高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的應(yīng)用實(shí)踐

石愛(ài)琴

【摘 要】類比思維是一種縝密的推理思維，在高中數(shù)學(xué)這樣重要的學(xué)生邏輯思維培養(yǎng)階段，將類比思維融入到高中教學(xué)與實(shí)際解題應(yīng)用中來(lái)強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念，能加強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想能力，提高他們的類比分析思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，深化教學(xué)內(nèi)容，減少學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的距離感。本文就簡(jiǎn)要的探討一下類比思維的高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用與教學(xué)實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】類比思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題思路 教學(xué)設(shè)計(jì) 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）08B-0109-02

在德國(guó)，著名心理教育學(xué)家Herbart認(rèn)為類比思維融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該分為四個(gè)階段，理解、聯(lián)想、系統(tǒng)和方法。這四個(gè)階段表明了從意識(shí)形態(tài)上的聯(lián)系，對(duì)比，到真正的系統(tǒng)實(shí)踐與練習(xí)的一個(gè)過(guò)程。它讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解更加深刻，運(yùn)用更加熟練，記憶更加牢固。所以說(shuō)，類比思維與數(shù)學(xué)教育凸顯了聯(lián)想與聯(lián)系的重要性，它鍛煉了人的思維靈活性。

一、類比思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

通過(guò)初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教育之后，高中數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了一個(gè)知識(shí)層面較為高端、概念相對(duì)抽象的學(xué)習(xí)階段，相對(duì)來(lái)說(shuō)解題思路更加難以理解。不過(guò)從數(shù)學(xué)思維邏輯來(lái)看，概念與解題方面是有許多類似之處，如果利用類比思想進(jìn)行教學(xué)，進(jìn)行新舊知識(shí)的屬性對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上累積新知識(shí)，就可以構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)固的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，形成所謂的類比聯(lián)想。這樣一個(gè)數(shù)學(xué)化的聯(lián)想過(guò)程就是類比思維的雛形，它是一個(gè)知識(shí)體系再創(chuàng)造的過(guò)程。

高中數(shù)學(xué)講究對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考能力的挖掘，如果能合理運(yùn)用思維方法，就能學(xué)好數(shù)學(xué)，因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)雖有一定難度，但是它知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系還是很豐富且有一定規(guī)律的，特別是蘊(yùn)含于其中的類比思維解題方法。它能夠啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)展開解題思維，從概念的深處挖掘和摸清知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系，看到題目的“靈魂”，這就是類比在解題過(guò)程中的作用。

就拿等差數(shù)列來(lái)舉例，用等差數(shù)列類比等比數(shù)列，它的定義是前者為后項(xiàng)與前項(xiàng)之差，而后者為后項(xiàng)與前項(xiàng)之比，所以這就是等差與等比的類比思維，我們將等差數(shù)列中的一些實(shí)用性質(zhì)放入到以乘法類比的等比數(shù)列中。

比如在等差數(shù)列{bn}中，假設(shè)有正整數(shù)數(shù)列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出bh+bk=bm+bn，如果k=h，那么bm+bn=2bm+n/2。在此公式中，bm與bn就是等差中項(xiàng)。

在等比數(shù)列{dn}中，假設(shè)有正整數(shù)數(shù)列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出dh×dk=dm×dn，如果k=h，那么dm×dn=d2m+n/2。在此公式中，dm與dn就是等比中項(xiàng)。

以上就是類比思維下的等比數(shù)列與等差數(shù)列之間等比性質(zhì)的類比算法。在引入類比思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解與記憶十分重要，它能夠提高學(xué)生的推理邏輯能力，充分理解諸如上述這樣的數(shù)學(xué)題目。

二、運(yùn)用類比思維的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

（一）類比數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)思路的三個(gè)階段

階段一：尋找類比源，教師通過(guò)整理當(dāng)堂所講內(nèi)容從教材中尋找類比源，然后根據(jù)學(xué)生已學(xué)習(xí)到的知識(shí)，在已有的學(xué)習(xí)體系結(jié)構(gòu)上建構(gòu)有類似屬性的新知識(shí)，這就是尋找有類似屬性的類比源。

階段二：尋找有效的類比條件。這一環(huán)節(jié)就是引導(dǎo)學(xué)生從舊的知識(shí)架構(gòu)向新知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移，也是一種類比的循序漸進(jìn)的模式。這一環(huán)節(jié)應(yīng)該先帶領(lǐng)學(xué)生做好過(guò)往知識(shí)的復(fù)習(xí)，然后在尋求突破口來(lái)尋找新知識(shí)與舊知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，最后將知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，這有助于學(xué)生的更深層次理解。

階段三：在教授了新的知識(shí)后，要對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證的內(nèi)容就是對(duì)類比結(jié)果的驗(yàn)證，證明新舊知識(shí)之間是否具有必然性，驗(yàn)證新知識(shí)與舊知識(shí)的類比結(jié)果是否具有可行性和可信性。如果類比結(jié)果出現(xiàn)異常，應(yīng)該重新驗(yàn)證過(guò)程，為學(xué)生理清思路，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解，關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)體系的架構(gòu)。

以上三個(gè)階段就是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入類比思維的抽象教學(xué)流程，它將觀察、比較、分析和聯(lián)想一一歸納于一體，然后通過(guò)類比思想提出了種種猜想并加以驗(yàn)證，具體情況結(jié)合數(shù)學(xué)題目具體分析，在教授新知識(shí)的時(shí)候重點(diǎn)以尋找它與舊知識(shí)的聯(lián)系作為切入思路，在喚起學(xué)生對(duì)舊知識(shí)回憶的同時(shí)，也加深了學(xué)生利用舊知識(shí)來(lái)解決新題目與鞏固新知識(shí)的積極性。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)相似性類比推理

高中數(shù)學(xué)公式較多且抽象，所以學(xué)生記憶起來(lái)會(huì)比較吃力。一般教學(xué)中只注重公式的推倒過(guò)程，卻忽視了給學(xué)生的實(shí)踐實(shí)踐。在新課改背景下，運(yùn)用類比思維進(jìn)行數(shù)學(xué)推理更能培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力，這其中就包含了歸納和演繹，是一種類比推理能力的綜合表現(xiàn)。比如說(shuō)對(duì)圓柱體體積公式的類比推理教學(xué)中就可以這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，如下：

首先要進(jìn)行類比教學(xué)的準(zhǔn)備程序，引導(dǎo)學(xué)生在已學(xué)過(guò)的知識(shí)體系中尋找到類比的“本源”問(wèn)題，在教師的問(wèn)題設(shè)計(jì)引導(dǎo)下來(lái)尋求公式的解決方式。比如說(shuō)在長(zhǎng)方體的體積計(jì)算過(guò)程中，教師就可以首先利用視頻演示來(lái)進(jìn)行相關(guān)的立體展示，幫助學(xué)生較為直觀的回憶起舊知識(shí)體系。

接下來(lái)就是類比教學(xué)的實(shí)施過(guò)程。此過(guò)程中，教師可以利用20本書進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手的同時(shí)也動(dòng)腦，較為直觀的看到兩個(gè)有效類比條件之間的關(guān)系，從而得到主體的體積計(jì)算公式。比如說(shuō)，將20本相似的書摞成兩個(gè)柱體，并讓學(xué)生將其中一摞書成斜向放置。此時(shí)教師就可以提問(wèn)這兩個(gè)由書形成的柱體雖然不同，但是體積有沒(méi)有發(fā)生變化，斜向柱體的體積計(jì)算是否可以用類似長(zhǎng)方體的體積展開公式計(jì)算呢？考察學(xué)生對(duì)于柱體變化之后，對(duì)公式的應(yīng)用和變通能力。

另外，教師也可以將硬紙才成圓形和三角形，并分別擺成相同的高度，形成兩個(gè)立體幾何體并展開提問(wèn)，求問(wèn)兩個(gè)幾何體是否是學(xué)生們所認(rèn)為的柱體？?jī)蓚€(gè)柱體的體積是否相等？并且給出依據(jù)。

這一類比思維下，學(xué)生能根據(jù)柱體本身的結(jié)構(gòu)相似性，通過(guò)課堂實(shí)驗(yàn)中的直觀感受，并借用長(zhǎng)方體的體積運(yùn)算公式進(jìn)行類比，思考兩種相同紙張，不同形狀的兩個(gè)幾何形狀之間的體積關(guān)系，最后得出結(jié)論。上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程就能驗(yàn)證出類比的結(jié)論，從而幫助學(xué)生加深對(duì)長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的深層次理解。

（三）具體的教學(xué)設(shè)計(jì)

應(yīng)用1

1.教學(xué)重點(diǎn)

利用類比思維融入到對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)理解與學(xué)習(xí)中，從而掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域，最終做到可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)來(lái)比較函數(shù)之間的大小。

2.教學(xué)策略

在此教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的輔助者，充分引導(dǎo)學(xué)生的自主能動(dòng)性，為他們滲透函數(shù)數(shù)學(xué)思想，鼓勵(lì)他們自覺(jué)的去發(fā)現(xiàn)類比思維在對(duì)數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用。最好以分組學(xué)習(xí)的方式，增加學(xué)生之間的互動(dòng)，從而增強(qiáng)他們的求知欲望。

3.教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程主要就是學(xué)生分組進(jìn)行小組內(nèi)的畫圖合作，探析類比歸納的性質(zhì)，并通過(guò)共同解決例題來(lái)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)。

4.教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

高中數(shù)學(xué)函數(shù)具有一定難度，學(xué)生往往在運(yùn)算中出錯(cuò)，所以應(yīng)該通過(guò)例題來(lái)考察學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的全面理解，尤其是對(duì)定義域與底數(shù)范圍的理解。

例題1 如果函數(shù)y=f[lg（x+1）]的定義域?yàn)椋?，99），此時(shí)求函數(shù)y=f[log2（x+2）]的定義域。

通過(guò)例題1，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)類比思考進(jìn)行復(fù)習(xí)，從函數(shù)定義域的角度讓學(xué)生重新回憶起對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的基本定義與定義域的性質(zhì)概念，結(jié)合舊知識(shí)解答例題1。

解：由于0應(yīng)用2

用類比思維教學(xué)滲透和引導(dǎo)學(xué)生以正確的方法進(jìn)行解題失分重要，它考驗(yàn)了學(xué)生自己探索和研究的能力。高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系講求不同的體系有不同的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，學(xué)生往往會(huì)形成知識(shí)點(diǎn)過(guò)于繁雜的厭倦抵觸心理，也很容易忘記之前學(xué)過(guò)的某些知識(shí)點(diǎn)，如果用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)將這些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，并找到他們的相似之處，就能夠讓新舊知識(shí)點(diǎn)形成新記憶，讓學(xué)生不容易忘記。

例如在不等式的學(xué)習(xí)中，有這樣的習(xí)題：當(dāng)x，y，z為區(qū)間（0，1）內(nèi)的值時(shí)，證明x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1成立。那么根據(jù)區(qū)間關(guān)系就能知道，如果（1-x）（1-y）（1-z）>0，就可以通過(guò)上述假設(shè)成立公式進(jìn)行結(jié)合，得到x+y+z-xy-yz=zx<1-xyz<1，用類比的思維將兩式聯(lián)合，就可以得到以上結(jié)論，左邊的公式恰好為假設(shè)公式中左邊的式子。

通過(guò)上述兩個(gè)例子可以知道，類比思維并不是一下就能形成的，而是需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的形成往往會(huì)因?yàn)橥饨绲沫h(huán)境影響而發(fā)生不同的變化，包括對(duì)自身的認(rèn)知與改變，所以要提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，就要靈活運(yùn)用類比思維，在打好學(xué)生高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入類比思維解題模式。類比思維是能夠形成創(chuàng)新性的最直接途徑，若能掌握它，學(xué)生也能從中得到新的啟發(fā)，并找到突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)瓶頸的捷徑。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活合理的運(yùn)用類比思維，對(duì)數(shù)學(xué)這種注重邏輯思維的教學(xué)來(lái)說(shuō)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果，還能夠充分鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 倪興龍.類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的運(yùn)用考述[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013（2）

[2] 杜長(zhǎng)固.類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)校外教育（上旬刊），2013（12）

[3] 肖娜.類比思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].華中師范大學(xué)，2014

（責(zé)編 羅汝君）