從“圖導”走向“圖構”：幾何直觀教學的新視域

許冰彬

【摘 要】“形”和“數”是數學大廈的基石，“形”又是構成幾何的素材。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幾何直觀作為十個核心概念之一，充分體現了幾何直觀的價值。而幾何直觀的形成需要一個逐步的過程，尤其在小學階段應該依托圖形的引導和構建，培養學生的幾何直觀能力，發展學生的創造性思維。

【關鍵詞】“圖導” “圖構” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學中，教師應該通過對數學圖形的導學、分析和構造，培養學生主動使用圖形的意識和習慣，從而有效理解數學概念，發現數學規律，掌握數學方法，促進學生幾何直觀能力的發展。

一、“圖導”——打好幾何直觀的基礎

“圖導”就是根據教材中提供的圖，指導學生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學生學習數學服務。

（一）強化用圖意識，建立抽象與現實的聯系

表象是幾何直觀思維的基礎元素，學生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質。例如，教學蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個？可以通過多媒體演示讓學生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導學生分別以正方體的頂點、面、棱長為標準進行分類計數。通過對實物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動，幫助學生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實現表象與言語的轉換

幾何直觀要求將抽象的數學語言與直觀圖形有機地結合起來，實現表象系統與言語系統的轉換，進而促進學生的數學理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學例題（小明家和小芳家分別在學校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時從家里出發走向學校，經過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時，學生意識到題目中的信息紛雜，產生了畫圖或列表的需要。學生畫出線段圖后，教師可以引導學生從畫出的圖中分析數量關系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學生的思維過程；再由圖“說”理，訓練學生的數學表達。

二、“圖構”——培養學生創造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數學問題，借助直觀領悟數學本質，誘發空間聯想，從而揭示解題思路。因此，如何構建一個合理并有啟發性的“圖”顯得非常重要。在教學中，教師應從用“圖”導學逐步走向引導學生構“圖”。

（一）關注運動想象，貫穿表征與概念的統一

幾何變換或圖形的運動是幾何也是整個數學中的重要內容，它既是學生學習的對象，也是學生認識數學的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學中，最基本的圖形是軸對稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認識、學習、研究不對稱圖形時，往往可以運用這些軸對稱圖形。例如，教學蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時，練習中有這樣一道題：

■

矩形以一邊為軸旋轉可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體。圖形平移、旋轉，可以使得“點動成線”“線動成面”“面動成體”。借助變換為主的圖形教學可以引導學生經歷觀察、操作等具體的感知過程，培養他們靈活運用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯想為主，提升圖形表征的高度。

聯想和想象是拓展學生幾何直觀思維空間的主渠道，是發展學生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個近似的長方形，利用長方形的面積公式推導出圓的面積公式。在學習過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯系，也能夠發揮學生對拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構造圖形，尋找代數與幾何的平衡

笛卡爾創造了頗具直觀意義的數學工具——直角坐標系，歐拉化抽象為直觀的數學圖（用點和線畫出網絡狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構造恰當的中介圖形，將抽象的代數問題幾何化，問題就會簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點。

日常解題要尋找代數問題的幾何表征，對于數學思考是有效的，既能實現問題形式化的表達，又強調了對數學本質的認識。抓住了數學本質，就可以打開數學模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實現解題突破和解題優化。例如，教學人教版五下“統計”單元中《打電話》一課時，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時間，能使多少人收到通知？

■

教師可以引導學生利用線段、點等圖形來描述題目信息，從而完成設計方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個人，第二次通知的新的人數，就是第一次的兩倍。通過構造圖，可以把題目中復雜的數量關系簡明直觀地呈現出來，并能從中發現規律。這樣的教學不僅能解決實際的問題，還可以借助圖形教會學生抓住數學問題的本質。

2.數形有效結合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強學生對數學知識方法的理解，優化解題過程。學生的幾何直觀能力增強了，對其提高數學理解能力有很大的幫助。例如，教學蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計算“■+■+■+■”。

■

解題時，教師可以引導學生構造出一個邊長為1的正方形（如上圖），要計算的結果正好就是正方形的一部分面積，根據圖形的引導，學生很容易就能得出計算的結果。計算題和圖形看似沒有任何關系，但將分數加法轉化成圖形表示后，不僅避開了復雜的運算，還提升了學生思維的深度，將數與形更好地結合了起來。

我們應該認識到，在教學中，圖形是學生思維的腳手架。同時，我們也應該注意到，由數轉化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導學可以為學生形成幾何直觀能力打下堅實的基礎，而圖形的構建從另一個方面體現了幾何直觀方法的實際運用，兩者的辯證關系在數學教學活動中得到了完美的呈現。因此，我們的數學教學應該行進在“圖導”走向“圖構”的路上，通過適度的“圖導”和巧妙的“圖構”，適當地發揮圖形的教學潛能，培養學生的數學素養。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學校第一附屬小學教育集團）

【摘 要】“形”和“數”是數學大廈的基石，“形”又是構成幾何的素材。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幾何直觀作為十個核心概念之一，充分體現了幾何直觀的價值。而幾何直觀的形成需要一個逐步的過程，尤其在小學階段應該依托圖形的引導和構建，培養學生的幾何直觀能力，發展學生的創造性思維。

【關鍵詞】“圖導” “圖構” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學中，教師應該通過對數學圖形的導學、分析和構造，培養學生主動使用圖形的意識和習慣，從而有效理解數學概念，發現數學規律，掌握數學方法，促進學生幾何直觀能力的發展。

一、“圖導”——打好幾何直觀的基礎

“圖導”就是根據教材中提供的圖，指導學生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學生學習數學服務。

（一）強化用圖意識，建立抽象與現實的聯系

表象是幾何直觀思維的基礎元素，學生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質。例如，教學蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個？可以通過多媒體演示讓學生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導學生分別以正方體的頂點、面、棱長為標準進行分類計數。通過對實物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動，幫助學生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實現表象與言語的轉換

幾何直觀要求將抽象的數學語言與直觀圖形有機地結合起來，實現表象系統與言語系統的轉換，進而促進學生的數學理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學例題（小明家和小芳家分別在學校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時從家里出發走向學校，經過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時，學生意識到題目中的信息紛雜，產生了畫圖或列表的需要。學生畫出線段圖后，教師可以引導學生從畫出的圖中分析數量關系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學生的思維過程；再由圖“說”理，訓練學生的數學表達。

二、“圖構”——培養學生創造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數學問題，借助直觀領悟數學本質，誘發空間聯想，從而揭示解題思路。因此，如何構建一個合理并有啟發性的“圖”顯得非常重要。在教學中，教師應從用“圖”導學逐步走向引導學生構“圖”。

（一）關注運動想象，貫穿表征與概念的統一

幾何變換或圖形的運動是幾何也是整個數學中的重要內容，它既是學生學習的對象，也是學生認識數學的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學中，最基本的圖形是軸對稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認識、學習、研究不對稱圖形時，往往可以運用這些軸對稱圖形。例如，教學蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時，練習中有這樣一道題：

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矩形以一邊為軸旋轉可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體。圖形平移、旋轉，可以使得“點動成線”“線動成面”“面動成體”。借助變換為主的圖形教學可以引導學生經歷觀察、操作等具體的感知過程，培養他們靈活運用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯想為主，提升圖形表征的高度。

聯想和想象是拓展學生幾何直觀思維空間的主渠道，是發展學生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個近似的長方形，利用長方形的面積公式推導出圓的面積公式。在學習過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯系，也能夠發揮學生對拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構造圖形，尋找代數與幾何的平衡

笛卡爾創造了頗具直觀意義的數學工具——直角坐標系，歐拉化抽象為直觀的數學圖（用點和線畫出網絡狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構造恰當的中介圖形，將抽象的代數問題幾何化，問題就會簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點。

日常解題要尋找代數問題的幾何表征，對于數學思考是有效的，既能實現問題形式化的表達，又強調了對數學本質的認識。抓住了數學本質，就可以打開數學模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實現解題突破和解題優化。例如，教學人教版五下“統計”單元中《打電話》一課時，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時間，能使多少人收到通知？

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教師可以引導學生利用線段、點等圖形來描述題目信息，從而完成設計方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個人，第二次通知的新的人數，就是第一次的兩倍。通過構造圖，可以把題目中復雜的數量關系簡明直觀地呈現出來，并能從中發現規律。這樣的教學不僅能解決實際的問題，還可以借助圖形教會學生抓住數學問題的本質。

2.數形有效結合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強學生對數學知識方法的理解，優化解題過程。學生的幾何直觀能力增強了，對其提高數學理解能力有很大的幫助。例如，教學蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計算“■+■+■+■”。

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解題時，教師可以引導學生構造出一個邊長為1的正方形（如上圖），要計算的結果正好就是正方形的一部分面積，根據圖形的引導，學生很容易就能得出計算的結果。計算題和圖形看似沒有任何關系，但將分數加法轉化成圖形表示后，不僅避開了復雜的運算，還提升了學生思維的深度，將數與形更好地結合了起來。

我們應該認識到，在教學中，圖形是學生思維的腳手架。同時，我們也應該注意到，由數轉化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導學可以為學生形成幾何直觀能力打下堅實的基礎，而圖形的構建從另一個方面體現了幾何直觀方法的實際運用，兩者的辯證關系在數學教學活動中得到了完美的呈現。因此，我們的數學教學應該行進在“圖導”走向“圖構”的路上，通過適度的“圖導”和巧妙的“圖構”，適當地發揮圖形的教學潛能，培養學生的數學素養。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學校第一附屬小學教育集團）

【摘 要】“形”和“數”是數學大廈的基石，“形”又是構成幾何的素材。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幾何直觀作為十個核心概念之一，充分體現了幾何直觀的價值。而幾何直觀的形成需要一個逐步的過程，尤其在小學階段應該依托圖形的引導和構建，培養學生的幾何直觀能力，發展學生的創造性思維。

【關鍵詞】“圖導” “圖構” 幾何直觀 新視域

圖形在我們生活中已占有越來越重要的地位。在教學中，教師應該通過對數學圖形的導學、分析和構造，培養學生主動使用圖形的意識和習慣，從而有效理解數學概念，發現數學規律，掌握數學方法，促進學生幾何直觀能力的發展。

一、“圖導”——打好幾何直觀的基礎

“圖導”就是根據教材中提供的圖，指導學生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學生學習數學服務。

（一）強化用圖意識，建立抽象與現實的聯系

表象是幾何直觀思維的基礎元素，學生大腦中的表象越豐富，越容易抓住問題的本質。例如，教學蘇教版六上“長方體和正方體”單元，其中第34頁的思考題（改編后）：將邊長為3的紅色正方體分割成邊長為1的小正方體。分割后，三面、兩面、一面有紅色的小正方體各有多少個？可以通過多媒體演示讓學生直觀感受一面、二面、三面為紅色的正方體分別在原正方體上所處的不同位置，引導學生分別以正方體的頂點、面、棱長為標準進行分類計數。通過對實物、模型、圖形的觀察、拼擺等活動，幫助學生積累豐富的幾何表象。

（二）善用讀圖能力，實現表象與言語的轉換

幾何直觀要求將抽象的數學語言與直觀圖形有機地結合起來，實現表象系統與言語系統的轉換，進而促進學生的數學理解。例如，蘇教版四下《解決問題的策略》一課，教學例題（小明家和小芳家分別在學校的西面和東面。小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米，他倆同時從家里出發走向學校，經過4分鐘兩人在校門口相遇，他們兩家相距多少米？）時，學生意識到題目中的信息紛雜，產生了畫圖或列表的需要。學生畫出線段圖后，教師可以引導學生從畫出的圖中分析數量關系，從而解決問題。通過“看”圖“想”事，突出學生的思維過程；再由圖“說”理，訓練學生的數學表達。

二、“圖構”——培養學生創造性思維的突破口

幾何直觀可以形象地描述幾何特征或數學問題，借助直觀領悟數學本質，誘發空間聯想，從而揭示解題思路。因此，如何構建一個合理并有啟發性的“圖”顯得非常重要。在教學中，教師應從用“圖”導學逐步走向引導學生構“圖”。

（一）關注運動想象，貫穿表征與概念的統一

幾何變換或圖形的運動是幾何也是整個數學中的重要內容，它既是學生學習的對象，也是學生認識數學的方法。

1.以圖形變換為主，拓展圖像表征的深度。

在教學中，最基本的圖形是軸對稱圖形，如圓、正多邊形、長方形、菱形等。在認識、學習、研究不對稱圖形時，往往可以運用這些軸對稱圖形。例如，教學蘇教版六下《圓柱和圓錐》一課時，練習中有這樣一道題：

■

矩形以一邊為軸旋轉可以形成圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉可以形成錐體，半圓以直徑為軸旋轉可以形成球體。圖形平移、旋轉，可以使得“點動成線”“線動成面”“面動成體”。借助變換為主的圖形教學可以引導學生經歷觀察、操作等具體的感知過程，培養他們靈活運用變式圖形思考問題的能力。

2.以想象聯想為主，提升圖形表征的高度。

聯想和想象是拓展學生幾何直觀思維空間的主渠道，是發展學生幾何直觀能力的重要手段。例如，蘇教版五下《圓的面積》一課中，教材分別將圓分割為16份和64份，教師可以利用多媒體演示，將剪開后拼成的圖形想象成一個近似的長方形，利用長方形的面積公式推導出圓的面積公式。在學習過程中，既可以溝通長方形和圓形的聯系，也能夠發揮學生對拼接后圖形的想象并滲透極限思想。

（二）巧于構造圖形，尋找代數與幾何的平衡

笛卡爾創造了頗具直觀意義的數學工具——直角坐標系，歐拉化抽象為直觀的數學圖（用點和線畫出網絡狀圖）解決了哥尼斯堡七橋問題。構造恰當的中介圖形，將抽象的代數問題幾何化，問題就會簡易化。

1.抓住問題的幾何特征，突破解題難點。

日常解題要尋找代數問題的幾何表征，對于數學思考是有效的，既能實現問題形式化的表達，又強調了對數學本質的認識。抓住了數學本質，就可以打開數學模式或形式化的遮掩，理清解題思路或找到解題方法，實現解題突破和解題優化。例如，教學人教版五下“統計”單元中《打電話》一課時，出示下題：如果你是老師，有件緊急事情要用打電話的方式通知同學，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時間，能使多少人收到通知？

■

教師可以引導學生利用線段、點等圖形來描述題目信息，從而完成設計方案。從上圖中可以清楚地看出：1分鐘通知1個人，第二次通知的新的人數，就是第一次的兩倍。通過構造圖，可以把題目中復雜的數量關系簡明直觀地呈現出來，并能從中發現規律。這樣的教學不僅能解決實際的問題，還可以借助圖形教會學生抓住數學問題的本質。

2.數形有效結合，提升思維深度。

借助幾何直觀，可以加強學生對數學知識方法的理解，優化解題過程。學生的幾何直觀能力增強了，對其提高數學理解能力有很大的幫助。例如，教學蘇教版六下《解決問題的策略》一課，計算“■+■+■+■”。

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解題時，教師可以引導學生構造出一個邊長為1的正方形（如上圖），要計算的結果正好就是正方形的一部分面積，根據圖形的引導，學生很容易就能得出計算的結果。計算題和圖形看似沒有任何關系，但將分數加法轉化成圖形表示后，不僅避開了復雜的運算，還提升了學生思維的深度，將數與形更好地結合了起來。

我們應該認識到，在教學中，圖形是學生思維的腳手架。同時，我們也應該注意到，由數轉化成形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。圖形的導學可以為學生形成幾何直觀能力打下堅實的基礎，而圖形的構建從另一個方面體現了幾何直觀方法的實際運用，兩者的辯證關系在數學教學活動中得到了完美的呈現。因此，我們的數學教學應該行進在“圖導”走向“圖構”的路上，通過適度的“圖導”和巧妙的“圖構”，適當地發揮圖形的教學潛能，培養學生的數學素養。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省連云港師范高等專科學校第一附屬小學教育集團）