初中數學教學如何引導學生克服思維定勢

鄧寶娟

摘 要：教學實踐表明，初中生在數學的學習中容易受思維定勢的消極影響，使學生墨守成規，難以涌出新思維，做出新決策，造成知識和經驗的負遷移，影響解題的效率。本文從巧用新舊比較、一題多解、一題多變、設計開放題等幾方面闡述了數學教學中教師如何引導學生克服思維定勢的消極影響，發展創新思維。

關鍵詞：思維定勢；初中數學教學；克服

“思維定勢”屬心理學概念，是人們從事某項心理活動的一種心理準備狀態，也是人們長期形成的一種習慣思維方向。具體來說，就是人們在長期的思維過程中所形成的一種思維條件反射（投影），或者說是一種固定的思維方式。一種方法的反復運用往往會形成方法定勢。例如：學生在學習了全等三角形的性質與判定后，凡是碰到要證明兩條線段相等或證明兩個角相等的證明題，都千篇一律地想到通過證明兩個三角形全等得到兩條線段相等或兩個角相等，腦子一時想不起證明兩條線段相等或兩個角相等的方法。再如：學生在學習了分式方程的解法以后，突然碰到分式化簡的題目就習慣性地對它去分母。那么怎樣才能引導學生突破思維定勢呢？筆者認為應從下面幾個方面去努力：

一、巧用新舊比較，同中求異，突破思維定勢

學生在學習數學知識的過程中，有許多數學概念、法則、公式等或者內容相近、相似，或者形式相近、相似，對于一些容易混淆的概念，通過比較可以了解它們之間的區別與聯系，使其本質特征更清晰。如在講解三角形的內切圓及內心的概念時，可引導學生與三角形的外接圓及外心進行比較，通過比較，使學生混淆這兩個概念的程度降到最低。又如：在完成了二次函數這一部分的教學后，可引導學生與以前學過的解方程、分解因式、解不等式進行比較，歸納它們的相同點和不同點，讓學生明確以下四題：（1）解方程x2+2x-3=0；（2）分解因式x2+2x-3；（3）解不等式x2+2x-3﹤0（初中階段只要求通過觀察拋物線y=x2+2x-3的圖象寫出不等式x2+2x-3﹤0的解集）；（4）求拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點坐標。這些題雖然涉及的知識點各異，表達形式不同，但歸根結底是一個解方程的問題，只要第一個問題解決了，其它問題就迎刃而解了。再如：在講解梯形的概念時，可要求學生比較梯形與平行四邊形兩種圖形的相同點和不同點。學生通過比較和總結不難得出，兩種圖形的相同點是它們都是四邊形，都至少有一組對邊平行；不同點是平行四邊形的兩組對邊分別都平行，而梯形只有一組對邊平行，另一組對邊不平行。通過比較這兩個概念的異同點，學生很容易抓住它們的本質屬性，促進對概念的理解和記憶。教師要引導學生認識到梯形是一個組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質，而是通過圖形分解，轉化為平行四邊形和三角形來解決問題的。學生如果明確了這一點，那么碰到有關梯形的問題也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對于如何添加輔助線將梯形轉化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。

二、巧用一題多解，多向思考，突破思維定勢

教學實踐表明，克服消極的心態定勢，要從改變學生解題思維的常態入手，打破不同的解題方法之間的壁壘，找到它們之間的聯系，并且在使用中要啟發學生關注這些聯系。關注一些數學一題多解是培養發散思維的很好形式，有利于知識的建立和認識上的飛躍，同時也可擴展學生獨立學習的自由度，為提高解題能力創造有利的條件。靈活的思維方式與創造性思維是密切相關的，如果一個學生只會以一種固定的方式或教師教的方法去思考和處理問題，是無法產生創造力的。教師應該讓學生養成一種多角度思考問題的習慣和思維方法，不能拘泥于一個角度、一種模式，以免造成學生思路方法單一，思維僵化。在平時教學中應鼓勵學生解題從多角度、多方面去思考，不斷啟發學生的求異思維。讓學生在求異思維中生“慧眼”，透過重重“迷霧”洞察一切，以探求更巧妙的解題方法。例如，教學下面的例1、例2時，可引導學生從經歷探究不同的解題思路過程中，篩選出最優的解題方法。

例1：一條拋物線y=ax2+bx+c經過（-1，0）與（3，0），最高點縱坐標是4，求這條拋物線的解析式。

分析：本題按常規解法，先把（-1，0）（3，0）兩點坐標代入y=ax2+bx+c，再根據頂點坐標公式，得到方程組，求出a，b，c，進而求出拋物線的解析式，但解方程組難度較大。也可用拋物線的頂點式，設拋物線解析式為y=a（x-h）2+4，再把（-1，0），（3，0）兩點坐標代入，轉化為解方程組，解方程組求a、h也很困難。現考慮拋物線的對稱性，（-1，0）與（3，0）恰好是拋物線與x軸的兩個交點，則拋物線對稱軸是直線x=1，則拋物線頂點是（1，4），設拋物線為y=a（x-1）2+4，將點（-1，0）坐標代入很容易求出a，進而求出拋物線解析式。這是可以根據題目特點，鼓勵學生另避途徑來間接地達到目的。經過這樣的訓練，學生的創造性思維將得到不斷提高和拓展。

例2：已知a，b滿足ab=1，那么■+■= .

方法一：特值法，將a=1，b=1代入所求式子得■+■=■+■=1

方法二：將a=■代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法三：將1=ab代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法四：通分得■+■=■+■

=■+■

=■+■

=■

=1

方法五：■+■=■+■=■+■=■=1

引導學生對比以上五種解法，可看出方法一是最簡單的。

三、巧用一題多變，多題歸一，突破思維定勢

“數學是題的海洋”，教師不能要求學生做遍所有的數學題，這是不可能的。對學生進行一題多變的訓練，是鞏固基礎知識、培養能力的一種重要手段，同時對培養學生思維的深刻性和廣闊性是非常重要的。在平時的教學中，教師可以引導學生通過很多途徑對課本的例、習題進行變式，如：改變條件、改變結論、改變數據或圖形，條件引申或結論拓展，條件開放或結論開放或條件、結論同時開放等。通過一題多變、多題歸一的訓練，可以把各個階段所學的知識、知識的各個方面緊密聯系起來，加深對知識的理解，認識和體會數學是一個整體，但更重要的是可以達到解一道題懂一類題的目的，更能激發學生的學習興趣、創新意識和探索精神，培養他們的創新能力，學會學習。

下面的例3可作如下的變式讓學生練習。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

■

變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

■

四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學作為一種新的教學形式，能夠調動學生學習的主動性，拓展學生的思維空間，有利于培養學生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學生應用數學的能力。經常設計開放性的題目讓學生訓練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創造性和批判性；能引起學生認知結構上的順應，從而使學生認知結構發生質的變化，使他們的知識水平和數學能力得到較大程度的提高；能激發學生學習數學的興趣，使學生樂于參與，久而久之就會成為學生主動學習的動力；對于訓練或考查學生的發展思維進而培養創新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學時，筆者不直接把概念給學生，也沒有讓學生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學生依照一元二次方程這個名稱，自己設計一個概念，并舉例加以說明，結果學生剛開始設計出的概念多數類似于“含有一個個未知數且未知數的次數是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導九年級學生中考前復習函數這部分內容時可設計下面的例4讓學生訓練，在復習平行四邊形的性質與判定這部分內容時可設計下面的例5讓學生訓練。

例4：已知函數的圖象經過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數解析式的類型末知，因此所求的函數可能為直線、雙曲線、拋物線等，結論不確定，是一道結論開放題，此題既考查數學基本方法——待定系數法，又能訓練學生思維的邏輯性和嚴密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結論，目的在于考查學生對平行四邊形判定的理解和應用，要求學生深入認識題中的內在聯系，選出能得出結論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學生對所學數學知識的系統掌握，初步養成了學生解題時認真分析問題、仔細審題的習慣。在平時的教學中教師也將例題、習題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業時適時給出一定的開放題，讓學生有足夠的時間和空間去思考，以培養學生的發散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數學競賽培優舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的變式讓學生練習。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

■

變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

■

四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學作為一種新的教學形式，能夠調動學生學習的主動性，拓展學生的思維空間，有利于培養學生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學生應用數學的能力。經常設計開放性的題目讓學生訓練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創造性和批判性；能引起學生認知結構上的順應，從而使學生認知結構發生質的變化，使他們的知識水平和數學能力得到較大程度的提高；能激發學生學習數學的興趣，使學生樂于參與，久而久之就會成為學生主動學習的動力；對于訓練或考查學生的發展思維進而培養創新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學時，筆者不直接把概念給學生，也沒有讓學生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學生依照一元二次方程這個名稱，自己設計一個概念，并舉例加以說明，結果學生剛開始設計出的概念多數類似于“含有一個個未知數且未知數的次數是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導九年級學生中考前復習函數這部分內容時可設計下面的例4讓學生訓練，在復習平行四邊形的性質與判定這部分內容時可設計下面的例5讓學生訓練。

例4：已知函數的圖象經過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數解析式的類型末知，因此所求的函數可能為直線、雙曲線、拋物線等，結論不確定，是一道結論開放題，此題既考查數學基本方法——待定系數法，又能訓練學生思維的邏輯性和嚴密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結論，目的在于考查學生對平行四邊形判定的理解和應用，要求學生深入認識題中的內在聯系，選出能得出結論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學生對所學數學知識的系統掌握，初步養成了學生解題時認真分析問題、仔細審題的習慣。在平時的教學中教師也將例題、習題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業時適時給出一定的開放題，讓學生有足夠的時間和空間去思考，以培養學生的發散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數學競賽培優舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的變式讓學生練習。

例3：如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點F、E分別在AB、CD的延長線上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。

變式1：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，△ADE是等邊三角形。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式2：如圖3，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OA=OC。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

■

變式3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點F、E分別是AB、CD的延長線上的一點，且OF=OE。

求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變式4：如圖5，在平行四邊形ABCD中，分別在一組對邊AD、CB的外側做兩個等邊三角形△ADE和△CBF。

求證：四邊形AFCE、BEDF是平行四邊形。

■

四、巧用開放題，舉一反三，突破思維能力定勢

開放題教學作為一種新的教學形式，能夠調動學生學習的主動性，拓展學生的思維空間，有利于培養學生的表述能力和批判、評價能力，有利于提高學生應用數學的能力。經常設計開放性的題目讓學生訓練，也是突破思維定勢的一種很好形式，由于開放性問題的結論不確定（或不惟一），或條件不完備，或者推理不確定的，需由解答者依題進行探索，確定結論或者補充條件或選擇不同的解題策略后再解題。這類題目有助于培養學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、縝密性、創造性和批判性；能引起學生認知結構上的順應，從而使學生認知結構發生質的變化，使他們的知識水平和數學能力得到較大程度的提高；能激發學生學習數學的興趣，使學生樂于參與，久而久之就會成為學生主動學習的動力；對于訓練或考查學生的發展思維進而培養創新能力是十分有利的，因此在近年來的各類試題中越來越受到重視。

例如：實施“一元二次方程”教學時，筆者不直接把概念給學生，也沒有讓學生觀察一個一元二次方程去歸納概念，而是讓學生依照一元二次方程這個名稱，自己設計一個概念，并舉例加以說明，結果學生剛開始設計出的概念多數類似于“含有一個個未知數且未知數的次數是二次的方程”，在通過不斷的舉例、討論和修改之后才逐漸接近書本上的概念。又如：在指導九年級學生中考前復習函數這部分內容時可設計下面的例4讓學生訓練，在復習平行四邊形的性質與判定這部分內容時可設計下面的例5讓學生訓練。

例4：已知函數的圖象經過（3，3）（1，-1）兩點，請你寫出滿足上述條件的函數解析式，并簡要說明解答過程。

分析：該題函數解析式的類型末知，因此所求的函數可能為直線、雙曲線、拋物線等，結論不確定，是一道結論開放題，此題既考查數學基本方法——待定系數法，又能訓練學生思維的邏輯性和嚴密性。

例5：已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，請你從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（）

A.3種 B.4種 C.5種 D.6種

分析：這是一道條件開放題，題目給出了部分條件及確定的結論，目的在于考查學生對平行四邊形判定的理解和應用，要求學生深入認識題中的內在聯系，選出能得出結論的兩個條件就能解決。

通過上述例題的實踐，促進了學生對所學數學知識的系統掌握，初步養成了學生解題時認真分析問題、仔細審題的習慣。在平時的教學中教師也將例題、習題改造為為開放性問題，也可在處理課外作業時適時給出一定的開放題，讓學生有足夠的時間和空間去思考，以培養學生的發散思維及獨立解決問題的能力。

參考文獻：

李紅霞，馬亞軍，等.初中數學競賽培優舉一反三[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.