三角函數中常見錯誤歸類探究

周芷凡

【摘要】 三角函數是三角學中非常重要的一部分，也是高中數學學習中非常重要的一個知識.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將三角函數中的常見錯誤歸為知識性、邏輯性和策略性錯誤三種，并對其舉例探究，最終嘗試總結出一些應對的策略，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

【關鍵詞】 三角函數；知識性錯誤；邏輯性錯誤；策略性錯誤；應對策略

三角學起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經》中也有關于我國最早的三角測量的記載.三角函數是三角學中非常基礎的、非常重要的一部分.在高中數學中，對三角函數的學習主要是三角函數的圖像和性質.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將把這些三角函數中常見的錯誤歸類出來，加以詳細的探究，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規律而產生的錯誤.邏輯思維的規律，即邏輯規律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環論證和不等價變換這三種.

（一）循環論證

論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.

例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，∴a=3.

致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當a<-1時，由ymin=f（-1）=3，得a= -3- 17 2 ；

（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現主觀臆斷

主觀臆斷其實一般都是由我們心理上的誤區引起的.有時候我們雖然掌握了所有的知識點和答題技巧，但是這 樣的心理誤區對我們產生的影響卻往往是致命的.所以要消除主觀臆斷這種策略上的錯誤，我們首先要消除的就是這種心理上的障礙.

四、對應策略

上述總結的問題都是我們在進行三角函數的學習和解題過程中，容易出現的錯誤，因而這些錯誤往往都是具有可借鑒意義的.