直線與平面垂直、平面與平面垂直的幾何直觀教學研究

趙曉玲

【摘要】 立體幾何的教學中，我們往往會忽視幾何直觀，而強調其他方面. 幾何直觀是立體幾何最本質的優(yōu)勢，我們要重視對學生進行幾何直觀的應用意識的培養(yǎng). 本文是針對直線與平面垂直、平面與平面垂直的幾何直觀方面的教學研究.

【關鍵詞】 直線與平面垂直；幾何直觀；平面與平面垂直

在立體幾何的教學中，我們教給學生很多方法，比如：把立體幾何問題轉化為平面問題，運用圖形語言、符號語言等等，卻往往忽視立體幾何本身的優(yōu)勢——幾何直觀. 教學中，如果我們在重視幾何直觀的基礎上，再強化其他方面的做法，將會加強學生對所學知識的理解.

下面我想談談我在必修2立體幾何部分關于垂直的教學及輔導中，指導學生操作的幾個觸手可及的幾何直觀對學生理解直線與平面垂直的定義和判定定理以及面面垂直所起的作用.

首先談談人教A版必修2第二章2.3.1直線和平面垂直的判定這一節(jié)內容的教學. 教參上關于這節(jié)所設定的教學重點是：直觀感知，操作確認，概括出直線和平面垂直的定義及判定定理. 課本上關于直觀感知和操作確認方面設計了兩個實例，一是通過旗桿和它的影子的例子來概括定義，二是通過折紙來探究判定定理. 我覺得這兩個實例，學生不容易操作，理解起來比較困難. 于是，我自己設計了幾個便于學生操作和理解的幾何直觀，簡單易行，說出來和大家共享.

一、關于直線和平面垂直的定義的理解

建議學生每人拿出一個三角板（或一把格尺，只要帶一個直角的尺子即可），把其中一個直角邊貼在桌面上，另一個直角邊豎直立在桌面上，感受到直線（即豎直的直角邊）與平面（桌面所在的平面）垂直，且平面內有一條與之垂直的直線（即桌面上的直角邊）. 將該貼在桌面的直角邊繞豎直的直線旋轉一周，就知道豎直的直線和桌面上所有過垂足的直線垂直. 桌面上其他位置的任何一條直線一定會與過垂足的某一條直線平行，于是，直線就與桌面上任一直線都垂直了. 經過這樣的操作確認，學生們就真切地感受到如果直線和平面垂直，則該直線就和平面上任一直線都垂直，沒有一條例外. 因此，可以這么定義：如果一條直線與平面內的任一直線垂直，則這條直線和這個平面垂直. 通過這樣的直觀感知和操作確認，學生對線面垂直的定義的理解就會較為深刻了.

二、對直線與平面垂直的判定定理的探究

如果用定義判定直線與平面垂直，需要判定直線與平面內任一直線垂直，麻煩，使用起來很困難，于是，我們就希望被判定的直線的條數(shù)越少越好. 探究：1.如果直線與平面內的一條直線垂直，能判定這條直線和這個平面垂直嗎？學生容易回答說，不能. 要求舉反例說明的時候，學生就容易舉平面內的一條直線. 進而引導學生思考，如果直線和平面相交，但不垂直，平面內能找到與這條直線垂直的一條直線嗎？如果學生抽象地去想，那么他們得出正確的結論很困難. 這時，指導學生用帶直角的尺去操作一下. 有的同學能找到，按如下操作方式：其一直角邊貼在桌面上當直線，另一直角邊與桌面相交但不垂直，這樣學生就理解了：在平面內能找到平面的斜線的垂線. 再讓每名同學動手操作一下體會體會. 平面內存在平面的斜線的垂線，這是學生對垂直概念理解的一個難點. 通過這種操作，能加深學生的理解和認識. 2.如果直線與平面內的兩條直線垂直，能判定這條直線和這個平面垂直嗎？如果是兩條平行線，不行. 由探究1知，有一條，通過平行，就會有兩條，進而有無窮多條. 這樣，也理解了定義中不能把“任一條”換為“無窮多條”，因為有一條，通過平行，就會有無窮多條. 如果是兩條相交直線，行. 設計這樣一個操作：請同學們隨意拿一本書，從某頁翻開，立在桌面上. 由于每頁都是矩形，書脊所在的直線垂直于桌面上的兩條相交直線，書脊所在的直線就和桌面垂直. 學生能直觀感知書脊所在的直線與桌面上的兩條相交直線垂直，就與桌面垂直. 如何理解呢？如果把打開的兩頁書在桌面上繞書脊旋轉一周，就會導出和任一條直線垂直了，從而用定義可以解釋了. 關于此定理的嚴格證明，課本不要求，以后可以用空間向量來證.

在輔導答疑時，學生對有些問題想不明白的時候，我也時常設計一些觸手可及的幾何直觀幫助他們來理解相關的問題. 比如學生問了這樣一個問題：一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是 （ ）.

A. 相等 B. 互補 C. 相等或互補 D. 不一定

此題抽象地思考不容易得到解答，我設計了這樣一個幾何直觀：在教室內很容易找到三個互相垂直的墻面，其中一個墻面是窗戶所在的平面，一個是地面，一個是黑板所在的平面. 取地面和黑板所在的平面形成一個二面角1，打開窗戶，窗戶和它所在的墻面形成一個二面角2，這樣兩個二面角符合題目條件：一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，二面角1的大小是90°，二面角2的大小隨著窗戶的開合，大小是不同的，可能互補，可能相等，也可能既不互補也不相等，因此選D.這個幾何直觀把窗戶所在的平面換成門所在的平面也可以. 通過這個幾何直觀，學生理解起來就容易多了.

幾何直觀是立體幾何最本質的優(yōu)勢，在教學和輔導中，教師要有意識地引導學生從他們的生活經驗出發(fā)，把幾何圖形與所學內容聯(lián)系起來，使他們充分利用觸手可及的幾何直觀，有效地發(fā)展他們的空間觀念，從而形成應用意識，加深對所學內容的理解. 學生手中的筆和尺，教室中的墻面、地面、桌面等都可以作為立體幾何的幾何直觀.

【參考文獻】

普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書A版《數(shù)學》必修2《 教師教學用書》[M].北京：人民教育出版社.