在體驗中思考的數學課堂實踐

段文山

摘 要：新課標倡導積極主動、勇于探索的課堂教學實踐，動手操作的體驗課堂隨處可見，然而，怎樣的體驗課堂才能創造出一個個驚喜呢？通過動手操作，使學生獲得的不僅是知識與技能，更是一種認識事物的方式，一種超越現象認識隱藏于背后的本質的追求.嘗試：“在實踐中體驗，在體驗中思考，在思考中感悟，在感悟中創新”的數學課堂實踐，取得了較好的教學效果.

關鍵詞：實踐；體驗；思考；創新

一、“操作”中體驗

陶行知先生說：“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時間，使他們充分得到自由的生活，從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索，放手讓學生去“做”，已成為廣大教師的共識，但如何“做”，為什么這么“做”，是否“做”得更好等諸多問題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學生盡量在真實的活動中獲得體驗，由表及里地審視數學知識，再現知識的形成過程.

案例Ⅰ“橢圓概念”的認識

師：“嫦娥奔月”，國人振奮.展示“嫦娥二號”探月的圖片，并提問：“嫦娥二號”運行的軌道是什么形狀？

生：橢圓！

師：同學們借助身邊可供操作的素材，嘗試著畫一個橢圓，邊思考橢圓是怎樣畫成的？

生：積極思考，合作探究，有的用圓規、有的用校卡，有的用小型膠帶（學生用品），有的徒手畫，有的借助畫圖板……10秒后，不少同學成功地畫出了橢圓，極少數同學仍在嘗試.

師：有哪位同學能在黑板上展示一下畫橢圓的過程嗎？

生1：用一條繩子（無彈性）對折，一端用左手按住，另一端系一支粉筆，把繩子拉直，將粉筆旋轉一圈，松手一望，喲，怎么還是圓呢？

生2：將對折后繩子的兩個端點稍分開，分別用兩個指頭按住，中間再用粉筆畫.

師：按照這位同學的思路在黑板上畫圖，故意將繩子變松，畫出圖：學生們笑了.

生3：您畫的是“怪蛋”，圓不圓，扁不扁.

生4：繩子沒拉緊.

師：機智地捕捉到這一關鍵思路.問：繩子沒拉緊就畫成“怪蛋？”學生陷入思考……

生5：（急于表現）繩子拉緊了就是橢圓，就在黑板上畫出一個橢圓.

生6：我知道了，拉緊了就能使叉開的距離之和等于繩子的長度，保持不變，剛才老師畫的時候繩子松了一下，叉開的距離之和就變了，所以畫出的圖形就不是橢圓.

師：太棒了！誰能給出橢圓的定義？

生7：到兩點的距離之和為常數的點的軌跡是橢圓.

師：到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡一定是橢圓

嗎？同時將兩定點的距離拉開，再畫一個橢圓.

生8：扁了.

師：繩子的長度一定，兩定點距離越來越大，橢圓越來越扁，照這樣“扁”下去，后果會怎樣？

生9：壓扁成一條線段，叉不開了.

生10：到兩定點距離之和等于定長（大于兩定點間距離）的點的軌跡是橢圓.

師：再次演示，將粉筆一端拉緊繩子，但離開黑板畫，學生會意.

生11：應加上“在平面內”，要不然就成雞蛋了.（掌聲響起……）

評注：通過操作，使學生從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡，學生獲得了大量的感性材料，從而加深了對橢圓概念的深層次領悟.

二、“體驗”中思考

真正的思維起源于某種疑惑、迷亂或懷疑.思維的發生不是依據普遍的原則，而是由某種事物作為誘因發生的.以動手操作誘發學生的數學思考，可以巧妙地把以數學思維為核心的腦部活動和動手操作有機結合，引導學生在一個個數學活動中積累經驗，提升觀察、實驗、猜想、驗證、推理、概括等能力.

案例Ⅱ“等差數列前n項和”

課前準備：將班上同學分成9組，每組5～6人，每個小組分發大小相同的硬紙片，上面都寫著1.這足以引起同學們疑惑……

師：同學們，還記得前面了解過的古希臘畢達哥拉斯學派的浪漫沙灘之旅嗎？今天我們重溫當時的場景，請同學們借助硬紙片將它完成.

生：（釋惑）哦！原來要我們玩.

學生很快就擺出圖形，如圖1、如圖2.

師：如圖3，第100個圖案中擺了幾塊硬紙片？

生：圖3中前幾個圖案中還可以數，越往后的圖案所需片數越多，擺到第100個圖案，紙片是肯定不夠的.

評注：紙片數不夠，這一矛盾引起學生的認知沖突，學生在做中體驗，要體驗中不約而同地遇到了困惑，有困惑就有思考，有思考就會有感悟，運用數學學習“再創造”理論，調動學生原有的知識和經驗，引導學生在實踐中真正“做”數學.

精彩還在繼續……

生1：不如將其他組的硬紙片都拿過來（急中生智）.

生2：恐怕不行，要是擺到第1000個圖案呢？太麻煩了吧.

師：就是嘛，要請你擺到第2013個圖案，也這樣一個一個地擺嗎？

評注：疑問再次激起同學們探究的欲望，剛剛建立起來的認知平衡，被無情的事實擊倒了，迫使他們在熟悉而又具體的問題情境中，主動地尋求解決問題的方法.

到底該怎么辦？

通過實驗、操作、討論、交流，從用硬紙片去擺，n比較大時，擺第n個圖案的紙片不夠，使學生對三角形數由感性認識上升到理性認識.

生3：有了！（激動）第n個圖案的紙片數為1+2+3+…+n，即將每一行的片數加在一起.

師：很好.那么數列1，2，3，…，n是什么數列？

生：等差數列.

師：這就是我們這節課要學習的內容：“等差數列前n項和.”

（出示課題）1+2+3+…+n=？

生4：在旁邊再擺一個一樣的倒著放的圖案，這樣每一行的紙片塊數相同，如圖3，這樣就可求1+2+3+…+n=.

師：太妙了！將一個三角形圖案順時針旋轉180°后的圖案與原圖案拼成一個平行四邊形狀，再求和，這種數列求和的方法叫做“例序相加法”.

生5：那正方形數也可以這樣求，先將它分割為如圖4，再由圖5可得：1+3+5+…+（2n-1）==n2.

師：太棒了！

下面就一般等差數列an求前n項和.

評注：由“經歷”到“經驗”非常重要的是思維和情感的真正參與，把操作活動變成學生的自覺行為，同時將知識和思想方法進行內化，由此誕生真正的數學思想.

三、“思考”中創新

所謂“多思必有所得”，教師創設一個個極具思考價值的數學活動，使學生時而沉默思考，時而大膽探索，在有限的時間內，再現知識的形成過程，完全陶醉在“好玩”的魅力課堂之中，枯燥的數學就變得妙趣橫生.

案例Ⅲ 數列求和

師：今天我們繼續玩紙片.

在圖3中，現將第1個圖案堆在第2個圖案上，再堆到第3個圖案上，然后堆到第4個圖案上，…，如此堆下去，堆成一個“塔”狀，如圖6是一個三層塔.請問堆一個這樣的n層塔共需多少個紙片？

學生動手……

生1：在上節課中，求第n個圖案中所需紙片數時，按行計算，即1+2+3+…+n，現在就應該按層計算，第n層所需紙片數為1+2+3+…+n，因此n層塔所需紙片數為1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=1+3+6+…+.

師：這是等差數列求和嗎？

生：不是.

生2：但我們發現從第2項起，后一項減前一項得到的數列：2，3，4，…，是一個等差數列.

師：這一發現太重要了，能用一個關系式表示嗎？

生2：我們試試……

生3：我行！a1=1

an-an-1=n（n>1）

師：精彩！根據第n層所堆紙片數=，其他各層的片數是不是也可以寫成這個形式？

生：Sn=1+3+6+…+=+++…+.

師：很好！前面我們已經會求等差、等比數列的前n項和，這類和怎么求呢？

根據加法的交換律，有：Sn=+++…+=

（1+2+2+…+n）+（12+22+32+…+n2）.

我們稱這種數列求和的方法為“分組法”，這里：12+22+32+…+n2=

于是Sn=·+·=.

老師還沒說完，學生就有話說.

生：12+22+32+…+n2=怎么來的？講一下吧.

評注：當操作與思維情感聯系起來時，操作便成為培養學生創新意識的源泉.“分組法”容易理解，為什么突然“冒出”12+22+32

+…+n2=呢？如果老師只告訴學生，課本第58頁給出了這個公式，學生課后自己上網去了解它的推導，這樣未嘗不可，但卻沒能把學生的思考引向深入.

師：這個問題還真令老師措手不及，不過，我想到了前面了解過的正方形數，我們是不是將圖4中各個圖案中的紙片也像剛才那樣操作，壘成一個“塔”……

生：壘一個n層塔所需紙片數為12+22+32+…+n2.（太神了！）

師：求1+2+3+…+n時，用的是“倒序相加”法，即將1，2，3，…， 擺成一個三角形，然后順時針旋轉180°得到一個倒放的三角形，兩者拼成一個平行四邊形再求和，這種思維對于求12+22+32+…+n2的和是否會有啟發呢？

生：嘗試、討論、合作、交流……

師：要擺成三角形狀，要將所有數都擺完.

生：可是紙片中只有1，哪能得到n？

師：那我們就在紙片背面分別標上數字：1，2，3，4，…，怎么樣？

評注：數學家波利亞說：“一個涌上腦際的念頭，倘若毫無困難地通過一些明顯的行動就達到了所求的目標，那就不會產生問題.然而，倘若我想不出這樣明顯的行動來，那就產生了問題.那就意味著要去找出適當的行動，去達到一個可見而不即時可及的目的.”“紙片只標有1，那就在背面再標數字！”新知識在學生的體驗中自然而然產生.

實踐證明，在體驗中思考的數學課堂實踐是受學生歡迎的，在體驗中探究的形式進行教學，使學生“動”起來了、使數學課“活”起來了、學生的學習興趣也提高了.這不僅培養了學生提出問題、分析問題、發現問題、解決問題的能力，也培養了學生的科學探究和團結合作的精神.

參考文獻：

[1]潘建國.在體驗中“做”數學.數學通報，2006（5）：35.

[2]沈金興.數學文化，課堂有你更精彩.數學通報，2009（4）：32.

（作者單位 廣東省中山市東區中學）