《勾股定理的逆定理》教學案例評析

吳曙 鄒循東 梁宇

【關鍵詞】初中化學 實驗教學 快樂 實踐

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）02A-

0079-02

勾股定理及其逆定理是初中數學中兩個非常重要的定理，《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》對其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。”筆者有幸參加了江蘇省第26屆“教海探航”蘇派與全國名師課堂教學觀摩活動，為期兩天的教學觀摩讓眾多教師受益匪淺，現將潘淳老師執教的《勾股定理的逆定理》的教學片段整理出來，與讀者共賞。

一、片段呈現

【片段1】黑板上畫出三個三角形（如下圖），并提出問題：

+=90°

圖1 ? ? 圖2 ? ? 圖3

問題一：上節課我們一起學習了勾股定理的有關知識，觀察黑板上第一個三角形（圖1），你能結合圖形利用已學的知識得到哪些信息？

生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面積S=等。

問題二：觀察第二個三角形（圖2），由條件+=90°你能得到哪些信息？

生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面積S=等。

問題三：觀察第三個三角形（圖3），知道三角形三邊長分別是3，4，5，你還能求出三角形的面積嗎？

生交流后回答不能，缺少直角條件。

【片段2】勾股定理的逆定理一定成立嗎？提出以下兩個問題：

問題一：如果一個三角形的三邊分別是3，4，5，那么這個三角形一定是直角三角形嗎？如何判斷呢？

生交流后給出“構造法”，利用兩個三角形全等的基本事實，即“邊邊邊（SSS）”來證明兩個三角形全等。

問題二：若將三角形的三邊3，4，5替換成a，b，c，還能得出∠C=90°嗎？

生交流后使用“構造法”來證明兩個三角形全等。

【片段3】

小活動：數學萬花筒

師：根據圖中條件，你能得出哪些信息？

生生、師生交流，得出相關結論。

二、教學評析

上述案例是潘淳老師在《勾股定理及其逆定理》中的教學片段。縱觀這三個片段，可以發現這節課是一節求證的課，一節啟發和開放的課，更是一節生長的課。陶行知曾經說過“課堂文化是生長文化，學生的學習生長狀態首先決定于學生自主性的發揮，讓自主成為課堂文化的基礎。”本節課通過師生、生生合作探究，對“未知”不懈的“追問”，讓學生主動建構，探究出未知的數學世界，達到知識與能力的自然生長。

（一）三角形求解——感受直角的必要性

本次課題是蘇科版（江蘇科學技術出版社）八年級上冊第三章第二節《勾股定理的逆定理》，與舊版《神奇的數組》相比較，更側重于探索勾股定理的逆定理的過程。因此，在探索勾股定理的逆定理的教學過程中，片段1是按照圖①、圖②、圖③三個單個三角形的順序來探索特殊三角形的某些特點。其中圖1設計目的是已知直角三角形的兩條直角邊，要求能夠利用勾股定理求出斜邊長度，進而能夠得出這個直角三角形的面積。教師在這個地方的教學處理中希望學生得出三角形的面積，以便在圖2也能利用直角三角形性質求解面積，同時討論圖3中的三角形是否也能求出面積？若不能，缺少哪個條件？從而讓學生在探索三角形面積的過程中，感受到三角形中直角的必要性，并在這個過程中培養學生解決問題的能力。在這一環節的設計中，為了強調培養學生“數學思考”能力的目的，教師需關注學生的最近發展區，對課堂的“生成”進行合理的“預設”，及時處理好引導與學生自主學習的關系。

（二）同一法的證明——逆定理的探索過程

解讀教材是實現“用教材教”的基礎。教學參考書中指出勾股定理的逆定理的證明方法是“同一法”。所謂“同一法”就是證明命題B和命題A是同一個對象，具體步驟如下：

第一步需要先構造一個具有A屬性的圖形B;

第二步證明B圖形與已知A的條件符合;

第三步推理說明所做B圖形與題設要求是一致的;

第四步是判斷A所述圖形具有這種屬性。

在第一問證明中，師生交流思想，共同構建一個直角邊長為3，4的直角三角形，然后證明以3，4，5為邊的三角形與之全等，從而確定滿足邊長為3，4，5的三角形是直角三角形。通過這個具體數值的三角形證明，讓學生熟悉同一法的證明過程，接著拋出一個更具一般性的問題，“若將三角形的三邊3，4，5替換成a，b，c，還能得出∠C=90°嗎？”由學生交流、獨立證明。

在這一環節的設計中，教師滲透“同一法”的證明思想，即當定理的條件與結論所指的事件是唯一且范圍相同，則原命題的逆命題一定成立。這時若證明原命題較難，可以證明其逆命題的一種間接證法。在這個證明的過程中，強化學生的數學意識，提升學生思維品質并感受數學構思的思辨美、哲學美與藝術美。

（三）數學萬花筒——逆定理的簡單運用

因為本節課是一節求證、啟發、開放、生長的課，教學中滲透了由特殊到一般的探索過程，因此需要讓學生經歷知識的發生、發展與形成過程，體會形與數的內在聯系，并能感受數學定理與逆定理和諧統一的辯證關系。在引導學生利用勾股定理的逆定理解決實際問題時，需要進行變式訓練，并進行一題多解、一題多練，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。因此在課堂結尾處設置一個有趣的小活動——“數學萬花筒”。

通過這個小活動，達到以下三個目的：

第一，增加課堂的趣味性，活躍學生思維。興趣是求知的內在動力。激發起學生的興趣，學習就會積極主動，學得輕松而有成效。而“數學萬花筒”將枯燥乏味的練習題化被動為主動，通過充滿童趣的小活動來吸引學生，促使學生積極主動地參與進來，在疲勞的課堂教學中點亮一抹綠色。

第二，鞏固和檢查本節課學生掌握情況。一節課中，教師講授完新知后，一般隨即開始各種形式和層次的訓練、反饋，也就是進行知識的強化和鞏固。有別于傳統的課堂鞏固習題，“數學萬花筒”為教師及時提供開放式的學生評價和反饋信息的方法。

第三，密切聯系已學的三角形有關知識。勾股定理及其逆定理在中考占有極其重要的地位，因此密切勾股定理及其逆定理與其他三角形知識的橫向與縱向聯系就顯得尤為重要。相關知識如“一個角是直角的三角形是直角三角形”“三角形全等的基本事實”“三角形內角和是180°”“勾股定理”“勾股定理的逆定理”等的應用，在這個小活動中都得到有效體現。

（責編 黃珍平）