小議數(shù)學(xué)概念教學(xué)的層次分析

劉波

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容，也是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識之一，是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件。在概念教學(xué)中，教師要講究教學(xué)方法，新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)較注重概念的形成過程，多啟發(fā)學(xué)生，多培養(yǎng)學(xué)生的主動性與創(chuàng)造性；同時要幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)；階段；數(shù)學(xué)思維；層次分析

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0153

概念是客觀事物本質(zhì)屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強概念的教學(xué)，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，搞清概念是提高解題能力的關(guān)鍵。在新一輪課改理念的引領(lǐng)下，結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，就數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有關(guān)問題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的層次分析

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行。通常分為以下幾個步驟：1. 揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；2. 對概念的進行特殊分類，揭示概念的外延；3. 鞏固概念，利用概念解決的定義進行簡單的識別活動；4. 概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其他概念間的聯(lián)系。

這種教學(xué)過程簡明，使學(xué)生可以比較直接地學(xué)習概念，節(jié)省時間，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念是遠遠不夠的。數(shù)學(xué)概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動建構(gòu)的教育原理。

美國教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”就數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)要經(jīng)過四個階段：1. 活動階段。2. 探究階段。3. 對象階段。4. 圖式階段。

以上四個階段反映了學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)概念過程中真實的思維活動。其中的“活動“階段是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過”活動“讓學(xué)生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關(guān)系：”探究“階段是學(xué)生對”活動“進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)：”對象“階段是通過前面的抽象認識到了概念本質(zhì)，對其進行”壓縮“并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中的具體的對象，在以后的學(xué)習中以此為對象進行新的活動：”圖式“的形成是要經(jīng)過長期的學(xué)習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。

二、新課改理念下的概念與法則的教學(xué)案例

1. 代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學(xué)生學(xué)習代數(shù)過程中的難點，有很多學(xué)生學(xué)過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進行運算。認識這一點，需要有以下四個層次：

（1）通過操作活動，理解具體的代數(shù)式

問題一：讓學(xué)生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

通過以上兩個問題，讓學(xué)生初步體會“同類意義”的數(shù)表示的各種關(guān)系。

（2）探究階段，體驗代數(shù)式中過程

針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學(xué)生討論探究：

①問題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系？

②把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義？（需經(jīng)反復(fù)體驗、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運算關(guān)系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，可設(shè)計下題讓學(xué)生進一步體會代數(shù)式的特征：每包書有12冊，n包書有 冊；溫度由t℃下降2℃后是 ℃；一個正方形的邊長是x，那么它的面積是 ；如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費（每立方米b元），共花去 元錢？

（3）對象階段，對代數(shù)式的形式化表述

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項、因式分解及解方程等運算。學(xué)生在進行運算中就意識到運算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運算結(jié)構(gòu)關(guān)系，而不只是運算過程。這一階段，學(xué)生必須理解字母的意義，識別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式

通過以上三個階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實例、運算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義，并能加以運用有理數(shù)加法法則：

①運算操作：計算一個足球隊在一場足球比賽時的勝負可能結(jié)果的各種不同情形：

（+3）+（+2）——+5 （-2）+（-1）——-3

（+3）+（-2）——+1 （-3）+（+2）——-1

（+3）+0——+3 ……

（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分數(shù)）。

②探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結(jié)果對照總結(jié)規(guī)律，理解運算意義。

③形成對象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：有理數(shù)+有理數(shù)=①符號②數(shù)值這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運算律進行任意的有理數(shù)和的運算和代數(shù)式求值的運算等。

④形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學(xué)生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實例、有抽象的操作過程、有完整的運算律和形成的模式。而且通過以后的學(xué)習獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習方式的對比分析

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下學(xué)生的學(xué)習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立靠教師代替快體驗、快抽象。反映出的情況有：

1. 過快的抽象過程使得只能有一少部分學(xué)生進行有意義的學(xué)習，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。例如學(xué)生學(xué)習有理數(shù)運算很長時間，還經(jīng)常出現(xiàn)符號運算錯誤，這就是學(xué)生對有理數(shù)運算沒有理解而造成的。

2. 由教師代替學(xué)生快體驗、快抽象出數(shù)學(xué)概念，即使是能跟隨教師進行有意義學(xué)習的學(xué)生其學(xué)習活動也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。例如學(xué)生學(xué)習了代數(shù)式的概念，經(jīng)常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等錯誤，這是因為學(xué)生沒有進行必要的“活動”，使“探究”的體驗不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)（x+2）2=1=x2+4x+4=1=……等錯誤，說明學(xué)生還停留于運算過程層面，對方程對象的結(jié)構(gòu)特征不理解。

3. 學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達到這一層面。例如，為什么要學(xué)習解方程？解方程的本質(zhì)是什么？

四、新課改理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是由學(xué)生活動、探究到對象、圖式的學(xué)習過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識形成的規(guī)律性。為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐對數(shù)學(xué)概念教學(xué)采取以下策略：

1. 教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動中

為了使學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識，首先要設(shè)計學(xué)生的學(xué)習活動。這需要教師創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計時要注意以下幾個方面：（1）能揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實背景和形成過程；（2）適合學(xué)生的學(xué)習水平，使學(xué)習活動能順利展開；（3）適當數(shù)量的問題，使學(xué)生有充足活動體驗；（4）注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學(xué)生的學(xué)習興趣。

2. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法是知識產(chǎn)生的靈魂，把握數(shù)學(xué)知識形成中的數(shù)學(xué)思維方法，是學(xué)生展開思維、建構(gòu)概念的主線。學(xué)生學(xué)習中要給予提示、建議并在總結(jié)中歸納。另外，要設(shè)計能引起學(xué)生反思的提問，如“你的結(jié)果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學(xué)生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。

3. 數(shù)學(xué)對象的建立需經(jīng)多次反復(fù)

一個數(shù)學(xué)概念由“探究”到“對象”的建立，有時既困難又漫長（如函數(shù)概念）。“探究”到“對象”的壓縮、抽象需要經(jīng)過多次反復(fù)，循序漸進，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解。“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。加強知識間的聯(lián)系和應(yīng)用，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。

綜上所述，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)努力通過揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀念，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。我們只要遵循認識規(guī)律，注意概念教學(xué)的研究與實踐，就不難提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市回民中學(xué) 014040）