《托馬斯微積分》的特點及對中國高職教育的啟示

盧小瑞

【摘要】本文分析了美國微積分教材《托馬斯微積分》的特點，比較了中美教材之間的差異，探討并提出了我院《經濟數學與模型》的改革思路從教材改革起步，把數學職業教育與數學建模、經濟應用有機結合起來，引領學生利用數學思想方法來解決實際問題.

【關鍵詞】托馬斯微積分；特點；啟示；比較；實踐

中國高職數學教育的課程設計要求“以專業需要為依據、知識應用為主線、創新思維為導向、人才培養為目標”，以“必須、夠用”為目的，開設了數學基礎課《微積分》.現行教材跟《托馬斯微積分》比較起來，突出區別是美國教材更注重培養學生的學習興趣和實踐應用能力，這恰恰是我國高職教材嚴重缺乏的.下面從《托馬斯微積分》的教材特點來印證以上觀點.

一、《托馬斯微積分》的特點

（一）數學理論與現實應用相結合

《托馬斯微積分》教材中給出了1000多個數學問題，來自于現實應用的各個領域.例如在P314講解數學中的因變量對自變量的微分，以打開受阻塞的動脈為例，給出了血管造影術和成形術的說明，引用了法國醫師和生理學家制定的圓管內液體層流速度的公式，并加入了兩張醫學上應用的關于血管造影術和血管成形術的原理圖，得出了流體以固定的壓力在單位時間內流過的細管的體積V等于一個常數乘以管半徑r的四次冪，即V=kr4，問半徑r增加10%對V的影響有多大？從數學的角度看，這個醫學問題是用微分、導數來估計變化率，計算起來比較簡單，但是這種跟實際問題緊密結合的數學問題讓學生了解了醫學，學會了數學，掌握了應用.類似的例子很多，如涉及幾何背景的習題——最佳圍欄規劃、收集雨水、海報尺寸設計等；涉及物理應用的習題——矩形木質梁的強度、無摩擦的手車、馬口鐵害蟲等；解決商業和經濟學問題的習題——銷售背包、旅游服務、極小化平均成本等； 醫學領域的習題——對藥物的敏感性、我們怎樣咳嗽等等.

從例題到課后習題，都在實際問題的應用背景中講解數學概念和原理，即通過解決現實問題來提高數學學習的目的性、趣味性，又拓寬了學生的知識視野，體現了數學理論的實踐價值，對促進學生的學習積極性主動性大有裨益.

（二）“問題驅動式”的內容安排

美國教材的每個主題都從幾何、數值、分析、語言四個方面進行闡明，應用阿基米德方法即“問題驅動式”的內容安排方式，盡可能地從實際問題出發，根據對實際問題的探究，自然而然的得出概念的定義與解決方法.這樣更符合由易到難、由具體到抽象的思維認知規律.

例如P95講變化率的問題：先講解求平均速度、求瞬時速度的例題，用代數的方法確認瞬時速度，在幾何上畫圖說明平均變化率就是割線的斜率，然后給出平均變化率的數學定義.再以一個實際問題“擋熱罩的溫度變化”著手，從這個具體的溫度函數圖像入手分析，順理成章的得到溫度的瞬時變化率，給出函數極限的非正式定義，進一步舉例，然后給出極限的嚴格數學定義.托馬斯教材中，極限的定義做了兩次處理，從直觀定義過渡到精確定義，教材處理較費時，但極限概念的兩次處理方法有利于學生接受和教師教學時靈活處理.

（三）題型豐富、內容有趣、數量龐大

《托馬斯微積分》大約有6000道練習題， 練習題量大但不同于我們認知中的那種題海，每一道題都有作者出題的意圖，50%以上是關于實際應用的.美式教材的編者在習題配置和選材上頗費心思，題目風格多樣.題目設計的指導思想：立意活潑，強調應用能力，有很多不那么 “正規”的數學題，內容和形式都很新穎，內容涉及面廣，給人印象深刻.本文以《極限與連續》一章為例比較中美微積分教材中習題數量與質量的區別.

（四）尊重知識產權，重視數學史素養

在《托馬斯微積分》中所有引述實例或者采納有實際背景的資料都注明出處，真實可信，使學生對所學知識有真實感，也潛移默化地培養了學生尊重知識產權，養成寫文章必須注明資料來源的良好習慣.重視數學史，重視數學素養教育.在教材所附光盤中，包含了微積分發展年表、微分方程發展專題，一百多位大數學家的傳記.介紹杰出數學家，介紹數學發展的歷程中每個階段數學家們考慮的重大問題.有關歷史的教學單元可以作為講課的補充材料或用于學生的課外活動.這些教學單元是了解數學思想和數學方法來龍去脈、論述課題的極好原始材料.

二、《托馬斯微積分》對中國高職數學教育的啟發

（一）內容豐富，結構編排流暢.首先，國內微積分教材體系比較單一，內容趨同，美國教材提供了一類差別較大的參照教材，有較強的互補性；其次，美式教材內容的現代化、時代性、取材的豐富性、趣味性、內容的應用性（包括學科的交叉性）、習題配置的多樣性等等都值得我們借鑒；最后，教材內容的立體化建設，美國同行提供了不少寶貴經驗和得失，包括教學資源如何實現電子化、網絡化，教學資源如何恰當使用，教材內容如何為現代教學手段搭建便利平臺等.

我們的教材建設不僅應當考慮數學課程的知識性、系統性、邏輯性和應用性，還應考慮對學生的啟發性，趣味性和探索性.對高職學生而言，教學內容中刪減一些純數學理論和代數運算的習題，增加有實際背景的習題，增加數值題、圖形題、探索題、交叉題、與計算機結合的小課題等等.選好題、講好題、用好題是教學中的重要環節，這一部分是吸引學生、培養學生興趣的主要部分.最近，筆者看到一本應用性很強的高職教材《經濟數學》（主編：劉洪宇，中國人民大學出版社出版，2012年），這本教材可操作性很強，是教材改革中出現的融知識性、趣味性于一體的好教材，但就例題習題的深度廣度上還有改進的余地.

（二）重視應用，強調思維訓練.數學學習是一種數學思維的培養過程.堅持數學教育主要是教會學生“數學的思維”.中國的職業教育一直提倡實踐能力的培養，借鑒于美國微積分的教學內容，高職的數學教材要鮮活起來，調動學生的興趣，讓學生勤于動手，把數學建模思想融入到課本中，讓學生的積極體驗多一點，學習平臺多一點，在合作中解決實際問題，從而形成一定的應用能力及實踐能力.中小學數學改革正致力于從“學數學”到“做數學”的過程中，日本著名數學家小平邦彥在《一個數學家的妄想》中提出“數學是一門感覺的學問”.教材若能激發學生的數學感覺，學生主觀能動性的發揮對學習數學是大有裨益的.我們高職教育能否更進一步，我想主要是從解決實際問題入手，在培養學生動手能力、提高學生職業發展潛力上下功夫.

（三）更新理念，重視專業融合.美國微積分教學沒有全國統一的文件，但是看一下所謂AP計劃所設定的一元微積分教學要求，大致反映了美國大學普通微積分的教學水平.中美教材中知識點要求基本差不多，但對教學內容的提法和要求與我們是有較大區別的.我們應注意更新教材內容，及時反映現代科技發展成果，不絕對強調統一教材統一指導，各院校根據自己的科研教學實際，有調整的完成微積分教學內容.我們應加強數學思維和方法，數學發展過程的講解，只教會學生做純粹的數學題毫無意義.我們要重視數學在現代科技進展中的應用，重視數學課程與專業課程的相互融合.這種側重數學思想和方法，側重解決實際問題的教學理念正是我院《經濟數學與模型》課程改革的著力方向.

三、 結語

目前社會各行業都急需大量的高素質職業技術人才，國家對職業技術教育質量高度重視，高職數學教育要切合時代發展，以培養職業素養為導向，抓住數學內容的應用性與趣味性，有機的融入經濟數學教學內容中.社會生活中的數學無處不在，找到數學和職業技術培養的切入點，改革后的高職數學課程將會給人耳目一新的感受.

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