學生先行，教師斷后

王靜

【內容摘要】中考復習在初中數學中有著至關重要的作用，本人在初三一年中對如何開展初三有效復習進行了一些研究，嘗試建立“診斷——鞏固”模式進行復習課教學。個人認為要使得該模式有效離不開構建有效輕負擔的練習系統。這樣的練習系統須要做到以下幾點：1.練習系統“預設”構建要基于三維目標；2.練習系統要能夠訓練思維素質的；3.練習系統要能夠培養多層次的能力；4.練習系統構建要符合“變式拓展”；5.練習系統要有一定的開放性與實踐性。通過一段時間實踐也取得了令人滿意的成效。

【關鍵詞】復習 診斷 鞏固 練習系統

一、問題的提出

（一）研究的背景

就中考而言，中考復習在整個初中教學中起到至關重要的作用。隨著課改的深入，特別是今年的中考體現出了一些新的思路與特點。

中考改革將進一步向著使學生脫離題海戰的方向發展，而傳統的復習模式（講——練——講）有它的局限性，復習課只定位在“鞏固知識、提高技能”上。很少關注學生整體能力的發展，更體現不出數學的人文性和價值性。這就要求我們數學教師的原有的知識結構，提高習題的設置能力和處理能力有較高的要求。如何有效地進行初三的復習不僅是在中考中取得成功的重要條件，更為學生進入高中階段的后續學習能力的發展奠定了基礎。

（二）傳統的數學復習課存在的問題

根據多年教學實踐和觀察，傳統數學復習課課堂教學存在以下問題：

其實，許多專家對于如何進行減負增效都做了比較深入的研究，特別是作業設計，對于作業的形式，作業的量均有涉及。但畢竟學生是發展中的主體，每個學校背景、生源不盡相同，如何設計適合自己的作業對學生來說才是有效的。尤其是學生生源比較優秀時，學習知識的速度相對較快。這類學生的特點是對知識的掌握速度非常快，但掌握的知識漏洞多。教師如果觀察不仔細的話，很容易被他們的課堂表現所蒙騙，誤以為其已完全掌握。其實這些同學大多眼高手低，很多數學問題只能看到表面。在一個資優班中，很多學生屬于這類，所以對他們的培養不可小視，對于這類學生更要多提醒他們容易出錯的知識點。針對以上情況，為了能有效提高復習課的效率，這一屆學生我們采用新的復習模式——“診斷——鞏固”模式。簡單地講就在課前用練習對學生進行知識與能力的診斷，針對出現的問題進行糾錯，糾錯后再進行有效鞏固練習以達到復習提高的目標。

二、復習模式

“診斷——鞏固”模式流程如下：

診斷→解惑→鞏固→糾錯

具體操作步驟和要領如下：

1.診斷

（1）編寫復習導學案

復習導學案是用來檢查學生的知識漏洞與能力缺陷用的，因此在出這一份練習時必須要做到以下幾點：

①復習目標全面，認真研讀考綱，做到知識點不漏。

②難度要有充分的估計，太難和太容易都會造成診斷的信用度降低，失去意義。

③題量不能太多，多了又成了題海戰了，要做到精選，題目要有代表性。

（2）指導學生預習并完成導學案

督促、指導學生在課前充分預習復習目標部分的內容，認真完成導學案，了解目標要求，熟悉復習內容，發現存在問題，獲得感性認識。

（3）批改診斷練習

為了督促學生認真完成診斷練習，同時為了充分了解學情，教師一般應仔細批改學生所做的診斷練習。

2.解惑

（1）診斷反饋

通過課件等形式呈現學生在診斷練習中出現的共性的典型錯誤。

（2）點評總結

通過課件呈現診斷練習并由學生相互點評，在學生點評診斷練習的基礎上引導鼓勵學生總結歸納如何避免錯誤練習。

3.鞏固

鞏固練習主要就是根據診斷的結果與上課的情況而定，一般而言主要針對錯誤較多的知識點再加以練習，起到鞏固與提高的作用。這一份練習的質量也是至關重要的，這一份練習不是診斷練習的簡單重復，而是針對診斷練習批改時所發現的學生的典型錯誤編選一些變型題、拓展題、提高題等作為鞏固練習，并在相應的診斷練習處理完畢后立即讓學生去做一做。達到

4.糾錯

（1）督促學生自我糾錯

經常查閱學生的導學方案和課堂記錄，確保學生適時記錄、及時糾錯，盡力消除在復習過的導學方案中仍然留有空白、錯誤或沒有訂正和訂正后依然有錯的現象。

（2）定期進行統一糾錯

一段時間后，讓學生集中做教師依照該段時間內錯誤率較高的診斷練習題和鞏固練習題而改編的糾錯練習。

三、理論依據

教學模式是具有理論支撐的教學活動的操作框架。我們在構建初三數學一輪復習教學模式時依據了教育教學、現代學習方式等方面的理論，其中最主要的是建構主義和結構主義學說。

1.建構主義理論

建構主義者認為，學習不是教師單向地傳輸，不是學生順從地接受，學習是一個主動的、有明確意圖的、積極的建構過程。在這個過程中，教師是教學過程的指導者、組織者，學習的促進者，學生是知識的主動建構者； 學習者以已有的經驗為基礎，通過與外界的交互作用建構新的理解。

根據建構主義學習理論， 在第一輪復習教學中，我們可以在正式復習某個方面的內容前通過導學案向學生展示復習目標和相關的診斷練習，以此創設問題情境、揭示新舊知識之間的聯系，為學生的探究性學習提供條件。在學生自主預習復習目標、完成診斷練習的過程中，我們還可以指導學生有效進行建構活動，如細心揣摩各個知識點復習應達成的目標，認真體味每道診斷練習所蘊涵的題旨。

2.教學最優化理論

衡量教學最優化有兩條標準：一是教學效果的最優化；二是時間消耗的最優化，即“師生用于課堂教學和課外作業的時間又不超過所規定的標準”，用“師生耗費合理的時間去取得這些成效”。數學復習課的診斷練習與鞏固練習的有效設計需對教材等教學資源進行科學合理的整合，以作業紙的形式讓學生完成知識內化和拓展應用的過程，改變了課堂作業量多、重復的現象，既提高了教學質量，使學生在知識與能力、過程與方法、情感態度與價值觀等方面獲得和諧發展，又減輕學習負擔，用合理的時間取得較大的成效。

四、“診斷——鞏固”練習系統的特點和構建要求

（一）“診斷——鞏固”練習系統的特點

“診斷——鞏固”練習系統是實現學生認知、情態、態度價值觀有效構建的一個重要環節。構建基于三維教學目標的練習系統是構建“診斷 ——鞏固”練習系統一個重要策略。我們應根據中考數學復習三維教學目標，預設、改編、拓展、整合包含數學知識與技能、過程與方法、情感態度和價值觀等三維因素的練習系統。學生通過解答基于三維教學目標的練習系統來有效構建新的認知結構，提高復習的有效性和針對性。

（二）“診斷——鞏固”練習系統構建的要求

中考復習要基于新課程理念，要基于三維立體目標，所以練習系統的構建要在新課程背景下體現以下幾個要求：

1.練習目標體現多維性，不能一個題目或一份練習僅僅體現一個知識點或一個教學目標。

2.練習結構體現邏輯性，一份練習要有內在邏輯關系，不能各個題目是孤立存在，孤立的題目不利于學生系統地掌握知識。

3.練習難度體現層次性，層次性有利于學生思維的深入，從易到難容易培養學生的興趣與能力。層次性更是針對不同程度學生，使全體學生都有所發展的需要。

4.練習背景體現多樣性，中考題目背景越來越體現出新的特點。要培養學生在多樣性的背景中構建模型并解決問題的能力。

5.練習內容體現針對性，初三復習時間緊，不容我們去浪費，所以練習選編時一定要有針對性，這是保證練習有效的重中之重。

6.練習要有一定的開放性，開放性一方面是中考發展的需要，同時也是開發學生智力、培養興趣和提高能力的重要途徑。

五、構建“診斷——鞏固”練習的途徑和策略

（一）基于三維目標的練習系統“預設”構建

在中考第一輪復習教學時，教師首先根據中考考試說明和學科指導意見、數學復習教學目標，結合所教學生的數學認知基礎、興趣和熱情以及對學習數學的態度和價值取向，預設滲透數學三維教學目標的有效化的練習題系統，并通過引導學生解答預設練習系統來構建新的認知結構、情態結構和價值結構，實現數學復習教學的三維教學目標。

例如我們在復習反比例函數這一部分內容時，為了使學生對反比例函數及其圖像能進一步的理解和掌握，我們在診斷練習系統中就放入了如下的例題。

例1：已知反比例函數的圖像經過點（-1，2），則它的解析式是_____。

本題的作用是讓學生對反比例函數的解析式y= 起到一個回憶與應用的作用。為了進一步理解反比例函數的圖像及性質我們加入了下面幾個例題。

例2：在反比例函數y= （k<0）的圖像上有兩點（-1，y1），（ ，y2），則y1-y2 ___0。

通過例2的呈現，讓學生學會利用圖像對反比例函數的增減性進行判斷。為了讓學生更好的理解反比例函數中k的幾何意義，我們設計了例3：

例3 ：如圖1，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數的圖像經過點A，則k的值是___

例3的設計使學生更進一步的理解反比例函數的比例系數k的絕對值其實就等于反比例函數的圖像上的點到坐標軸的垂線段與坐標軸所圍成的矩形的面積。為了強化反比例函數與幾何圖形、一次函數的綜合應用，我們又設計了例4和例5。

例4：如圖2，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y= （k>0）經過邊OB的中點C和AE的中點D.已知等邊△OAB的邊長為4。

（1）求該雙曲線所表示的函數解析式；

（2）求等邊△AEF的邊長。

例5：如圖3，在平面直角坐標系中，O為原點，一次函數與反比例函數的圖象相交于A（2，1）、B（-1，-2）兩點，與x軸交于點C。

（1）分別求反比例函數和一次函數的解析式（關系式）；

（2）連接OA，求△AOC的面積。

通過這樣5個例題的設置學生不僅對反比例函數的基本概念和圖像性質有了系統的、全面認識，同時對反比例函數和幾何圖形，一次函數之間的關模型有了更深的體會。

（二）訓練思維素質的練習系統的構建

思維素質和能力對于學好數學的重要性不言而喻。學生的思維素質包括思維深刻性、思維嚴謹性、思維的完整性、思維靈活性、思維的廣闊性和思維的批判性等多方面。為了培養學生的思維素質，我在練習中設置了這樣的例題：

例6：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60度，則頂角的度數為____。

4-1 4-2

這道題目很多同學會算出頂角的讀數為30°。主要是由于只考慮到一腰上的高在三角形的內部（圖4-1）這種情況，卻忽視了高線也可在三角形的外部（圖4-2），導致分析不完整。

在診斷練習中我通過這一個題來達到培養學生思維的完整性的目的，為了進一步訓練和鞏固我又在鞏固練習中又設置了例7這樣的題目。

例7：已知等腰三角形△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD= BC，則△ABC底角的度數為多少度？

本題同樣也有兩種可能，AD可能是底邊上的高線，也有可能是一腰上的高線。通過這樣的一類題的訓練，學生思維完整性將會明顯提高。

又如在培養思維的嚴謹性時我們用了如下的題。

例8：已知線段MN=8cm，且點M、N到直線L的距離為5cm，3cm，那么符合條件的直線L有（ ）

A. l條 B. 2條

C. 3條 D. 4條

受點到直線距離和點到點間距離的概念的疊加影響，此題容易把如圖5-1所示的情況作為問題的唯一答案，選（A）的人很多，從而不再作深入仔細的分析探究，因此，如圖5-2所示的情況就難以顯現，影響了正確答案（C）的選擇。通過這道例題來引導學生對點M、N與直線L的距離的不同位置關系進行分析探討，學生的思維就會再深入展開，圖5-2圖形也可能會畫出，以此促進嚴謹思維的更好形成。

（三）培養分層教學的練習系統構建

現在很多學校都分為不同層次的班級，這是因材施教的需要，更是教學公開的重要保證。即使是同一班級中不同學生之間也存在著很大的差異。因此我們的練習設置要滿足不同層次的需求，要讓全體同學都受益。這一點我們是把一個綜合性問題分成幾個小問題，不同層次的學生完成不同的小題。這樣做法的好處是老師在講這個題時基礎差的同學可以聽他們做的那幾個小題。難度較大的小題，他們可能做不出來，但因為做了幾個容易的小題，可能會對較難的小題產生興趣，所以上課時他們不會出現無事可做的狀況。

例如下面的例題中我們要求基礎較差的同學只做第一小題，而較好的同學則做兩個小題。

例9：如圖6，已知在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，連接AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y。

（1）求證△ADQ∽△PBA，并求出y關于x的函數解析式；

（2）當點P運動時，△APQ的面積是否會發生變化？如果發生變化，請求出△APQ的面積S關于x的函數解析式，并寫出定義域；如果不發生變化，請說明理由；

（3）當以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時，求⊙A的半徑。

他們通過自己努力把第一小題解出來后，也很愿意去聽第二小題。這樣基礎較差的同學當中也會有部分可能掌握第二小題，起到了共同提高的作用，第三小題可以看作是在第二小題的基礎上再次發現△AEQ的特殊性，利用兩圓相切的判定解決問題。通過這樣層層遞進，讓每位學生都能解決一些問題，體會到解決問題的快樂。

（四）“變式拓展”練習系統構建

“變式拓展”教學模式已成為復習課的一個有效的途徑，變式拓展練習構建的關鍵是如何選擇基本模型，以及如何去改變條件和進行有效的變式。教師基于學生原有認知、情態、價值結構中的缺陷，對原有問題從特殊到一般進行拓展，拓展問題情景中滲透概括水平高的模型、規律和解題方法。通過拓展構建不僅能簡化問題系統，而且促進學生認知結構的概括化和融會貫通，實現認知結構的概括性拓展構建。

例如我們在復習方程與不等式時就很好地利用了“變式拓展”這一模式。以例10作為基本題。

例10：解方程組

拓展1、求當a=3， ， 時，關于x，y的方程組 的解。

拓展2、已知關于x，y的方程組

其中-3≤a≤1。給出下列結論：

①是x=5，y=-1方程組的解；

②當a=-2時，x，y互為相反數；

③當a=1時，方程組

的解也是方程x+y=4-a的解；

④若x≤1，則1≤y≤4

其中正確結論的序號有_____。

拓展3、已知關于x，y的方程組

其中-3≤a≤1，若x≤1，求y的取值范圍。

從上面的四個問題中，通過四次對學生有指導、有交流的自主活動，使后端學生掌握消元法求解方程組的方法，并滲透從數到形的解決問題的方法；使優秀學生能理解數背后隱藏的形，能再通過從形到數地提升，脫穎而出，進一步理解數形結合的思想方法。

（五）相似性和比較性練習系統構建

相似性即創設與原題外表不同但本質（數學模型、思維過程、解題思路方法等）相似的問題系統。通過相似性拓展構建有效練習系統能使學生對解題方法達到內化層次，促進學生認知結構穩定化。比較性是指教師基于學生認知模糊性和思維上定勢，對學生已做練習進行比較性拓展，即創設一些與已做練習在外表上相似但模型、條件、求解目標等本質不同的差異性問題，引導學生在探究解答這些練習過程中揭示它們間的聯系與區別。通過比較性拓展構建不僅理順練習系統和認知結構，同時也訓練學生思維的嚴謹性。

例如在復習一元二次方程的概念的內容時我們引入了如下相似性和比較性練習題。

例11：關于x的方程2kx2+（8k +1）x+8k有兩個實數根，則k的取值范圍是_____。

由題意，方程有兩個實數根，則該方程定是一元二次方程。本題應先把方程變形為一般式，然后由方程有兩個實數根，根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得到2k≠0，且△≥0，求出兩個不等式的公共部分即得到k的取值范圍.本題既考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△<0，方程沒有實數根。又考查了一元二次方程的定義。這道題解決后，跟著我有馬上引進了例12：

例12：關于x的方程2kx2+（8k +1）x=-8k有實數根，則k的取值范圍是_____。

這道題與上題不同，本題中的方程既可以是一元二次方程，也可以是一元一次方程，故2k≠0的條件不需考慮。在分析得出結論后再讓學生討論在什么樣的條件下可以認為兩個k的值相等。通過對比學生可以更好地理解一元二次方程的概念。通過本題的練習學生將對相似問題有個清晰的認識，不會盲目地套用結論，培養學生的思維也起到很好的作用。

類似的變式還有關于x的函數y=2kx2+（8k+1）x+8k與坐標軸有兩個交點，求k的取值范圍。

（六）開放性與實踐性練習系統構建

今年的杭州中考數學試題已向開放性與實踐性，特別是實踐性方向邁出了一大步。有一定的開放題往往對學生來說就是一個難題，所以在初三復習中必需加以訓練。開放性題目對于培養學生探究能力可以起到很好的作用。但開放性題比較難設計，開放程度太大上課時不容易控制，開放程度太小就失去應有的意義。

例13：如圖7，平面直角坐標系中有四個點，它們的橫縱坐標均為整數。若在此平面直角坐標系內移動點A，使得這四個點構成的四邊形是軸對稱圖形，并且點A的橫坐標仍是整數，則移動后點A的坐標為_____。

圖7

通過這道開放題的設置，考查了學生建立軸對稱圖形的能力，結合直角坐標系，給出不唯一的結論，達到數形結合的要求。

六、成效

初三的復習不是簡單的重復，是一項具有創造性的工作，初三復習的有效性直接影響了學生的中考。我們只有在練習系統設置時突出中考中重點、熱點問題；關注學生的薄弱環節；注重教師引導和學生自主整合互補結合；提高預設問題的價值性才能真正地把學生從題海中解脫出來，才能做到輕負擔高質量。我們備課組通過不斷的摸索與改進，基本形成了較為有效的復習模式，并在實踐中有效地提升了學生的能力。

1.學生在實踐中獲得了學習數學的信心，學生的學習興趣更濃了，在對練習系統教學的實踐中，明顯感受到師生關系改善了；課堂氣氛活躍了，學生敢想敢講，學會了相互評價和欣賞；學習興趣濃厚了，考試成績自然也提高了許多。

2.學生在實踐中自主學習能力得到了培養，學生會自主學習了，利用練習系統教學實施有效性教學，學生的作業錯誤明顯少了，可以事半功倍地提高學生成績，有利于讓學生跳出題海訓練的怪圈。提高了學習的積極性，使思維得到鍛煉，提升了學習能力，各方面相得益彰。

3.教師教學設計的能力更強了，以練習系統來引導有效教學，教師再也不會只從網上下載資料就能上課，教師首先研究學生，研究教材，研究教法，并對練習系統教學不斷反思，然后是對練習系統教學資源的再開發，這樣，教師自主研究、自主教學設計的能力勢必大大增強。學生的學習能力也會大大提高。

【參考文獻】

[1] 王子興. 數學方法論問題解決的理論[M]. 長沙：中南大學出版社，2001.

[2] 張雄、李得虎. 數學方法論與解題研究[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3] 羅增儒. 數學解題學引論[M]. 西安：陜西師范大學出版社，1997.

（作者單位：浙江省桐廬縣葉淺予中學）