讓“數學模型”搭建成初中數學解答的橋梁

鐘建強

【摘要】本文主要闡述了運用“數學模型”在初中數學教學中的解題思路以及培養學生數學思維的意義。

【關鍵詞】“數學模型” 初中數學 解題思路

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0160-01

把“數學模型”概念引入初中數學課堂，運用數學模型方法引導學生學習數學，其效果很是明顯。但由于這一方法走進數學課堂的時間不長，因此，如何更好地認識和了解“數學模型”，如何運用它解答數學問題，自然成了我們數學教師談論的一個新話題和探討的一個新領域。

“數學模型”的初步認識

模型，本來是實物體存在的某種形狀。而所謂的數學模型是指通過抽象和模擬，利用數學語言（文字、符號、圖形）和方法對所解決的實際問題進行的一種刻畫。近些年，它發展成為一門新學科，是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題，并在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。

“數學模型”與初中數學

在初中數學教學中的運用主要是解題方法，即數學模型方法，它根據研究目的，對所研究的過程和現象的主要特征、主要關系、采用形式化的數學語言，概括地、近似地表達出來的一種結構，通過研究事物的數學模型來認識事物的方法。一般地，通過數學建模來解決實際問題的過程稱為數學建模。

就初中數學而言，常見的數學模型有：方程、不等式、函數、幾何、概率等。

方程（組）刻畫現實世界中的等量關系；不等式（組）刻畫現實世界中的不等關系，如設計投資決策、人口控制、資源保護、生產規劃、商品銷售、交通運輸等；函數或代數式刻畫變量之間的相互關系，涉及成本低、利潤或產出最大、效益最好等實際問題；幾何涉及圖形面積的計算、合理下料、跑道的設計與計算、工程選點定位、優化設計等應用問題；概率涉及到提前預測相關事件發生的可能性大小等。

“數學模型”的解題思路探微

運用數學模型解決實際問題的一般步驟是：明確實際問題，并熟悉問題的背景；構建數學模型；求解數學問題，獲得數學模型的解答；回到實際問題，檢驗模型，解釋結果。

下面根據相應模型舉幾個例子，并給出解答過程：

1.方程模型

解題思路：合理設未知數，根據已知的或隱含的等量關系，列出含有未知數的等式，然后解方程（組），驗證解的合理性。

如七年級：在月歷上用正方形圈出2×2個數的和是76，這4個數分別是幾號？

解：設最小的數為x，則其余3個數分別為x+1，x+7，x+8。

根據題意，得 x+x+1+x+7+x+8=76，4x=60，x=15。

因此，這4天分別是15號，16號，22號，23號。

再如，某物流公司為一客戶的物質打包成件，其中書籍和食品共360件，書籍比食品多90件。求打包成件的書籍和食品各多少件？

分析：學生抓住書籍與食品兩個數量關系，設未知數x與y，建立方程模型求解。

解：設打包成件的書籍x件，食品y件，由題意得：x+y=360 x-y=90 解得：x=225，y=135

2.不等式模型

解題思路：合理設未知數，根據已知的或隱含的不等關系，列出含有未知數的不等式（組），然后解不等式（組），最后驗證解的合理性。

如八年級：某單位決定購買8臺空調，現有甲、乙兩種空調供選擇。甲種空調每臺0.8萬元，乙種空調每臺0.5萬元，經過預算，本次購買空調所耗資金不能超過4.6萬元。

（1）設購買甲種空調x臺，請寫出x應滿足的不等式；

（2）寫出所有的購買方案。

解：（1）0.8x+0.5（8-x）≤4.6；（2）解不等式，得x≤2。因為x為整數，所以x=0，1，2。

第一種方案是買0臺甲空調，8臺乙空調；

第二種方案是買1臺甲空調，7臺乙空調；

第三種方案是買2臺甲空調，6臺乙空調。

“不能超過”隱含著不等關系，這是選用不等式模型的主要依據。

3.函數模型

解題思路：根據實際問題或幾何中的等量關系，求出函數的解析式。

4.幾何模型

解題思路：將實際問題轉化為幾何圖形，然后根據幾何圖形的性質去求解。

如（七年級）：如圖1，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸AB什么地方開溝，才能使水溝的長度最短？本題可以歸結為一個數學模型“在直線上找一點，使這點到直線外一定點的距離最短”。

如（八年級）：如圖2，要在公路旁修建一個蔬菜收購站，由蔬菜基地A，B向收購站運送蔬菜，收購站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

這題可以歸結為一個數學模型：“在直線上找一點，使這點到直線外兩點的距離之和最小”。

5.概率模型

解題思路：必須找出等可能結果的總數和某一事件可能發生的結果數，然后根據公式求解。

如（七年級）：小孫設的微機密碼由6位數字組成，每位上的數字都是0～9這十個數字中的一個。小孫忘了密碼，如果他任意撥一個密碼，恰好打開微機的概率是____。

“數學模型”的教學啟示

首先，運用數學模型教學，可以培養學生一種良好的數學思維。數學建模是一種主動的活動，要在現實中提取數學模型。在建模過程中，學生所面臨的主要問題是如何從雜亂無章的現象中抽象出數學問題，并確定出問題的答案，這就要善于在其中分解與目標相關連的最主要因素，常常先從建立簡單模型入手，逐步考慮各種建模要素，使模型按預定的目標逐漸完善。

其次，運用數學模型教學，可以培養學生良好的數學技能。在數學建模教學中，我們不僅要使學生掌握數學模型的概念及建模的方法和技能，而且要培養學生把客觀事物的原型與抽象的數學模型相聯系的能力。

總之，運用數學模型教學，可以培養學生充分理解數學知識，培養敏銳的洞察力，良好的想象力以及較強的抽象思維能力和創新意識。