淺析輔助函數的構造原理及其在數學分析中的應用

王釩

摘 要： 構造輔助函數實質上就是分析法的一種技巧，它在數學分析中的命題推證，一些不等式的證明，以及在求條件極值時都有用到.有時候構造輔助函數也是解決數學分析問題的簡便而有效的方法之一.

關鍵詞： 輔助函數 構造原理 數學分析 教學應用

在解題過程中，根據問題的條件與結論的特點，通過逆向分析、綜合運用數學基本原理，經過深入地思考、縝密地觀察和廣泛地聯想，構造出一個與問題有關的輔助函數，通過對函數特征的考察達到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構造輔助函數法.

對于輔助函數的構造的內涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構造過程充分體現出了數學的發現、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析、化歸等思想.基本思路是從一個愿望出發，聯想起某種曾遇到過的方法、手段，而后借助于這些方法和手段接近目標，或者從這些方法和手段出發，聯想別的通向目標的方法和手段.這樣繼續下去，直到達到把問題歸結到一個明顯成立的結構——構造輔助函數上為止.使用構造輔助函數法是一種創造性的思維活動，一般無章可循，它要求既要有深厚堅實的基礎知識背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對問題的具體特點采用相應的構造輔助函數方法，常常可以使做題過程簡潔明了.所以要構造出恰當的輔助函數并不容易，很多同學對于如何構造輔助函數的問題是相當頭痛，學習積極性不高，那么怎樣才能掌握好輔助函數的構造并巧妙地應用它們呢？下面我就對定理的證明和自己做題過程中的一些問題加以探討。

一、利用解微分方程的方法構造輔助函數

主要適用于中值定理類問題的證明.其基本思路是：將求證存在ξ使F（ξ）=0中的ξ看作自變量，然后通過求解微分方程F（ξ）=0得=H（ξ）=C（其中C是任意常數），因為H′（ξ）=0等價于F（ξ）=0，所以H（x）就是我們所需構造的輔助函數.

例：設f（x）在[0， ]上可微，且f（0）=f（ ）= ，證明存在ξ∈（0， ），使得f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

分析：解微分方程f′（ξ）+f（ξ）=cosξ（這是一階非齊次線性方程）可得

f（ξ）=e [ e （cosξ+sinξ）+C]

從中解出C=e [f（x）- e （cosξ+sinξ）+C]=H（ξ）

證：令H（x）=e [f（x）- （cosx+sinx）]，由題設可知H（x）在[0， ]上可微，且H（0）=H（ ）= 根據羅爾（Rolle）定理知，存在ξ∈（0， ）使得H′（ξ）=0

整理得e [f′（ξ）+f（ξ）-cosξ]=0

所以f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

二、分析與綜合相結合構造輔助函數

對于一些綜合性較強或形式較復雜的數學命題，應該用綜合法和分析法兩種方式進行思考，運用相關知識，充分挖掘已知和未知之間的內在聯系，通過不斷轉化命題構造輔助函數.

方法歸納：此例中把不等式中的所有上限（或下限）改為X，從而引出輔助函數F（x），把問題轉化為F（x）≥0，再使用單調性分析證明這個不等式.另外，在定積分的證明題中，經常會使用積分中值定理，可以將積分消去，從而與其他項作大小比較.

總之，輔助函數的構造離不開分析、推理和聯想，解題者只有把知識學得系統、深入、融會貫通，才能取得事半功倍之效.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學數學教研室.高等數學上、下冊（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3]數學分析（第二版）[M].華東師范大學數學系編，156-157.

[4]數學分析（第二版）[M].華東師范大學數學系編，160.