《勾股定理的逆定理》教學(xué)案例評(píng)析

吳曙 鄒循東 梁宇

【關(guān)鍵詞】初中化學(xué) 實(shí)驗(yàn)教學(xué) 快樂 實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）02A-

0079-02

勾股定理及其逆定理是初中數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要的定理，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。”筆者有幸參加了江蘇省第26屆“教海探航”蘇派與全國(guó)名師課堂教學(xué)觀摩活動(dòng)，為期兩天的教學(xué)觀摩讓眾多教師受益匪淺，現(xiàn)將潘淳老師執(zhí)教的《勾股定理的逆定理》的教學(xué)片段整理出來，與讀者共賞。

一、片段呈現(xiàn)

【片段1】黑板上畫出三個(gè)三角形（如下圖），并提出問題：

+=90°

圖1 ? ? 圖2 ? ? 圖3

問題一：上節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了勾股定理的有關(guān)知識(shí)，觀察黑板上第一個(gè)三角形（圖1），你能結(jié)合圖形利用已學(xué)的知識(shí)得到哪些信息？

生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面積S=等。

問題二：觀察第二個(gè)三角形（圖2），由條件+=90°你能得到哪些信息？

生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面積S=等。

問題三：觀察第三個(gè)三角形（圖3），知道三角形三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，你還能求出三角形的面積嗎？

生交流后回答不能，缺少直角條件。

【片段2】勾股定理的逆定理一定成立嗎？提出以下兩個(gè)問題：

問題一：如果一個(gè)三角形的三邊分別是3，4，5，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？如何判斷呢？

生交流后給出“構(gòu)造法”，利用兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)，即“邊邊邊（SSS）”來證明兩個(gè)三角形全等。

問題二：若將三角形的三邊3，4，5替換成a，b，c，還能得出∠C=90°嗎？

生交流后使用“構(gòu)造法”來證明兩個(gè)三角形全等。

【片段3】

小活動(dòng)：數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒

師：根據(jù)圖中條件，你能得出哪些信息？

生生、師生交流，得出相關(guān)結(jié)論。

二、教學(xué)評(píng)析

上述案例是潘淳老師在《勾股定理及其逆定理》中的教學(xué)片段。縱觀這三個(gè)片段，可以發(fā)現(xiàn)這節(jié)課是一節(jié)求證的課，一節(jié)啟發(fā)和開放的課，更是一節(jié)生長(zhǎng)的課。陶行知曾經(jīng)說過“課堂文化是生長(zhǎng)文化，學(xué)生的學(xué)習(xí)生長(zhǎng)狀態(tài)首先決定于學(xué)生自主性的發(fā)揮，讓自主成為課堂文化的基礎(chǔ)。”本節(jié)課通過師生、生生合作探究，對(duì)“未知”不懈的“追問”，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，探究出未知的數(shù)學(xué)世界，達(dá)到知識(shí)與能力的自然生長(zhǎng)。

（一）三角形求解——感受直角的必要性

本次課題是蘇科版（江蘇科學(xué)技術(shù)出版社）八年級(jí)上冊(cè)第三章第二節(jié)《勾股定理的逆定理》，與舊版《神奇的數(shù)組》相比較，更側(cè)重于探索勾股定理的逆定理的過程。因此，在探索勾股定理的逆定理的教學(xué)過程中，片段1是按照?qǐng)D①、圖②、圖③三個(gè)單個(gè)三角形的順序來探索特殊三角形的某些特點(diǎn)。其中圖1設(shè)計(jì)目的是已知直角三角形的兩條直角邊，要求能夠利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)度，進(jìn)而能夠得出這個(gè)直角三角形的面積。教師在這個(gè)地方的教學(xué)處理中希望學(xué)生得出三角形的面積，以便在圖2也能利用直角三角形性質(zhì)求解面積，同時(shí)討論圖3中的三角形是否也能求出面積？若不能，缺少哪個(gè)條件？從而讓學(xué)生在探索三角形面積的過程中，感受到三角形中直角的必要性，并在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。在這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，為了強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”能力的目的，教師需關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，對(duì)課堂的“生成”進(jìn)行合理的“預(yù)設(shè)”，及時(shí)處理好引導(dǎo)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系。

（二）同一法的證明——逆定理的探索過程

解讀教材是實(shí)現(xiàn)“用教材教”的基礎(chǔ)。教學(xué)參考書中指出勾股定理的逆定理的證明方法是“同一法”。所謂“同一法”就是證明命題B和命題A是同一個(gè)對(duì)象，具體步驟如下：

第一步需要先構(gòu)造一個(gè)具有A屬性的圖形B;

第二步證明B圖形與已知A的條件符合;

第三步推理說明所做B圖形與題設(shè)要求是一致的;

第四步是判斷A所述圖形具有這種屬性。

在第一問證明中，師生交流思想，共同構(gòu)建一個(gè)直角邊長(zhǎng)為3，4的直角三角形，然后證明以3，4，5為邊的三角形與之全等，從而確定滿足邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形是直角三角形。通過這個(gè)具體數(shù)值的三角形證明，讓學(xué)生熟悉同一法的證明過程，接著拋出一個(gè)更具一般性的問題，“若將三角形的三邊3，4，5替換成a，b，c，還能得出∠C=90°嗎？”由學(xué)生交流、獨(dú)立證明。

在這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，教師滲透“同一法”的證明思想，即當(dāng)定理的條件與結(jié)論所指的事件是唯一且范圍相同，則原命題的逆命題一定成立。這時(shí)若證明原命題較難，可以證明其逆命題的一種間接證法。在這個(gè)證明的過程中，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提升學(xué)生思維品質(zhì)并感受數(shù)學(xué)構(gòu)思的思辨美、哲學(xué)美與藝術(shù)美。

（三）數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒——逆定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用

因?yàn)楸竟?jié)課是一節(jié)求證、啟發(fā)、開放、生長(zhǎng)的課，教學(xué)中滲透了由特殊到一般的探索過程，因此需要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成過程，體會(huì)形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并能感受數(shù)學(xué)定理與逆定理和諧統(tǒng)一的辯證關(guān)系。在引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題時(shí)，需要進(jìn)行變式訓(xùn)練，并進(jìn)行一題多解、一題多練，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。因此在課堂結(jié)尾處設(shè)置一個(gè)有趣的小活動(dòng)——“數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒”。

通過這個(gè)小活動(dòng)，達(dá)到以下三個(gè)目的：

第一，增加課堂的趣味性，活躍學(xué)生思維。興趣是求知的內(nèi)在動(dòng)力。激發(fā)起學(xué)生的興趣，學(xué)習(xí)就會(huì)積極主動(dòng)，學(xué)得輕松而有成效。而“數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒”將枯燥乏味的練習(xí)題化被動(dòng)為主動(dòng)，通過充滿童趣的小活動(dòng)來吸引學(xué)生，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與進(jìn)來，在疲勞的課堂教學(xué)中點(diǎn)亮一抹綠色。

第二，鞏固和檢查本節(jié)課學(xué)生掌握情況。一節(jié)課中，教師講授完新知后，一般隨即開始各種形式和層次的訓(xùn)練、反饋，也就是進(jìn)行知識(shí)的強(qiáng)化和鞏固。有別于傳統(tǒng)的課堂鞏固習(xí)題，“數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒”為教師及時(shí)提供開放式的學(xué)生評(píng)價(jià)和反饋信息的方法。

第三，密切聯(lián)系已學(xué)的三角形有關(guān)知識(shí)。勾股定理及其逆定理在中考占有極其重要的地位，因此密切勾股定理及其逆定理與其他三角形知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系就顯得尤為重要。相關(guān)知識(shí)如“一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形”“三角形全等的基本事實(shí)”“三角形內(nèi)角和是180°”“勾股定理”“勾股定理的逆定理”等的應(yīng)用，在這個(gè)小活動(dòng)中都得到有效體現(xiàn)。

（責(zé)編 黃珍平）