淺析尺規作圖對提高學生創新力的重要性

胡李萍

【摘要】 隨著近世代數的不斷完善，以及平面幾何研究工具的不斷發展，尺規作圖這一早在古希臘時期提出的最原始的數學問題，在我們的實踐教學中越來越不被重視. 在我們的平面幾何教學工作中，我們也越來越多地忽視了尺規作圖對提高學生創新力的重要作用. 本文將結合教學案例來說明尺規作圖在開發學生創新性思維方面的積極作用.

【關鍵詞】 尺規作圖；平面幾何；創新力；教學案例

前人對尺規作圖難題的各種開創性研究，極大促進了數學思想的發展，這是由于創新性在其中起到了決定性的作用. 相比于現在，我覺得我們的學生大多依賴于教科書上的標準解題方法，所缺乏的恰是這種對問題的創新性探索. 下面，我通過尺規作圖中過圓外一點作圓的切線這一簡單的教學案例來說明尺規作圖對學生創新力的重要作用.

一、教學案例反映尺規作圖的創新性價值

（一）案例一：過圓外一點作圓的切線

首先，我們來回顧一下尺規作圖的幾種基本方法：（1）作一條線段等于已知線段. （2）作一個角等于已知角.（3）作已知線段的垂直平分線.（4）作已知角的角平分線.（5）過一點作已知直線的垂線. 這幾種基本操作我們在下邊的論述中直接使用，不再做證明.

然后，我們來看一個尺規作圖問題：如圖1，已知圓外一點A，求作過該點A的圓的切線. 我們的方法是：首先，連接AO，作AO的垂直平分線交AO于D. 然后，以D點為圓心，DO為半徑作圓交已知圓于B，C兩點. 直線AB，AC即為所求.

在這里，我們用到的性質是：（1）圓的切線垂直于過切點的半徑. （2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 上面的解法中我們是反過來利用了這兩個性質. 但是這里并沒有體現出尺規作圖對學生創新性的影響，因為在我們的教學中，幾乎所有的老師都止步于這里，只是簡單地告訴了學生這個問題應該這樣解決，沒有去誘導學生自主地想方法去解決這個問題.

（二）案例二：一道課后證明題

如圖2，已知兩個同心圓，大圓和小圓半徑分別為R，r，分別過大圓上A，C兩點作小圓的一條切線交大圓于B，D兩點，切點分別為P，Q. 證明：AB = CD.

這個問題并不難證明，連接OP，OQ，OA，OC，由于OP = OQ = r，OA = OC = R，我們可以證明Rt△APO ≌ Rt△CQO（HL），因此可得AP = CQ；同理可得證△BPO ≌ △DQO，因此BP = DQ. 所以，AP + BP = CQ + DQ，即AB = CD，命題得證.

這道題目僅僅是一道簡單的證明題嗎？它和尺規作圖有什么關系呢？我們知道，尺規作圖所利用的基本方法就是我們所熟知的一些定理性質的逆應用，很少有人在做這道題目的時候會想到它和尺規作圖有關聯，但是有一名學生卻發現這個證明題反過來做的話，可以是過圓外一點作圓的切線這個尺規作圖問題的另一種作法.

（三）案例三：利用案例二的證明題解決案例一的尺規作圖問題

首先，以O為圓心，OA為半徑作一大圓；其次，在小圓上任意取一點S，過S點作OS的垂線交大圓于M，N兩點；然后以A點為圓心，MN的長度為半徑，作圓弧交大圓于P，Q兩點；最后，連接AP，AQ，此時直線AP，AQ即為所求.

這個例子中用到的方法就是圖2的證明題逆過來思考的. 這樣我們就會想，在平面幾何里尺規作圖這個模塊的教學中，我們是否可以鼓勵學生多去嘗試，在按教科書教他們做一個尺規作圖題目之前，讓他們先去用自己所學的知識解決問題，或者鼓勵他們用多種方法去解決一個尺規作圖題目，這樣有利于他們把自己所學的知識或者所做的題目和尺規作圖題目有機地結合起來，對學生的解題能力和創新性思維也是一種提升.

二、尺規作圖對提高學生創新力的重要作用

通過前邊的幾個教學案例，尺規作圖對提高學生創新力的重要作用主要表現在：一是尺規作圖強調的是圖形的運動和變換，有利于培養學生的空間想象力；二是尺規作圖是學生實際操作的過程，不僅鍛煉學生的思維，而且對其動手能力也有很大的幫助；三是這種從定理性質或是證明題結論出發來解決尺規作圖的方法，對學生的逆向思維的培養有很重要的作用；四是尺規作圖還是我們教學工作中一些問題解決不可或缺的工具，比如怎樣證明“邊邊角”不能作為證明全等三角形的依據，我們用尺規作圖可以直觀清晰地給學生以展示. 然而，在《九年義務教育數學課程標準》中，尺規作圖被很大地削弱了，并且對學生在這方面的要求也有所降低. 對于我們教學工作者而言，我們要重視其教學意義，不僅因為其歷史悠久，是數學思維的瑰寶，可以促進人們對問題直觀清晰地認識，而且更多的是其這種對學生創新性思維的啟發.

三、結束語

尺規作圖是平面幾何極其重要的一部分，是數學美的一種直觀形式表現，是我們教學工作中對學生創新性思維啟發的一重要工具，它不僅對古人數學思想的發展有不可磨滅的推進作用，而且對當代學生數學思維的啟迪有極大的影響. 在教學工作中，我們要利用好這一重要的特點，不斷地啟發學生在解決尺規作圖問題中增強創新力，為培養出更優秀的學生，更有數學創新能力的驕子而不斷努力！

【參考文獻】

[1]向坤.從尺規作圖看古希臘數學觀及其對教育的啟示[J].數學教育學報，2013（22）.

[2]劉芳.對尺規作圖教學的三個思考[J].中國數學雜志，2009（10）.