱含的數學思想方法。教師必須在數學思想的基礎上去設計教學過程，在講課、評課、輔導等環節中都要有意識地運用數學思想方法，并注意各種數學思想方法的關聯，使學生逐步了解、領悟、掌握數學思想方法，這樣學生才會越學越想學，越學越愛學。

參考文獻：

[1]王文槐.中考集訓.甘肅教育出版社，2008.

[2]王后雄.教材完全解讀.中國青年出版社，2009.

（作者單位 甘肅省臨夏縣三角初級中學）