談正余弦定理應用中常涉及的數學思想

霍元山

〔關鍵詞〕 數學教學；正弦定理；余弦定理；數學思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機地聯系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關系提供了重要的依據.在運用正余弦定理解題時，往往涉及許多數學思想.

一、 化歸與轉化思想

化歸與轉化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關系時經常用正弦定理、余弦定理進行邊角關系的轉化，進而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結論是三角形的邊角關系，很自然地我們就會聯想到用正余弦定理進行邊角關系的轉化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進行邊角之間的轉化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論.當已知三角形兩邊和其中一邊的對角時，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當B=60°，C=75°時，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當B=120°，C=15°時，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進行了分類討論.

三、 函數與方程的思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關系，再與已知條件聯立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

編輯：謝穎麗

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〔關鍵詞〕 數學教學；正弦定理；余弦定理；數學思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機地聯系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關系提供了重要的依據.在運用正余弦定理解題時，往往涉及許多數學思想.

一、 化歸與轉化思想

化歸與轉化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關系時經常用正弦定理、余弦定理進行邊角關系的轉化，進而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結論是三角形的邊角關系，很自然地我們就會聯想到用正余弦定理進行邊角關系的轉化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進行邊角之間的轉化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論.當已知三角形兩邊和其中一邊的對角時，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當B=60°，C=75°時，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當B=120°，C=15°時，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進行了分類討論.

三、 函數與方程的思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關系，再與已知條件聯立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

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〔關鍵詞〕 數學教學；正弦定理；余弦定理；數學思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機地聯系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關系提供了重要的依據.在運用正余弦定理解題時，往往涉及許多數學思想.

一、 化歸與轉化思想

化歸與轉化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關系時經常用正弦定理、余弦定理進行邊角關系的轉化，進而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結論是三角形的邊角關系，很自然地我們就會聯想到用正余弦定理進行邊角關系的轉化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進行邊角之間的轉化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論.當已知三角形兩邊和其中一邊的對角時，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當B=60°，C=75°時，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當B=120°，C=15°時，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進行了分類討論.

三、 函數與方程的思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關系，再與已知條件聯立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

編輯：謝穎麗

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