基于APOS理論下的中職數學概念教學策略探析

申海濱

【摘要】概念是認識的起點，是思維的基本單位.數學概念教學是數學教學的重要內容.掌握數學知識的前提是正確地理解數學概念.學習數學概念的過程其實是學生自我建構的過程.APOS理論認為學生概念學習的自我建構階段就是活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段.本文從APOS理論四階段出發，結合教學實踐，探索中職概念教學.

【關鍵詞】數學概念；數學教學；APOS理論

概念是對客觀事物的本質特征的認識，每個概念都有內涵和外延，形成的心理過程大致可分為以下幾個步驟：識別不同事例，從同類事件中抽出共性，將這種共性與記憶中的觀念相聯系，同已知的其他概念分化，將本質屬性一般化，下定義.概念的形成實質上可以概括為兩個階段：從完整的表象升華為抽象的規定，使抽象的規定在思維形成中導致具體的再現.而“數學概念”則反映了思考對象空間形式和數量關系本質屬性的思維方式.所謂“本質屬性”就是指構成某種事物的基本特征，這種屬性只為這類事物所具有，它是一種事物區別于另一種事物的基本依據.《中學數學教學大綱》明確指出：“正確理解和掌握數學概念是學好數學基礎知識、掌握基本技能和培養基本方法的前提.”在中職的課堂教學中，常有一部分學生對數學學習缺乏興趣甚至心懷恐懼，這部分同學在課堂上的有效參與度不高，數學基礎普遍較差，尤其是在概念的理解和應用方面.在數學教學過程中，數學概念之所以有如此重要的地位，原因在于學生在分析題目、理解和解決問題的過程中發揮的重要指導性作用，因此，數學概念的教學，是整個數學教學的重要內容.正確理解數學概念是運用數學知識的前提，可見概念的重要性.

一、中職概念教學現狀及原因分析

從數學概念學習的心理過程分析來看，影響數學概念學習的心理因素主要有：（1）原有的認知結構；（2）感性材料和感性經驗；（3）抽象概括能力；（4）語言表達能力.研究表明，優生與中下生在（1）（3）兩點的差距較為明顯，而在（2）（4）兩點則區別不大.究竟怎樣才能有效提高中下生對數學概念的學習水平呢？筆者認為：“以學生現有的思維發展水平為依據進行教學”，采用符合中下生認知水平的概念教學方法和策略，優化教與學的環節，將有效提高概念教學的水平.因此，更多地通過感性材料和感性經驗來組織概念教學，遵循學生的認知規律，化難為易，逐步培養中下生的抽象概括能力和語言表達能力，有效促進概念的自主建構.

一方面是學習方法不適應數學的學習.數學具有高度抽象性和形式化的特點——數學中的形式化，就是用特定的數學語言，包括數學的符號語言、圖像語言和文字語言表達自然現象和社會現象的空間結構和數量關系.數學的表達方式大多是形式化的思想材料，這通常導致這些學生對概念學習產生障礙.另一方面是教師不太注重傳授概念學習的策略，相關的策略訓練就更少.一些教師照搬照抄，方法簡單，在教學中憑經驗備課，對概念的背景、內涵和外延沒有引起足夠的重視，很多數學概念教師往往一帶而過或直接要求學生記住結論，然后通過解題來理解概念，題海戰術是理解概念的常法，讓學生在練習中去領悟概念.“只重結果不重過程”，學生學到的概念是機械的、零碎的，不利于知識遷移形成能力，更不用說掌握其中的數學思想方法.這種讓學生背概念、背題目、背結論的做法，其惡果讓學生徹底對數學反感，最終放棄數學.

二、APOS理論溯源

APOS理論是針對于數學概念學習過程研究的一種建構注意的學習理論，該理論是美國數學教育家杜賓斯基在數學的實踐中提出的一種觀念理論模式.該理論認為：學生學習數學概念的過程其實是一種自我心理建構的過程，在這個過程中學生只有調整自己的認知結構或改造外部的認知結構，使得主客觀彼此一致，才能建構起新的認知結構.一般來說，這一建構過程要經歷四個階段：活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme）.取這四個階段英文單詞的首個字母，故命名為“APOS理論”，“APOS理論”的科學性和實用性為數學概念教學提供了有力的理論支持.APOS理論對特定的數學概念學習過程作出了切實分析，它解釋數學學習心理活動的核心概念和概念框架，揭示了數學概念學習的本質.APOS理論的四個階段反映了學習數學概念過程中的思維過程，體現了數學概念形成的規律性，為教師如何進行數學概念教學提供了一種具體而實用的教學策略.

三、APOS理論下的概念教學策略

數學概念是數學知識的基礎，概念教學相當重要.只要遵循認知規律，就可以使學生理解抽象的概念，從而學生在輕松愉快的氛圍中獲得知識、掌握知識.所以概念的教學策略應注意以下幾個方面：

（一）注重概念的背景

在學習概念時，APOS理論強調學生首先需要處理的數學問題應具有現實生活情境，并認為概念的理解始于在情境中活動.因此，在概念教學時，教師應注意概念的情境，組織學生開展數學活動，通過活動，學生獲得概念的初步認識.

1.以“問題”的形式引入新概念

以“問題”的形式引入新概念是概念教學中常用的方法.一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現實生活情境問題引入數學概念；②從數學問題或理論本身的發展引入概念.

例如“函數的概念”的導入利用問題情境進行：①學校為了鼓勵學生多參加體育鍛煉，以便增強體質，購置一批運動器材.經詢問一個足球大概需要110元，列出需要足球個數x與應付錢數y的關系式；②要組建一支隊伍，要購置一批隊服，每件需要84元，且取貨需要路費20元，列出購買件數x與應付款數y之間的關系式.

這是一個“導入”材料，以“設問”的形式出現，主要作用是容易引起學生的注意，引發學生思考.創造生活情境，讓學生形成函數意識！

2.以直觀材料為基礎引入新概念

以日常生活中的事物或模型、圖形、圖表等直觀材料，引導學生觀察、分析、比較、歸納、概括去獲取概念.數學概念是從現實生活中抽象出來的，如集合、函數、二面角、異面直線等都是因實踐的需要而產生的，這類概念的直觀材料很多.

例如，學習“二面角”的概念時，可以讓學生辨認一些熟悉的實例，像翻蓋式的課桌、門板與門框、相鄰的兩面墻面、打開的電腦燈等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質屬性.翻蓋式課桌可以看成是兩個半平面，相鄰的墻面也可以看成兩個半平面，并且都有公共的棱.它們的共同屬性是：都可以抽象地看成從一條直線出發的兩個半平面，得到二面角的定義.

以直觀材料為基礎引入新概念，是用概念形成的方式進行教學，因此，在教學中，應選擇能充分顯示被引入概念的共同屬性的事例，引導學生觀察和分析，使學生從事例中概括出共同的本質屬性，形成概念.

3.從概念的發生過程引入新概念

有些概念是用發生式定義的，這類概念的教學可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發生過程.這種方法直觀形象，體現了運動的觀點，導入的過程自然地闡明了概念的客觀存在性.教師要根據概念產生的背景，選定最佳的引入路徑，讓學生盡快觸及概念的本質特點，體現概念建立過程的高效化，而不應為了追求形式上的新穎，模糊概念產生的背景，把簡單的問題復雜化，把清晰的問題混亂化.如，等差數列概念一直是學生學習代數過程中的難點，有很多學生學過后只能記住等差數列的形式特征，不能理解公差、首項的真正意義與關系.等差數列的本質在于按照一定的規律遞增或遞減.認識這一點，需要通過操作活動，理解具體的等差數列的意義.

4.以新、舊概念之間的關系引入新概念

大部分數學知識的連貫性是很強的，概念不是孤立產生或存在的，概念之間往往有著密切的聯系，特別是那些具有相似或相同關系的概念，我們可以根據新舊知識的連接點、相似點用類比法引入概念.這樣有利于學生在思維中將知識和技能從已知的概念遷移到未知的概念上來，有利于培養學生的探索能力.

例如，由“橢圓”的概念類比“雙曲線”的概念、拋物線的概念，并且把學過的二次曲線的概念做系統的歸納總結，形成知識鏈，同時，把這個系統比喻成家庭成員表利于加強學生對概念的掌握.

（二）注重概念的形成過程

APOS理論指出，學生是在“過程”中對“活動”進行抽象反省，得到概念的本質屬性.由此出發，在概念教學時，教師應當注重學生的分析探究，讓學生經歷概念的形成過程.教師應提出合理的問題來引導學生對“活動”進行反思，學生的思維活動朝著概念本質屬性的方向進行，初步形成概念.這樣學生獲得的不僅僅是概念，更重要的是經歷了抽象概括的思維過程.

1.抓住概念的重難點

概念的形成過程往往帶著許多無關特征，因此，教師應抓住重點引導學生.這樣學生便能把握概念的實質，盡量減少乃至消除不利因素的干擾.如“圓的標準方程”的公開課教學中，通過“剪圓—在直角坐標系貼圓—找圓心、半徑—寫出圓方程”的活動，讓學生經歷學習過程，體驗在“直角坐標系”中圓的標準方程這一概念形成成因.教師在聽取學生的意見后，因勢利導，概括出大家的意見，引導學生得出確定圓的標準方程的方法.

2.抓住概念的關鍵詞

數學中包含著大量的數學概念，而有些概念往往是由若干個詞或詞組組成的定義.這些數學語言表述精確，結構嚴謹，對這一類事物的本質屬性作了明確的闡述.我們在教學時就要“抓”住這些本質的東西不放，讓學生建立起正確的概念.如，在學習“首尾順次連接不共面的四點所構成的圖形，叫作空間四邊形”這一概念時，就應抓住“不共面”和“首尾順次連接”不放，用長短不同的一些木條，讓學生搭出空間四邊形，從而讓學生明確組成空間四邊形的兩個基本條件，加深對空間四邊形及性質的理解.

3.抓住概念間的內在聯系

對于有內在聯系的概念，要做好比較，加深學生對概念本質的理解.

例如，“一元二次不等式”的概念，是建立在“元”“次”“不等式”這三個概念基礎之上的.“元”表示未知數，“次”表示未知數的最高次數，次數是就整式而言的，“一元二次不等式”是在學習一元一次不等式基礎上的整式不等式的學習.這樣的學習方式在一元一次不等式中，學生已有類似的經歷，便于知識的遷移，同時有利于學生便于抓住“一元二次不等式”與“一元一次不等式”的關系.并為以后學習其他不等式的概念打下基礎.

4.抓住概念內涵與外延的揭示

概念的內涵和外延是概念的本質特征，是理解和把握概念的基礎.只有充分理解和把握概念的內涵和外延才能清楚、準確地界定某一概念，區分概念間的差異.因此，揭示概念的內涵與外延是概念教學中必不可少的.比如：在講授一元二次不等式時，其概念的內涵是“只含有一個未知數（x）且未知數的最高次數是二次的不等式”這個性質，其外延是一切形如一元二次不等式的全體.

（三）重視概念的對象化

APOS理論強調，數學概念只有在學習者頭腦中呈現出“過程—對象”一體化時，才算真正形成.這體現了概念形成實質上的兩個階段：從完整的表象中分離出抽象的規定，使抽象的規定在思維中具體地再現.在數學概念教學時，教師要幫助學生抽象出定義，還應考慮如何使數學概念轉化學生思維中的具體.學習數學概念的目的就是實踐.學生對概念的掌握是在頭腦中主動地進行思維.它能使已有知識再一次具體形象化，能使概念的理解更全面化、深刻化.數學家波利亞說過：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數學內容和過量題目，還不如適當地選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”這一思想與我國的變式教學相吻合.變式數學能提供一定的學習前景，能激發學生思考問題，指導學生對各種信息進行加工和轉換.學生進行歸納總結能發現各種變式的實質聯系.在解決變式的過程中，學生對概念、原理形成深刻的理解有利于建立良好地知識結構.因此，在概念的教學中運用變式鞏固強化概念，可以使學生從多角度認識概念，良好地實現知識的遷移，從而掌握概念的本質屬性.在數學概念的教學中，巧用變式，對于學生形成清晰的概念有明顯的促進作用，它有利于開發學生的思維，使學生透過現象看本質，可以使概念的本質屬性更加突出，達到化難為易的效果.同時也有利于激發學生學習興趣，調動學生的積極性、主動性.

如，函數概念表示的多樣性，一方面表現在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區間、不等式等不同形式來表示；另一方面表現在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數的概念來.認識學習函數概念一般有三個角度：用變量的依賴關系認識函數、用圖像認識函數、用對應關系認識函數.

（四）重視概念圖式的建構

APOS理論指出，數學的建構還要上升到“圖式階段”，即在知識的整體結構中深化概念的認識和理解.“圖式階段”是一個循序漸進的建構過程，首先是數學概念的結構，包括數學概念的抽象過程、定義、實例、形式化表示、子概念（如定義域、值域、對應法則）；在此基礎上，加強概念與其他概念的區別和聯系，建構起概念網絡.教師應加強引導學生在知識體系的整體中深化對概念的理解.

例如，在著名的建筑物或公園中代表性景點等實物中尋找幾何圖形，發現重要幾何特征和性質，通過學生動手繪制和測量這些幾何體中相關的量，老師帶領學生發現、運用公式進行練習，并在其中嘗試體驗數學在生活中的運用，認識它的優越性.這樣在學生頭腦中建立棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的心理表征、直觀的實例、概念形成過程、定義形式（抽象的）四者之間的聯系與區別.老師引導學生思考它們的聯系與區別，然后幫助學生建立合理的圖式，讓學生自主建構知識，幫助學生在頭腦中建立知識網絡.當然學生建構概念的圖式層面是學習的最高階段，在現有教學環境下很多學生難以達到這一層面.例如，為什么要學習二次函數？學習二次函數的本質是什么？

四、結束語

數學概念的教學是教師教學研究的一個重要課題.雖然數學概念種類繁多，但在APOS理論指導下，注重概念的背景、概念的形成，注重概念的對象化和圖式的建構，采用符合學生認知水平的概念教學方法和策略，優化教與學的環節，有效提高概念教學的水平，從而在數學知識與數學思想方法之間建立有機的結合，形成完整的系統.

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