論數(shù)學(xué)教學(xué)中的概括和抽象

陳千金

【摘要】：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概括與特殊化、抽象與具體化、分析與綜合是非常重要的研究方法，在此過程中融合成一個(gè)整體，在思維過程中互相作用，互相滲透。在向?qū)W生進(jìn)行解答習(xí)題的教學(xué)過程中，對(duì)于內(nèi)容相當(dāng)豐富的習(xí)題仔細(xì)地進(jìn)行分析，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過分析進(jìn)行概括，通過抽象認(rèn)識(shí)具體，使學(xué)生很快掌握同類問題的一般處理方法。

【關(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)教學(xué) ?概括 ?特殊化 ?抽象 ?具體化

在向?qū)W生進(jìn)行解答習(xí)題的教學(xué)過程中，經(jīng)過分析進(jìn)行概括，通過抽象認(rèn)識(shí)具體問題具有很大的意義。對(duì)于內(nèi)容相當(dāng)豐富的習(xí)題仔細(xì)地進(jìn)行分析，有可能使學(xué)生很快掌握一類問題的一般解法。在傳統(tǒng)的教學(xué)法中，通常是利用對(duì)許多特殊的問題進(jìn)行分析和比較的辦法來掌握一般的解題方法的，也就是在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括。

一、概括在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行概括時(shí)，在思維中會(huì)顯現(xiàn)屬于對(duì)象集合而且將這些對(duì)象結(jié)合任一起的某一種性質(zhì)。例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)（即第n項(xiàng)）公式時(shí)，先討論幾個(gè)具體的例子;根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差計(jì)算它的一些項(xiàng)。在進(jìn)行這些計(jì)算時(shí)，學(xué)生用到下列等式：a2=a1+d;a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d;a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，等等。自然，由這些式子概括為一個(gè)公式an=a1+（n-1）d是有用的，因?yàn)槔盟梢缘玫接?jì)算等差數(shù)列任意項(xiàng)的比較簡(jiǎn)單的方法。以后，當(dāng)我們把任一等差數(shù)列看作是自變量為自然數(shù)的線性函數(shù)時(shí)，這個(gè)公式還會(huì)得到新的概括：y=kx+b。

概括是由給定的對(duì)象集合進(jìn)到討論“容量”更大且包含前者的集合的中間過程。例如，當(dāng)我們由討論自然數(shù)集過渡到討論正分?jǐn)?shù)集時(shí)。我們就是在進(jìn)行概括。下面兩種情況可以導(dǎo)致概括：1）將某一固定的對(duì)象換成可變的對(duì)象;2）取消對(duì)被研究的對(duì)象所加的限制。

二、數(shù)學(xué)概括與特殊化過程

與概括的過程緊密相連的特殊化過程，是在思維中從被研究的對(duì)象的各種性質(zhì)中分離某一種性質(zhì)。

例如，從菱形集合中分離出對(duì)角線相等的菱形，我們就得到正方形。可以說，特殊化是由給定集合進(jìn)到討論包含于它的集合的中間過程。

例如，當(dāng)我們由討論正分?jǐn)?shù)集過渡到討論自然數(shù)集時(shí)，我們?cè)谶M(jìn)行特殊化。將變量換成常量（數(shù)n一數(shù)7），或者對(duì)被研究的對(duì)象增加限條件（三角形一等腰三角形），自然會(huì)導(dǎo)致特殊化。我們把由分析得出的概括看作是學(xué)生形成理論思維的方法，而將由比較的結(jié)果得出的概括看作是形成經(jīng)驗(yàn)思維的方法。利用前面關(guān)于數(shù)列的例子，可以對(duì)這兩種概括作一些說明。實(shí)際上，學(xué)生分別對(duì)每一個(gè)已知數(shù)作了分析（然后再作比較）以后，就會(huì)揭示其中某些數(shù)列都具有的重要性質(zhì)，利用這一性質(zhì)可以將這些數(shù)列歸并為特殊的一類，即等差數(shù)列，而且由此可以作出概括—形成數(shù)列的定義。

“已知多邊形在一個(gè)平面上的投影的面積如何求出這個(gè)多邊形的面積”的問題，常常被用來作為由分析得出概括的有說服力的例子。我們以求三角形的面積為例子，通過討論所得出的公式很容易推廣到這樣一類問題，即求多邊形面積的一類問題。因此，在分析的基礎(chǔ)上產(chǎn)生概括的知識(shí)，它可以轉(zhuǎn)而應(yīng)用于各種具體的情況。由此可見，經(jīng)過分析進(jìn)行概括，是用形成理論思維的方法揭示解答給定的一個(gè)習(xí)題（問題）的過程中最重要的性質(zhì)的有力工具。

三、抽象在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

由于從所研究的事物中抽去非本質(zhì)的東西，以及由于概括簡(jiǎn)化了對(duì)現(xiàn)實(shí)世界常常表現(xiàn)為各種各樣的事物的研究，結(jié)果在人的意識(shí)中形成概念，這種認(rèn)識(shí)過程中的意識(shí)結(jié)構(gòu)，稱為科學(xué)的抽象。人在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)的事物過程中如何構(gòu)造它們的抽象模型的方法，同時(shí)也是一種教學(xué)方法，用它可以引導(dǎo)學(xué)生了解組成數(shù)學(xué)這門學(xué)科的那些思想，特別是可以用來說明線、面、體等重要幾何概念的意義。

同分析和概括一樣，抽象可以表現(xiàn)為兩種不同的形式。第一種形式出現(xiàn)在對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)過程中，就是在對(duì)事物的感性知覺過程中，我們可以帛去事物的一些性質(zhì)，而特別注意對(duì)象的其他性質(zhì)。例如，當(dāng)我們將一個(gè)對(duì)象看作幾何體時(shí)，我們僅僅注意它的形狀，大小，在平面或空間的位置。第二種形式，以這種形式出現(xiàn)的抽象的特征是它已經(jīng)超過一般感性認(rèn)識(shí)的范圍。這種抽象不僅僅是將事物和現(xiàn)象的種種性質(zhì)匯集在一起，而且對(duì)它們作了改造。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何課程中關(guān)于按照角度的大小將三角形進(jìn)行分類的問題時(shí)，學(xué)生會(huì)運(yùn)用“三角形”這個(gè)抽象概念，抽象出三角形“有不等的邊”的性質(zhì)。這個(gè)例子說明抽象具有兩面性。抽象的否定的方面是在抽象過程中舍棄了被研究的事物的某些性質(zhì)（上例中舍棄了三角形邊的性質(zhì)）。但是，當(dāng)我們舍棄這些性質(zhì)時(shí)，我們同時(shí)也就可以分離出對(duì)于我們具有重大意義的其它性質(zhì)（上例中強(qiáng)調(diào)的是三角形的角度大小）。

因此，抽象就是在思維中舍棄所研究的事物的某些非本質(zhì)的特性，揭示其本質(zhì)的特性。抽象是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一種最重要的方法，也就是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種方法。為了使學(xué)生掌握這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，必須經(jīng)常強(qiáng)調(diào)（和說明）它在學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用。例如，當(dāng)我們按照函數(shù)方程Vt=V0+at研究物體運(yùn)動(dòng)的速度，按照方程Mn=M+a·n研究產(chǎn)品的成本，我們抽象出速度、成本這些概念，得出函數(shù)f（x）=ax+b。當(dāng)我們研究函數(shù)f（x）=ax+b及其性質(zhì)和圖像時(shí)，我們注意到與關(guān)系式Vt=V0+at，Mn=M+a·n相聯(lián)系的現(xiàn)象所具有共同本質(zhì)，也就是說，在研究函數(shù)f（x）=ax+b過程中所得到的結(jié)果，可以用其他科學(xué)的語(yǔ)言表述出來，而且可以應(yīng)用于實(shí)際。

與抽象過程相反的是具體化過程。具體化是片面地注意所研究的事物的某一個(gè)方面，而不考慮它同事物的其他方面的聯(lián)系的一種思維活動(dòng)。具體化可以作為直觀描述，也可以作為一個(gè)抽象法則的驗(yàn)證，也可以作為某一性質(zhì)在具體條件下的應(yīng)用。在教學(xué)的最初階段，教師可以而且應(yīng)當(dāng)使學(xué)生注意抽象質(zhì)（這就意味著也要注意數(shù)學(xué)的本質(zhì)）。看來，做到這一點(diǎn)并不難。實(shí)際上，甚至簡(jiǎn)單的等式5×3=15也可以清楚地說明抽象的本質(zhì)。教師對(duì)學(xué)生說：我們來考慮這樣一個(gè)問題，5×3=15這個(gè)式子表示的是什么意思，它反映了什么具體的內(nèi)容？學(xué)生會(huì)將易地回答這個(gè)問題，說：5×3=15可以表示三支鉛筆的價(jià)長(zhǎng)，一個(gè)人步行三小時(shí)的路程，長(zhǎng)方形地塊的面積，等等。

應(yīng)當(dāng)注意，概括、特殊化、抽象、具體化、分析、綜合、比較、觀察和實(shí)驗(yàn)。在科學(xué)研究（以及教學(xué)）過程中融合成一個(gè)整體，在思維過程中互相作用，互相滲透。這些科學(xué)研究的方法，只有在學(xué)習(xí)它們的過程中，才有可能恰當(dāng)?shù)貙?duì)它們分別進(jìn)行討論。