“函數的連續性與間斷性”“支架式”教學模式的應用研究

何娟娟

【摘要】 “支架式”的教學方法有別于傳統灌輸型的教學方法，它的特點是教師要引導學生積極探索，為了讓學生擁有探索方向、減少學生的探索困難，教師要由低至高，一級一級的搭好支架，以這種方式學習，學生在登上該知識的頂峰時，就能對這類知識有非常詳盡的了解.只要合理地應用這種方法，教師就能達到自己的知識目標、能力目標、情感目標.本文闡述了“支架式”教學模式的概念以及教學方法的使用意義、“支架式”教學模式在“函數的連續性與間斷性”的運用以及教學方法應用的流程、教學方法應用的要點.

【關鍵詞】 支架式教學；函數；連續性；間斷性；應用

一、“支架式”教學模式的概念以及教學方法使用的意義

在傳統的教學方法中，數學教師以灌輸式的教學方法讓學生學習數學，教師直接告訴學生數學概念、數學公式、公式應用等，學生在學習時貌似聽懂了，但是實際應用時發現自己根本不知識該用什么公式，或者應用公式時不會舉一反三.就以一個腳手架作比方，現在學生在一棟樓的底下，教師用一根繩把學生直接吊到樓頂上去，學生省略了爬每棟樓的過程，所以他們對這棟樓的了解只有一知半解，不能了解這棟樓的全貌.而所謂的“支架式”教學法，實際上是教師為學生搭好上樓的樓梯，學生一邊爬樓一邊探索自己想要了解的風景，等到學生爬到樓頂時，就會對這棟樓有比較全面的了解.這種引導學生探索的教學方法能提高數學教師的教學效率.

二、“支架式”教學模式的概念以及教學方法應用的流程

現以“函數的連續性與間斷性”教學流程來說明“支架式”教學方法：

教師要引導學生用“支架”的方式完成學習，就要先設計好教學目標，教師了解自己的教學目標后，在教學時才會知道應該如何搭階梯引導學生學習.“函數的連續性與間斷性”教學的目標包含知識目標、素質目標、情感目標.

知識目標：教師要讓學生理解“函數的連續性與間斷性”概念，能對函數的間斷點進行分類，能靈活應用函數的連續性與間斷性對函數進行分析.

素質目標：在教學中，教師要讓學生用化歸思想解決數學問題，用建模思想完善自己的知識系統，用寬廣的思路應用函數的問題.

情感目標：用“支架式”的教學方法讓學生對探索知識更感興趣.

1.“支架式”教學模式的課堂導入

“支架式”的教學方法是一種引導學生探索的教學方法，它要求教師在讓學生探索知識以前引導學生一個方向，學生只要結合以前學過的舊知識就能探索出需要了解的新知識.這種導入方法即為“支架式”教學模式.

比如，教師引導學生學習“函數的連續性與間斷性”知識時，讓學生解釋一首詩歌：“少小離家老大回，鄉音未改鬢毛衰.兒童相見不相識，笑問客從何處來.”教師讓學生解釋這首詩的意思，學生說，這是一個人很久沒有回到家鄉，等到有一天回去以后發現自己已經不是原來的自己，家鄉的孩童都把自己當客人.教師引導學生思考他的容貌是一天改變的嗎？學生回答不是.教師說，如果是他身邊朝夕相處的人會怎么看待他呢？學生回想到身邊的人、事、物，回答教師說如果是身邊朝夕相處的人不會感受到他有變化，但是有一天，發現他頭發也白了，胡子也白了的時候，會感慨說，我們都老了.教師說，那么他是那一天變老的，以前從來沒有變老嗎？學生回答說他每天都在變老，但是他的變化太微小，他身邊的人沒有察覺，只有看到他身上發生質的變化時才真正感覺到他變老了.教師引導學生開始觀察“函數的間斷性與連續性”.

從以上“支架式”教學應用中可以看到如果教師直接給學生講解“函數的連續性與間斷性”知識，學生可能不理解自己到底要學習什么，也可能會因為覺得新知識太復雜而對知識的學習不感興趣.教師應用以前學生學過的詩歌讓學生思考，這既給學生定義一個學習框架，同時也讓學生有思考的方向，學生會減少探索的難度.

2.“支架式”教學模式的課堂引導

（1）概念的引導

教師引導學生寫出以下描述的公式，并畫出坐標關系圖：

設函數y=f（x）在點x0的某一個領域內有定義，當自 變量x由x0變到x0+Δx時，函數y則由f（x0）變為f（x0+Δx）.

圖1函數關系表達式 學生畫出關系表達式，通看圖1，并 求出函數y的變化為Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

教師引導學生觀察這個函數的規律，要求學生用數學語言描述這個函數的規律，學生結合過去學習的舊知識得到結論：

設變量u由初值u1變化到終值u2，它的終值與初值之差為u2-u1，即Δu=u2-u1.教師引導學生繼續思考，舉出滿足這個規律的函數例子.學生發現這種關系以鏡像的方式也同樣成立，Δu可為正也可為負，當Δu>0時，u的變化是增大的，反之，Δu<0時，u的變化是減小的.教師引導學生理解滿足該函數關系的即為函數的增量.

教師引導學生思考這個函數的變化特征，學生認為這個函數每個數值變化都很微小，可是它一直在變化，同時，函數變化的每個數值都滿足函數表達式的關系.教師引導學生理解到這就是函數的連續性.

在這段教學中，教師用學生以前學過的舊知識開始學習新知識，這是教師為學生搭的階梯，學生跳上階梯后，觀察新知識的特點，通過學生自己的觀察和探索，他們自己總結出新知識的規律，得到數學概念.由于這個知識的形成是學生自己探索得到的，所以學生能對概念有很深的理解.

在學生掌握了概念以后，就要讓學生掌握與知識相關的定理，教師可以繼續以搭階梯的方式，讓學生完成函數描述以后，自己畫出函數的關系圖，自己總結每個函數描述式的必然規律.經過這樣的引導，學生能完成函數增量的定理學習.

（2）規律的引導

學生完成概念的學習后，教師要引導學生觀察函數變化的規律，在這個過程中，教師可以培養學生的多種能力.

比如以上的教學過程，教師引導學生學習完定理后，可以給學生一個例子，讓學生觀察這個函數的特征：

函數y= x2-1 x-1 在點y=1沒有意義，然而lim x→1 x2-1 x-1 =lim x→1 （x+1）=2，畫出它的函數關系圖.學生畫出該函數關系表達式為圖2，教師引導學生觀看該函數與以上的連續性函數有什么區別？學生發現該函數不是每個表達式都滿足同一個函數關系，教師引導學生理解這就是函數的間斷性.教師引導學生繼續思考除了圖2這種間斷性的關系以外，它們還可能存在哪種間斷性的關系？有些發散性思維很強的學生畫出圖3、圖4、圖5四種關系圖.教師引導學生用函數公式描述出四種關系.

圖2 圖3

圖4 圖5

函數間斷性分類圖

教師引導學生以上面的圖形為基礎，思考以上四種間斷性函數有什么共同的特征，學生總結到：

f（x）在一個區域范圍內有定義，然而在另一個區域范圍內沒有定義或者不存在lim x→x0 f（x）≠f（x0），造成函數不連貫，教師引導學生理解這就是函數的間斷性.

教師引導學生用直觀的方法描述間斷性函數的特征，學生總結的結果如下：

教師在引導學生理解連續性函數后，開始引導學生觀察間斷性函數，這種引導學生一層一層探索的方法就是“支架式”的教學方式.由于學生已經有前面的知識為基礎，且有一定的數形結合基礎，這就是學生繼續學習的階梯，教師要引導學生根據前面學習的知識來繼續探索間斷性函數的概念并引導學生用發散性的思維方式探索，引導學生用化歸的方式探索，在這個探索過程中，學生不僅能學習到需要學習的知識，還能培養思維能力.

（3）應用的引導

教師在引導學生了解所有的概念和定理后，要通過應用了解學生對知識掌握的情況，如果學生的知識結構有缺陷，教師需要引導學生完善前面的知識.

在教師引導學生理解了增量、連續性函數與間斷性函數后，教師要引導學生學習函數極限的知識.該知識是前面知識的綜合應用，教師可以從較容易的習題，讓學生由淺入深地探索并思考.

習題1：下列函數在哪些點處間斷？說明這些間斷點的類型，如果間斷點可去，那么補充定義使它連續.

（1）y= 1[]（x+2）2 ； （2）y=（1+x） 1[]x （3）y=sin 1[]x ；（4）y= sinx[]|x| .

只要學生真正理解了前面的知識，學生就能解出該習題.這就是學習繼續向上學習的支架，教師可以通過做習題引導學生理解極限的知識，并引導學生思考哪些間斷性函數的間斷點需要分左極限與右極限，哪些函數不必分.

教師通過學生做習題，讓學生在理解前面知識的基礎上更深入理解“函數的連續性與間斷性”知識，使學生的知識結構更完整.

3.“支架式”教學模式的課后作業

教師引導學生做作業，是為了引導學生利用課余時間進一步探索數學知識，讓學生自覺地完善自己的知識結構.要讓學生愿意自主地學習，教師要用生活化的思路引導學生做作業，學生只有了解到自己學習的知識與生活息息相關，他們才會愿意自主學習知識；要用精簡的思路引導學生做習題，如果教師布置作業像書山題海那樣，學生會覺得做作業太耽誤他們的時間從而喪失自主學習的興趣.教師布置少而精的習題，該題具有代表性，學生才會有研究興趣.布置作業要注意層次化，讓每名學生都能針對自己的層次有研究機會.

習題2：以函數的方式描述30天中氣溫的變化，描述該函數的增量與連續性.

習題3：設函數為f（x）= arctan 1 x x≠00 x=0 ，討論函數f（x）在x=0時的連續性.

學生只要能了解函數的連續性與間斷性的概念，就能很輕易的做出第一道題，在課堂中學到的知識是該題的支架；第二道題涉及函數連續性、間斷性、極限的討論，它具有一定的綜合性，學生真正掌握了課堂中學過的知識才能探索這一題中包含的知識.教師通過給學生布置合理的作業，能讓學生在課后繼續探索數學知識，培養學生對數學知識的興趣.如果學生能喜歡數學，教師的教學效率會提高.

三、“支架式”教學模式的概念以及教學方法應用的要點

1.提高學生的學習興趣

“支架式”教學方法是引導學生探索數學知識的一種方法，學生只有對學習抱有興趣，他們才會愿意自覺地探索，否則他們不會愿意自主學習.

2.先易后難的教學思路

“支架式”教學方法是由教師先給學生搭好一個爬梯的知識，學生踏上云后就能看到知識的新天地，在這個過程中，教師要緊密地結合學生過往學過的舊知識，讓學生能夠通過舊知識來理解學習新的知識，先易后難的教學思路能讓學生愿意主動學習.如果教師直接讓學生思考過于困難的問題，這等于教師憑空抽掉了讓學生向上攀登的階梯，學生就不會愿意自主學習.

3.分層引導的教學方法

“支架式”教學方法中，教師要讓學生有探索的空間，讓學生在探索中最大限度地展現自己的才化.比如以上的課堂教學中，教師讓學生用發散性的方式思考、用化歸的方式思考等，擁有不同特長的學生都有機會展現自己的能力，學生就會有學習的自主性.如果教師不給學生探索的機會，而要求學生一定要按自己的思路學習，學生會覺得自己是被動學習，他們就不會有探索的興趣.

“支架式”教學方法有別于傳統灌輸型的教學方法，它的特點是教師要引導學生積極地探索，為了讓學生擁有探索方向、減少學生的探索困難，教師要由低至高，一級一級的搭好支架，以這種方式學習，學生在登上該知識的頂峰時，就能對這類知識有非常詳盡的了解.只要合理地應用這種方法，教師就能達到自己的知識目標、能力目標、情感目標.