蘭德大學數學教學的啟示

鄧詠梅

【摘要】作者以訪學的親身經歷，介紹美國蘭德大學數學教學的課程設置和教學安排，從分層教學、教學內容、課堂教學、應用現代技術、考試和成績的評判等方面介紹蘭德大學的數學教學特點，并提出對國內教改的啟示。

【關鍵詞】課程設置 教學特點 教學改革

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11 -0039-03

2014年1月到7月，筆者在美國北卡羅來納州的蘭德大學（Lander University，LU）訪學，有幸與這所歷史悠久并廣受贊譽的美國南部公立大學近距離的接觸。作為一名高校數學教師，筆者特別關心這所百年老校如何進行數學教學，因此拜訪了LU的兩名數學教師：數學系系主任教授Andre M. Lubecke博士和在LU從教有16年之久的數學系副教授Josie Ryan博士，與她們面談、聽她們講課、參與她們的課外教學輔導，較為詳細地了解了LU的數學教學。

一、LU數學課的課程設置

“精通數學的人是一個解決問題的能手，將會走上一條事業成功之路”。和國內外大學一樣，LU十分重視數學教育，數學課是LU的全校性基礎課。LU的每門數學課都有數字代碼，如專為文科學生開設的math101、主要為商學院的學生開設的math123、以統計內容為主的math211等。代碼的第一個數字代表課程的等級，數字越大，等級越高，需要更多的前期知識。每個學生至少要修完（complete）兩門數學課才能畢業，非數學專業的學生一般會從math121、math123、math131和math211等課程中任選兩門。

我們從Ryan和Lubecke所教課程管窺蘭德大學的數學課程設置。Ryan所教課程有：Math101-數學縱覽、Math114微積分學前課、Math121-生命科學數學、Math125-離散數學介紹、Math131 -微分學、Math 132-積分學、Math134-抽象數學介紹、Math 231-微積分III、Math232 -多元微積分、Math308-線性代數、Math325-離散數學、Math431-分析I、Math432-復變分析、Math499-數學專業高級課程，每門課都有相應的教學對象、教學內容和教學形式。

Lubecke除了和Ryan一樣講授Math121、Math131、Math132外，還教Math123 -微積分及其應用、Math211 -統計方法介紹I、Math212 -統計方法介紹II、Math311 -數理統計、Math400 -數學專業高級課程。

從兩位老師所教課程可以看出，LU的數學課程設置與國內高校的數學課程設置基本相同，有簡單入門級的，也有提高級的，但每個級別比國內劃分更細，學生可以有更多的選擇。

二、LU數學課的教學安排

LU的數學老師對課程的教學安排有很大的自主性，對同一門數學課（課程代碼相同），學校只要求用相同的教材，而其余與教學相關的，如教學內容、重點、教學方式方法、考試形式等都由教師自己決定。在LU，兩位老師同時上同一門數學課，講授的重點、作業、平時測驗都可能不同，期末考試試題也最多可以有30%到40%相同。

我們以2014年春季學期Ryan講授的math232的教學大綱來看看LU數學課的教學安排。

教材：培生教育出版的2010版由科羅拉多大學的布里格斯·科克倫教授編寫的《微積分》，除附錄外共1080頁。math232的教學內容共三章：多元函數、多重積分和向量微積分。

課程說明：math232是math131、math132和math231的后續課程，是數學專業的學生必修課，其他專業的學生可以選修。修讀的先決條件是學過math231且成績在C以上。

教學目標：熟悉曲線和曲面方程、向量微積分；會求偏導數、梯度、切平面法向量；二重和三重積分的概念及計算；會運用積分求體積和表面積；會解決最大值問題；熟練掌握向量場、曲線積分和格林公式。

課程要求：課前預習，每堂課有書面作業或在線作業，平時有三次測驗，學期最后有期末考試。

實際教學安排。每周三課時，計劃15周共45次課，每次課1小時。除了課堂時間和每個班每周一次的答疑時間，Ryan還每周四下午5：30開始在學校餐廳現場辦公，學生和老師邊吃邊聊，涉及的主要內容是數學知識的答疑，期間還可以談論興趣愛好、規劃設計人生等。筆者參加過幾次這樣的交流，協助Ryan給學生答疑，同時練習了口語。象在國內一樣被學生需要，幫助學生解答疑惑，和學生成為了朋友，感覺非常好。

成績。平時作業占20%，每次測驗占20%，期末考試占20%，累積這幾項給出最終成績。最終成績為A（90-100），B（80-89），C（70-79），D（60-69），F（0-60）。

Ryan告訴我，老師對所教課程很大的自主性，但學院對教師也有一些規定，對數學老師的規定有：①期中時，教師必須告知學生其前半學期的成績得分，讓學生及時知道自己的學習情況。以此來激勵先進、鞭策后進，如果前半階段學得不太好，還可以于事有補。②老師不能取消課，如果確實有事，必須請人代課。③期末考試試卷必須由任課自己老師出題并評卷。

三、 LU數學教學特點

1、關于分層教學

LU沒有嚴格意義上的分層教學，如果決定修某門數學課，學生可以選老師，但同一課程沒有快班、慢班這一說。有一特例是，如果學生選修math121沒過，他又想拿math121的分數去提高GPA（Grade Point Average），學校為這些學生開設了特別的數學課math121s（special），math121s一周五課時，比一周三課時的math121講解得更慢，便于數學基礎差的學生學習。

實際上，我們僅從Ryan和Lubecke兩位數學老師所教課程來看，可供全校學生選擇的數學基礎課就有Math101、Math114、Math121、Math123、Math125、Math131、Math132、Math134、Math 211、Math212，十多門，其他數學老師可能還開設有別的數學基礎課，學生在十多門課中按照自己的興趣選擇兩門數學課，相較于國內大學生必選的數學老三篇：微積分、線性代數和概率論，LU的數學課程類型多種多樣，綜合課程與分科課程相結合，必修課程與選修課程相結合。學生選數學課的自由度更大，在實際上已經實施了分層教學，有利于教學。

2、關于教學內容的設置

不管是Ryan教的數學專業學生學的math232還是Lubecke教的math123，筆者覺得其基本的內容體系和知識點與筆者任教的江西財經大學（JXUFE）的差別不大，比較明顯的差異有：

①相較于國內，LU的數學教學內容簡單得多，課堂上幾乎不講什么嚴格的數學證明（教材上是有的）。這也許是受始于80年代中后期延續至今的美國的微積分改革的影響。美國微積分改革的目標是：要使微積分能吸引住學生并使學生成功；微積分不再充當把學生淘汰出通向科學領域的“過濾器”，而是作為鼓勵學生學習科學，并為之提供必需的數學工具的“助推器”。在這個目標指導下，美國很多大學的數學教學內容非常簡單。

②與實際聯系緊密

在Ryan的math232和Lubecke的math123的講課中有大量的現實生活中的例子和數學模型。如Ryan在math232的教學中由曲線形構件質量的計算來引入對弧長的曲線積分，用積分來計算通信衛星的覆蓋面積等，而Lubecke的math123本來就是微積分及其應用，這門課的教學內容幾乎都是與經濟、物理、醫學等方面相關的數學概念及數學模型與實例。

3、關于現代技術的應用

LU有一個類似JXUFE畢博教學平臺的在線教育BB（Black Board），除了課堂上學生與教師面對面的溝通交流外，很多教與學的過程都必須在BB上完成，有在線作業（online homework）、在BB的Discussion board上在線小組討論、在線測驗等。math232的在線作業形式有兩種，一種是一個全是選擇題的題庫，教師布置其中的題目，學生每做完一道題，提交后系統自動顯示對錯。另一種是老師布置的作業，學生在規定時間內上傳手寫作業到BB供老師批改。小組討論也要求學生上傳討論的手寫稿到BB的Discussion board上。

BB還提供在線學習功能，教師可以上傳課件、書籍、教學視頻及啟發式輔助教學工具，Ryan在她的BB上上傳了計算機輔助教學軟件，學生可以用其中的繪圖軟件繪制某個圖形、用運算功能進行符號運算等，在學習過程中，這個軟件還會彈出界面，告訴用戶繪制某個圖形的目的是什么，是驗證某結論、支持猜想，還是尋找解題的途徑，非常有趣、有用。

使用現代技術，LU的數學教學不再局限于課堂，教學時空得到了延伸。

4、關于課堂教學

國內外大學的數學基礎課教學，其基本理論、基本知識、基本方法這“三基”的教學要求大致相同，不同的在于教師如何開展教學。

筆者在LU隨機聽了Ryan的五次課堂教學，Lubecke的三次課堂教學，發現這兩位老師的數學課堂教學與國內有很多相同點，都有概念的引入、定理的證明、例題的講解等，但也有一些不同，LU的數學課堂教學在以下幾方面比較突出：

①師生在課堂上自由平等地交流

盡管LU的數學課也是以講授為主，但感覺上LU的數學課更生動活潑，概念都是由實例引入，講課的時候老師和學生溝通很多，課堂氣氛很活躍，算是雙主導課堂。LU教室里的椅子都是可移動的，有的索性桌椅是一體的，底下有滾輪，學生很隨意地坐，除固定黑板外，教室里還有有滾輪可以隨便拖動的黑板，整個課堂氣氛很輕松。盡管隨意，但學生都坐在靠近老師的地方，有一個積極的課堂氛圍。教室的桌椅擺設隨意，老師、學生也很隨意，師生間比國內更closer，數學課堂上也經常會有笑聲。學生有問題會及時提出來，師生在課堂上自由平等地交流。印象最深的是有一次在Ryan的課堂上有個學生認為3-2+1=0（不得不說依賴計算器的有些美國大學生的計算能力真太低），為此還和老師討論了半天。

② 借助數學軟件輔助教學

Ryan在講解曲面和曲線的時候，特別在用數學軟件mat lab進行計算、作圖，投影各種曲面圖形、平面和曲面的交線，所做的圖形精確漂亮，而且隨著圖形的旋轉可以從不同的角度看圖，學生直觀地看到數學方程所表示的圖形，抽象的方程被具體化了，復雜的圖形能用一個簡單的數學式子表示，學生真實地感受到方程和圖形間的對應關系，感受到方程的簡潔之美。而且學生還自己動手操作，通過修改方程參數得到不同圖形。這樣對學生理解數學概念很有幫助并增加了學生學習的興趣。

③強調小組合作學習和數學交流

筆者隨機地聽過Lubecke的三次課，有兩次課都是Lubecke讓學生做group work。全班學生分成幾個小組，給每個小組一個問題，讓小組學生進行20分鐘的課堂討論，找出解決問題的辦法和方案。討論中學生踴躍發言，陳述自已的想法，共同思考、解決問題，接下來的40分鐘是師生共同探究每個小組的解決方案——老師把學生的想法或解決問題的方法進行分類、分析評價，并加以鼓勵。課堂上不再是老師講、學生聽，而是在教師創建的環境下一起進行數學交流、討論、學習，共同探討問題的解答，研究新的方法。每一個學生隨著學習的進行，從課本、老師以及其他小組成員處獲得知識、理解知識，整理與鞏固知識。

課后和Lubecke交流時，她說她之前在別的大學教書，因為喜歡LU的每個教學班的人數少（一般在30左右），適合采用組織討論小組的教學方法而來LU從教。她喜歡根據教學內容設計問題，采用組織小組討論的教學方法，學生通過交流探討，自己發現重要的數學結論，這樣能督促學生積極思考，比單純老師講、學生聽的效果好。

5、關于考試和成績評判

LU的學生經常有考試，考試分take-home（in-class）quiz（test），一般地，quiz題目比較少，一般1-2題，課內10-20分鐘完成。Test分課內和課外，課內的test一般是一小張卷子，考一節課，課外的test一般是閱讀指定的書籍或文章，老師提幾個發散性的問題，學生自己選擇某個問題回答。期末test一般是一張大卷子，內容可能涵蓋整個學期的教學內容。

我查閱過LU的一張數學試卷，總共8道題，題目不難，主要是“三基”的內容，與國內不同的是，試卷前面還列出了一些可能會用到的數學基本公式，而這些公式在國內的數學考試中是重要考點，要求學生記牢背熟。

據了解，別的老師的成績評判和Ryan的math232課的數學成績評判大同小異，最多可能是各部分占總分比例上會略有不同， LU數學期末考試成績占總成績的最高比例為30%，可以看出LU的數學老師非常重視學生的平時學習，不以期末一考定終身。

四、 探討國內高校數學課的教學改革

1、分層教學的實施

LU為學生開設了不同的數學課程，學生可以根據自己的基礎和興趣選課，這實際上的分層教學值得我們借鑒。國內高校也可以試試結合學生的專業要求與數學課程，多開幾門數學基礎課供學生選擇，這樣不僅實現了分層教學，而且在數學教學中滲透專業思想，突出數學課與專業課之間的密切聯系，增強學生對數學課重要性的認識，也將增加學生數學學習的主動性。

2、教學內容的科學性

科學的教學內容是保證教學質量的前提。關于教學內容，可以從以下幾方面加以改進。

①加強應用方面的教學內容，增強應用意識和培養應用能力

學生學到知識，學會學習很重要，但更重要的是要學以致用，體會到知識在解決問題時的力量。對學生來說，學會分析實際問題，學會該用什么方面的知識、如何用該知識解決實際問題，這種鍛煉能讓學生受益終生，也是學生以后發現和創新的源泉和動力。

我們的數學教學要在不放棄注重理論這一傳統優勢的前提下，充實和加強實際應用的數學內容，突出數學的應用，引進建模思想，激發學生學習數學、應用數學的興趣，讓學生學會怎樣從實際問題中找出數學本質、建立模型，最終用數學知識解決實際問題。

②適當精簡和弱化抽象、枯燥、理論性強的教學內容和純數學技巧方面的教學內容

長期以來，我國在高等數學教學內容上過分強調了形式化、嚴格化的東西，這使學生感到高等數學非常抽象，非常難學，非常神秘。教師在教學中十分注重理論的嚴謹性，對幾乎所有的定理證明都有嚴格的要求，追求理論性和運算技巧，這使得高等數學高高在上，令不少學生望而生畏，在學習時心態緊張，自信心受到挑戰，產生強烈的距離感，學習積極性消耗殆盡。

99%的大學生今后不從事數學研究，我們的數學課程要為這99%的學生開設，教學內容不必苛求理論上的嚴密，可以適當減少理論性強的內容或降低難度。具體的做法有：

③增加數學發展史的教學內容，學習其中重要的數學思想

數學史不僅能提高數學修養，培養數學興趣，而且給學生展現出數學是如何巧妙地與其他學科及社會發展緊密結合在一起的，對學生理解、記牢概念和應用數學特別有幫助。例如積分號∫是s的拉長，表示sum（求和）的意思。在課堂教學中結合數學史，解釋了符號的意義、用法，就不會發生有些學生做題很厲害，但連積分號∫是s的拉長，表示sum（求和）的意思都不知道的情形，而不知道∫的真實意義要把她用之于解決實際問題就不可能了。

對于大學生來說，學習數學發展史中的重要思想，理解數學是怎樣的一門學科，比花大力氣去弄懂一些深奧定理的證明更有益處。

3、提高信息技術的介入，延伸教學時空，促進教學

LU充分利用現代技術的數學教學改革無疑給了我們良好的借鑒與啟示，在保持我們自己教學特色的基礎上，要合理適度地使用現代技術，使教學內容變得“立體”起來，讓教學的時空得到延伸。

在把信息技術介入教學這方面我們做了大量的工作，取得了一定的成效，但信息技術介入教學還有不少方面可以改進和加強，信息技術與教育教學的深度融合方面我們還可以做的更好。例如：數學輔助學習軟件；信息技術可以帶來的益處還不足夠：我執教20多年，一直為厚厚的數學作業本困擾，看到LU的數學老師不用收作業，直接在網上批作業，羨慕不已，而對學生來說，網上的作業也好保存，需要復習的時候上網就可以看到之前的作業了，非常便捷。

4、關于課堂教學

對LU課堂最大的感受就是：學生的課堂學習不被動，而是在教師的指引下積極參與，課堂氣氛積極活躍。

給國內同仁（包括我自己）的幾點建議：

①親近學生。中國人講究“師道尊嚴”、“長幼有序”，師生間有距離感，課堂教學中主要是老師講，學生聽，師生互動不足，學生的主體地位難以體現。其實不必一味師道尊嚴，要讓學生親近，“親其師信其道”。

②激發自信。課堂上不必太強調嚴謹性，代之以呈現數學的簡單，傳達給學生這樣一個思想，數學并不難學，而學生覺得不難了就不會畏學，而不畏學更復雜的也會有興趣。

③啟發引導。課堂教學中至少一到兩次結合數學軟件進行教學，讓學生利用數學軟件研究、體會數學的定理、概念到底說了些什么，加深對所學知識的理解和認識，更為重要的是培養學生利用數學軟件學習數學的能力，啟發學生主動學習和自主思考的能力。

④大膽嘗試。可以嘗試合作學習和數學交流。

5、關于考試

國內大多數大學，學生的數學成績主要看期末考試，這樣弊端很明顯：教學內容多，老師出題不好把握，學生也容易考場失誤。還有一些學生平時不學習，考前突擊，導致身體、心理壓力過大，無益于學生身心健康。

對數學考試的建議：提高平時學習所占比重，筆者建議60%以上。學習是一個過程，過程監控尤為重要。適當安排單元考核，督促學生平時勤奮學習，保證每個單元知識點的掌握。

筆者是本著看、學、實踐的想法赴美訪學的，希望通過學習能夠開拓視野，更新思路，以更好的狀態回歸。

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