加強(qiáng)變式訓(xùn)練 培養(yǎng)思維能力

陳麗妍

【內(nèi)容摘要】在新課改背景下，培養(yǎng)學(xué)生豐富的思維能力已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問(wèn)題。本文在闡述變式訓(xùn)練內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，從類比變式，明確數(shù)學(xué)歸納的基本思想;階梯變式，幫助學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念;拓展變式，形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系;情境變式，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練四個(gè)方面探討了加強(qiáng)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) ?變式訓(xùn)練 ?思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）把“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”作為課程的基本理念之一。并進(jìn)一步指明：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法?！睋?jù)此，筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就貫徹落實(shí)這一理念進(jìn)行了持續(xù)的探索與實(shí)踐，通過(guò)各種變式訓(xùn)練典型例題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用的過(guò)程與方法。

一、變式訓(xùn)練的內(nèi)涵

所謂變式訓(xùn)練，就是在教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式和問(wèn)題進(jìn)行不同角度、層次、形式、背景的變式，即有目的地對(duì)命題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，在解決問(wèn)題的過(guò)程中達(dá)到建構(gòu)知識(shí)，提高技能，感悟思想、內(nèi)化情感的目標(biāo)。

變式訓(xùn)練的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征。重視習(xí)題的變式訓(xùn)練，不僅可以突出“雙基”，幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題的內(nèi)涵和外延，而且還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

變式訓(xùn)練的實(shí)質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新精神。抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，遵循學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展規(guī)律，根據(jù)實(shí)際需要，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境變換或思維角度的改變，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神。通過(guò)多問(wèn)、多思、多用，可以激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性，通過(guò)知識(shí)的遷移和多種解題途徑的探索，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏感性、應(yīng)變性和層次的豐富性。

二、加強(qiáng)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維能力的案例分析與反思

1.類比變式，明確數(shù)學(xué)歸納的基本思想

【案例1】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。

變式1：已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ? ? ? ? ? ，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___。

變式 2：已知橢圓對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦距為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。

變式 3：與橢圓x2+4y2=16有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn) ? ? ? ? ? ? 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為______。

變式 4：過(guò)點(diǎn)（2，1）和（-3，2）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為______。

【分析】變式1訓(xùn)練學(xué)生在沒(méi)有直接得出a，b，c基本量時(shí)，如何求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。變式2訓(xùn)練學(xué)生在焦點(diǎn)不確定時(shí)，怎么先確定焦點(diǎn)，再求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。變式3鞏固求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本思維方法：先確定焦點(diǎn)，再根據(jù)題設(shè)選取合理方法。變式4訓(xùn)練學(xué)生的思維靈活性，歸納求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，即先確定焦點(diǎn)，再通過(guò)求基本量或待定系數(shù)法，求解方程。

【反思】通過(guò)以上變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法。這一思維能力的培養(yǎng)也為以后雙曲線，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解打下基礎(chǔ)?？梢?，數(shù)學(xué)變式教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，養(yǎng)成深入反思的習(xí)慣，從而抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，積累探索相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

2.階梯變式，幫助學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

【案例2】復(fù)習(xí)分段函數(shù)概念及性質(zhì)

已知函數(shù)

求f（1），f（-3），f（a +1）的值。

變式1：設(shè)

則 ? ? ? ? ? ?=______。

變式2：已知

是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍_______。

變式3：設(shè)函數(shù)

則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍_______。

【分析】案例2及變式1讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)定義域在各個(gè)有限區(qū)間上其表示對(duì)應(yīng)法則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣。變式2讓學(xué)生體驗(yàn)分段函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)及分界點(diǎn)對(duì)應(yīng)值的大小關(guān)系。變式3體現(xiàn)分段函數(shù)要分段求解這一重要思想。

【反思】高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生對(duì)一些形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)理解普遍感到困難，對(duì)某些規(guī)律的形式化歸納往往無(wú)從下手，所以，適當(dāng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，通過(guò)典型例題，由淺入深地增強(qiáng)學(xué)生對(duì)分段函數(shù)概念的內(nèi)化理解，從而提高分段函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)效率。

3.拓展變式，形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系

【案例3】拓展數(shù)學(xué)比較思維方法

已知不等式ax2+3x+a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變式1：已知不等式x2+ax+2>0對(duì)一切x∈[0， ?]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變式2：已知不等式x2+ax+a>0對(duì)一切a∈（0，2）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

變式3：已知不等式x2+ax+a>0在x∈（1，2）時(shí)有解，求實(shí)數(shù)a的取值。

【分析】案例3及其變式形式與解法相似，但其間還是有區(qū)分的。案例3 要考慮二次項(xiàng)系數(shù)和判別式;變式1可從二次函數(shù)的對(duì)稱軸入手加以討論或采用變量分離法把字母a移到一邊;變式2是自變量的轉(zhuǎn)變，可看成關(guān)于a的函數(shù)求解;變式3是以存在性為題，考慮函數(shù)端點(diǎn)。

【反思】很多數(shù)學(xué)題形式相似，求解方法也相似，但一定加以辨析，杜絕混為一談。通過(guò)對(duì)同類問(wèn)題的拓展，在講清原有命題的同時(shí)，通過(guò)對(duì)變式的分析，辨別數(shù)學(xué)比較思想方法的不同，以點(diǎn)帶面，形成合理的知識(shí)遷移。

4.情境變式，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練

【案例4】改變問(wèn)題情境進(jìn)行變式訓(xùn)練

向如圖所示的正方形內(nèi)隨機(jī)的投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率。

變式1：兩人相約在8點(diǎn)到9點(diǎn)會(huì)面，先到者等候另一人20min，過(guò)時(shí)就可離去，則兩人能見面的機(jī)會(huì)有多大？

變式2：在區(qū)間（0，L）內(nèi)任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于 ? ?的概率。

【分析】案例4及其變式對(duì)于幾何概型中的“事件A發(fā)生的概率等于測(cè)度比”作了一個(gè)很好的詮釋。變式的情境雖然不同，但其本質(zhì)是完全相同的，這能啟發(fā)學(xué)生重點(diǎn)掌握運(yùn)用幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題的方法。

【反思】通過(guò)變換問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多維變式的探究性學(xué)習(xí)，從變換的情境中發(fā)現(xiàn)其不變的本質(zhì)，進(jìn)而探索出解決此類問(wèn)題的規(guī)律，這不僅能增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，而且能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

總之，在以知識(shí)、技能、能力、情感為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，變式教學(xué)是實(shí)現(xiàn)課堂有效教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要方法，是優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵所在。變式教學(xué)的核心在于確定合適的可變度和設(shè)計(jì)合理的變式情境，這就要求一線教師結(jié)合教學(xué)多研究、多實(shí)踐、多交流，共享新課程改革的成果。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

（作者單位：江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué)）