英國高中數學教科書矩陣代數內容介紹

劉明

[摘 要]矩陣是代數學的重要研究對象之一，也是數學以及其它領域研究與應用的重要工具。2003年頒布的《高中數學課程標準》增加了矩陣與變換的選秀內容。本文選取英國AQA版教科書中的矩陣代數內容，從知識呈現、例習題編制等角度進行比較研究，從微觀層面來考察英國初中數學教科書，尋找英國教科書是否有值得借鑒之處。

[關鍵詞]教科書；矩陣；變換；比較

[中圖分類號]G71 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）07 — 0171 — 03

1前言

《高中數學課程標準》頒布以來，矩陣與變換作為選修內容，正式進入了我國高中課程。而縱觀美英法德加日等發達國家的高中數學課程中均有矩陣、幾何變換的內容，這反映出矩陣、變換概念在現代高中數學知識結構中的不可或缺性，這些事實也為我國“矩陣與變換”的教科書編寫提供了橫向參考依據。

英國第六學級（以下稱為英國高中）相當于中國大陸高中階段高二和高三年級，第六學級結束后的A水平考試相當于中國大陸高考，矩陣內容在中國大陸高中屬于選修4-2的內容，并且屬于高考內容，英國矩陣學習內容在“進一步的純數學”（Further pure maths）模塊中學習，屬于難度較高的數學模塊，有志于報考包括劍橋、牛津等名校的學生需要選修這個模塊數學.現就英國高中AQA考試委員會編寫的A水平課本（以下簡稱英國教科書）Further pure maths中的“矩陣代數”一章進行介紹.

2英國教科書矩陣內容知識范圍及呈現順序

英國教科書“矩陣與代數”安排在“進一步的純數學”第一冊的第4章，由四部分內容組成，按照教科書呈現順序為矩陣概念與矩陣運算（加法、減法、乘法），求二階矩陣的逆矩陣，利用二階矩陣表示幾何變換，利用矩陣解線性方程組。具體目錄細節如表1：

表1

對照我國的《普通高中數學課程標準》，可以發現我國課標中的“矩陣與變換”與英國教科書的“矩陣代數”內容基本相同，我國只是多了矩陣特征值與特征向量這一內容。因此可以看出，本研究是具有可比性的。

3英國教科書編寫體例簡介

英國教科書是由章前言與題圖、正文、習題、綜合習題、小結構成。其中正文包括概念與例題。可以看出英國教科書與我國教科書的編寫體例也是相近的。

英國教科書每章前言與題圖安排在一頁。該頁的上部分為本章學習目標（objectives），以開門見山的形式，使學生在學習之前了解該章內容學習的方向。學習目標下面是該章題圖，但是此題圖畫了兩個超人（如圖1），與本章內容并沒有必然聯系。題圖的右下部分則是本章內容簡介。我國教科書每章第一頁也是由題目與前言組成。可以發現在編寫體例形式上，兩國教科書是一致的，但是我國教科書題圖會和本章內容相關，從教育心理學的角度來講，這樣做起到先行組織者的作用，使得學生對于本章內容有個大致了解，

有利于學生的學習。可以看出在章前言與題圖的設計上，我國教科書優于英國教科書。

英國教科書正文是由定義、命題與例題組成。總體來看，英國教科書在正文中直接給出定義或命題，然后就是例題。而中國的教科書往往會安排一些導入的環節，如觀察、操作、探索、歸納等等。英國教科書中例題的編排最大特點是加入了很多旁白。這是中國教科書沒有的。有了旁白，更能有助于指導學生分析題意、解答例題的思路，更適于學生自學。這樣的編排是由于我國教科書的。

英國教科書習題的設置與我國教科書基本一致。

總體來看，英國教科書的編寫體例與我國教科書是一致的，只是具體細節處理會有差異，在綜合教科書內容，兩套教科書的比較是可行的。下面就從知識呈現，例題習題的設置這兩個角度進行具體的分析。

4英教科書知識呈現結構特點

如果單獨考慮矩陣知識內容的安排，英國高中數學教科書基本上是按照矩陣概念矩陣運算逆矩陣矩陣的應用（表示幾何變換、解線性方程組）安排的。

英國教科書中每節都有相對固定的知識呈現結構和學習順序：新概念（或性質、定理）→舉例→習題訓練.在知識呈現方面最大的特點是開門見山，直接給出概念，沒有任何引入的內容。使得學生直接面對本節基本概念、性質或公式，簡潔明快。以4.1節“找矩陣維數（You can find the dimension of a matrix）”為例，教科書在章節標題下直接給出矩陣的概念“矩陣可以看成一張數表，并且有不同的形狀”，之后便給出判斷矩陣維數的方法與矩陣的表示方法。給出定義后便是例題，通過例題來鞏固所學的知識。

可以看出英國教科書更類似于大學教學課的編寫風格。這與我國教科書是不太類似的。這可能與AQA教科書“矩陣與代數”內容安排在“進一步的純數學”（Further pure maths）模塊中學習有關，因為該書相當于大學先修課程，因此在排版上也與大學教材相近。這樣安排雖然簡明，但是從學生學習的角度來講并不是很好。因為教科書面對的畢竟是中學生，他們的抽象運算水平還沒有達到大學生的高度。另外這樣引入矩陣的話，學生很難理解到矩陣的用處。雖然矩陣的重要用途，如可以用來表示線性變換，或者在群表示論中有著至關重要的作用。這些用途會隨著學校的不斷深入而逐漸顯現，學生也會加深對矩陣的認識。但是從學習心理學的角度，從動機的角度而言，教科書還是應該先給出一些矩陣的來源為好。如國內教科書那樣，先介紹一些矩陣的來源，如線性方程組、經濟學中表述投產出等問題都可以用矩陣來刻畫，這樣才會使學生了解到矩陣這個重要的概念不是從天而降的，而是有著重要來源的。這樣的安排的好處，既可以讓學生了解實際問題是產生數學理論的源泉，數學是為了解決實際問題的重要工具。這樣學生才能會有興趣去學習矩陣這部分內容，起到激發學生興趣，促進學生學習的作用。

雖然英國教科書矩陣代數內容的后半部分安排了矩陣在幾何變換和解線性方程組的作用。但是出現過完，如果學生一開始就沒有被矩陣內容所吸引，那也難認真去學習后續內容了，自然也體會不到矩陣的精華之處。可能就是記住了矩陣是一個數表。

5例題和練習及習題特點介紹

英國教科書例習題最大特點就是題量大，全章共有24個例題，70個習題。對比兩國教科書的例題，可以發現，我國教科書中的例題基本上都是對所學的知識的應用與鞏固，但是沒有引出新知識的功能。英國教科書則具備了這兩個功能，既能對所學的知識進行練習鞏固，進一步加深學生對所學知識的理解。而有的例題則是為了進一步引入新知識。下面分別說明。

例題的第一功能是對剛學過知識的鞏固與應用。通過例題提出與剛剛介紹的概念、性質或公式相對應的問題，隨后給出該問題的詳細解答步驟（solution）.這樣的例題和解答可能只有一組，也可能兩組以上，這要根據該性質或概念的難度來確定.如4.1矩陣的維數這一節就只有一組例題，而4.5用矩陣描述線性變換就安排了4組例題，并且每組例題中有若干小題。

例題的另外一個功能就是引出新知識。由于英國教科書每一節沒有引言，直接給出概念。這樣雖然簡介明了，但是減少了數學知識發生的過程。很難給學生展示觀察、操作、歸納、抽象、猜想這樣的數學過程。而這些正是在數學學習、研究中至關重要的。因為學生學習數學不僅僅是學習知識，更重要的是掌握學習數學、研究數學的方法。日本著名數學教育家米山國藏曾經說過，學生學完數學，多年之后，知識都會遺忘，而留在頭腦中的，則是重要的數學方法。但是如果教師在教學中不重視數學思想方法的教學，教科書中也不注意呈現數學思想方法，那么多年之后，對于那些不再學習數學，或者從事和數學相關的職業的學生，可能就什么數學知識也剩不下了。那么教科書以怎樣的形式編排才能更好的促進學生掌握數學思想方法呢？一般來說有兩種編排方式，一個是通過引言、觀察、探索、思考的方式得出概念、命題等。另外就是在例題中滲透這些。這兩種編排方式各有利弊。放在每節的引入部分，可能不易引起學生和教師的關注。而放在例題中，那么教師和學生必然會對此重視，在教師講解與學生做題的情況下，潛移默化的將學習數學的方法傳授給學生。英國教科書以例題形式來滲透數學思想方法的。

以例題8為例，該題安排在4.4節矩陣乘法中。該節開始只是給出了矩陣乘法的法則，而沒有給出矩陣乘法的形式。矩陣運算與實數運算是有很大不同的。即矩陣運算不滿足交換律，但是滿足結合律。于是教科書安排了例題7與例題8，通過具體矩陣的運算讓學生去感受、總結這些性質。

另外，英國教科書中例題是統一排序的，即本節例題的題號會承接上一節最后的例題，這樣可以清楚的看出矩陣代數一章共有24道例題。另外英國教科書會根據每節所涉及的知識點的數量及難易程度來安排例題和習題的數量。在4.1-4.4節，例題和習題全是矩陣的計算題，到了4.5節后，由于介紹了矩陣與線性變換的關系，開始出現證明題和較復雜的計算題（如求表示線性變換的矩陣、描述矩陣所代表的幾何變換的含義等）。英國教科書中例題的特色在于其例題的解題的解題過程屬于推理分析型的，一邊推理分析一邊解題，讓人隨著分析過程一步步走到結果出現，思路很清晰。可以明顯的看出這樣的排版方式非常利于學生學習。

英國教科書的習題分為兩類，習題和混合習題分別相當于中國教科書中的習題和復習參考題。英國教科書中的習題不是每節都有，矩陣代數一章共11節，但只有10個習題，第一節因為內容很簡單，沒有安排習題。英國教科書其他章節也有這樣的特點。習題（exercise）沒有根據難度分組，有計算、證明、畫圖等各種題型，涉及該節知識點的各個方面.每個習題有練習題數量不等，用來鞏固對該節知識的學習，同時也檢驗了學生對該節知識的掌握程度.英國教科書題目類型較單一，基本不涉及具體情境，也沒有任何圖案。

章末有一個混合練習題組，涵蓋本章所有知識點的內容，是對該章知識的總結和復習，沒有明確按照難度分組，但是從題的難度和題型看，難度略高于前面的活動題和練習題。

6啟發和思考

6.1英國教科書內容呈現和表達方式與學生認知特點

英國教科書的編寫只是簡單的定義、性質加例題加習題的形式，相當于把大學數學中的二階方陣的知識下放到中學。如果閱讀一些大學線性代數或者高等代數教科書，可以發現與大學教科書的風格是很類似的。對于矩陣的引入沒有任何說明。這樣編寫時不符合高中生的認知結構的。編寫者并沒有進一步的考慮如何編排教科書才能使得學生更好的掌握、應用矩陣。學生只是知道了矩陣的運算，矩陣可以表示幾何變換，可以用來求解線性方程組。沒有體現出數學知識的產生過程，也沒有更好的體現出矩陣的應用價值。

6.2教科書難度和容量適中

英國的“進一步的純數學”（Further pure maths）是一套難度很大的教科書，在這套教科書的第二冊中已經涉及了二階常微分方程、泰勒級數等高等數學知識。其他的一些章節，如復數、數學歸納法，是我國教科書中也有的，知識容量以及難度都不如英國教科書。但是矩陣這部分內容，中國教科書與英國教科書相比，多介紹了切變變換、初等變換、初等變換矩陣、矩陣的特征值與特征向量等知識內容。這些內容，尤其是矩陣的特征值與特征向量，都是較難的內容。因此可見英國教科書矩陣代數部分難度與容量是適中的。英國教科書按照純數學形式編寫教科書，沒有將任何實際生產、生活情境融入教科書中。

6.3英國教科書章首呈現本章學習目標的預覽模式有利于學生自學

英國教科書在章首列出該章學習目標（objectives），讓學生學習新內容了解本章主要學習內容、重點內容、以及各個知識點的呈現順序、各個知識點之間的基礎和提高之間的邏輯關系，同時也讓學生剛開始就了解到該章內容的各個知識點需要掌握的程度，很大程度上有利于學生對整章內容提前有一個總體的認識，同時還可以按照目標要求中所列的針對不同知識點的不同掌握程度有重點地進行學習，提高學習效率，也有利于提高復習效率，不至于造成沒有重點地學習，這種知識呈現模式顯然有利于學生對照目標進行自學.中國教科書知識在目錄中體現出要學習的內容，但是體現不出重難點。英國教科書這一點值得我們借鑒。

6.4英國的純數學形式編寫使得教科書更加簡明

從英國AQA高中數學教科書知識呈現形式看，該教科書與中國20世紀80年代使用的以俄羅斯中學數學教科書為藍本的高中數學教科書編排方式相似，很少有實際應用背景知識出現，同時在習題中也很少看到應用題或數學模型題的出現，完全不同于中國現行高中數學新教科書的模式。這樣編寫教科書的最大特點就是一目了然，簡潔明快。前面談到了我國教科書編寫的特點與優勢，但是這樣編寫出的教科書有顯得過于厚重。同樣是矩陣內容，英國教科書只用了36頁，而我國教科書卻用了111頁，這樣在教學中又增加了教師的負擔。能否保留我國現在編寫教科書的特點，同事吸收英國教科書簡潔明快的風格，是一個值得繼續探討的問題。

〔參 考 文 獻〕

〔1〕中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕普通高中課程標準實驗教科書，矩陣與變換（選修4-2）〔M〕.北京：北京師范大學出版社，2007.