高等數(shù)學概念教學的一些思考

張曉輝

【摘要】高等數(shù)學概念教學是一個創(chuàng)造性過程.在教學中要注意：（1）充分利用概念的實際背景；（2）合理借助概念的直觀性；（3）注意揭示概念的本質；（4）注重概念體系的建立.教師應根據(jù)高等數(shù)學概念的特點和學生的認知結構，結合概念的實際背景，采用多種教學方法，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)造精神，促使學生主動建構概念體系.

【關鍵詞】數(shù)學概念；教學；思考

一、高等數(shù)學概念的特點

數(shù)學概念是抽象思維的產(chǎn)物，它具有辯證性、客觀性、合理性等特點.對剛入學的大學生來說，高等數(shù)學與初等數(shù)學的主要區(qū)別在于，出現(xiàn)在他們面前的是全新的概念與方法.高等數(shù)學的概念基本上都是以運動的面貌出現(xiàn)的，是動態(tài)的產(chǎn)物.正如恩格斯所描述的： “運動進入了數(shù)學，辯證法進入了數(shù)學. ”了解高等數(shù)學概念的特點為我們引導學生進入高等數(shù)學的思維模式，并為其中部分學生日后學習應用數(shù)學做好準備是有指導意義的.因而，我們在教學中要研究高等數(shù)學概念的認識過程的特點和規(guī)律性，根據(jù)學生的認識能力發(fā)展的規(guī)律來選擇適當?shù)慕虒W形式.

二、 概念教學中要注意的幾個問題

（一）充分利用概念的實際背景

高等數(shù)學中很多概念都有著良好的物理背景或幾何背景，教學中應該充分利用這些資源，引導和啟發(fā)學生進行概念的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.例如，進行導數(shù)概念的教學時，我們首先引導學生在已知變速直線運動的運動方程情況下，設法求出某一時刻的瞬時速度.在此，首先引導學生取一較小的時間段，求出在一個較小時間段內的平均速度，用平均速度作為瞬時速度的近似值，然后分析當時間段越變越小會有什么樣的效果，使學生自己意識到通過對平均速度取極限可以得到瞬時速度.同理，我們引導學生求出平面曲線切線的斜率.結果，兩個不同的問題得出了相同的數(shù)學模式，至此，再抽象給出導數(shù)定義便水到渠成了.如果我們成功地引導學生得到導數(shù)的概念，對他們學習定積分、重積分、曲線積分與曲面積分的概念都是一個很好的啟迪.

（二）合理借助概念的直觀性

盡管抽象性是數(shù)學概念的突出特點，但是直觀性在高等數(shù)學的教學中也占有重要地位.教師應重視數(shù)學直觀力的培養(yǎng)與訓練.直觀有助于概念的引入、形成.例如：極限的嚴格定義的給出，便是借助了幾何直觀性.一個新的數(shù)學概念的學習，僅停留于對有關定義的機械記憶上顯然是不夠的.由于數(shù)學概念是抽象思維的產(chǎn)物，因此，對于概念的認識是以在思想中建構出其模式為前提的.例如高等數(shù)學中的散度概念，由于其引入并不是很直觀，學生常常只是記住了公式，對于散度究竟意味著什么，不甚清楚.如果我們讓學生了解在電場中，電位移向量的散度表示在一個點處是否存在電荷、電荷的正負以及電量的大小，與通量相比較，通量反映的是全局性態(tài)，散度則表示一點處的性態(tài).好比在一個公司里，通量相當于整個公司的經(jīng)營結果，而散度相當于每個員工的工作結果. 這樣，散度概念在學生那里就變得很清晰、明白.

（三）注意揭示概念的本質

由上所述我們看到，借助于直觀，有助于高等數(shù)學概念的引入，也能促進概念由抽象到具體的轉化.然而，就正確的認識而言，更為重要的是透過概念的形式表述揭示出其內在的本質，從而使其成為非常透明的東西.例如就導數(shù)概念而言，我們在教學中必須適時引導學生跳出狹義的圈子，使學生認識到，導數(shù)與真實現(xiàn)象間有著一般和特殊的關系，它作為抽象思維的產(chǎn)物具有更為普遍的意義，它所反映的已不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特征.除瞬時速度、電流、線密度外，它還可以表示瞬時加速度、角速度、切線斜率等，而它的本質是變化率.

（四）注重概念體系的建立

數(shù)學中的概念往往不是孤立的，理清概念間的聯(lián)系，既能促進新概念的自然進入，也有助于整個概念體系的建立.多元函數(shù)微分學中有一組概念，即極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分、方向導數(shù)，對它們之間的聯(lián)系以及它們與一元函數(shù)微分學中的極限、連續(xù)、導數(shù)、微分概念之間的異同的分析比較是我們在教學中要予以重視的.積分學中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分的概念之間的關系、異同也是在教學中應該加以注意的.建立概念間的聯(lián)系、異同有多種方法，類比法是常用的方法之一.依靠類比與聯(lián)想，可以從二維空間進入三維空間直至更高維空間，從有形進入無形，從現(xiàn)實世界進入虛擬世界.

三、 概念教學要體現(xiàn)出創(chuàng)造性活動

數(shù)學概念的教學就應該是一個動態(tài)過程，是一種創(chuàng)造性活動.教師應該在以學生為主體，以啟發(fā)式為原則，以簡易性為目標的前提下以多種不同的方式從事高等數(shù)學概念的教學活動，通過介紹概念建立的有關史實賦予概念以誘人的魅力，通過展示概念的應用賦予概念以鮮活的生命力，通過揭示概念的哲學內涵賦予概念以深刻的理性精神.教師自己要有一種批判精神，不要總是死摳教材.事實上，教材中確有一些概念存在著在敘述上不夠簡便、不夠明確等現(xiàn)象，容易使學生產(chǎn)生困惑.教師要敢于做出一些積極的改變. 在教學中，教師的創(chuàng)造性和個性化精神，必然會影響學生的創(chuàng)造性與個性化的發(fā)展.教師在數(shù)學教學中所做的一切，其目的在于既教會學生有用的知識，又教會學生有益的思考方式及有益的思維習慣.

【參考文獻】

[1]呂林海.數(shù)學抽象的思辨[J].數(shù)學教育學報，2005（8）.

[2]李善良.數(shù)學概念學習研究綜述[J].數(shù)學教育學報，2010（10）.

[3]侯風波.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社.