把握操作契機，促進概念內涵與外延的有效對接

黃麗華

摘 要 概念是反映事物本質屬性的思維形式，數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。每一個數學概念都有其確定的內涵和外延。在數學概念教學中，要重視概念教學的每一個環節，把握操作契機，促進概念內涵與外延的有效對接。

關鍵詞 概念教學 操作 內涵 外延

中圖分類號：G622.42 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）11-0062-03

數學概念盡管是抽象的，但它反映了現實世界的數量關系和空間形式，只有概念理解了，才能進行有效的數學思維活動和判斷、推理，這就需要理解概念的內涵與外延。因此，在數學概念教學中，要重視概念教學的每一個環節，把握操作契機，為學生創設自主、合作、探索的學習機會，提供自主學習、有效思維和積極體驗的時間和空間，把學生從單一的書本、封閉的課堂中解放出來，讓學校在活動中、操作中輕松地學習，促進概念內涵與外延的有效對接。

【片段一】動手操作，探索發現

出示7個三角形：

師：這些都是？它們有什么共同的特征？

生1：它們都有三條邊，三個頂點，三個角，

生2：它們都是封閉圖形，具有穩定性。

生3：……

師：那它們完全一樣嗎？

生1：它們的角的大小不一樣。

生2：它們邊的長短也不一樣。

師：那你能根據這些不同，按一定的標準給這些三角形分分類嗎？請根據要求，倒出信封里的三角形動手分一分。

投影出示合作要求：

小組合作要求：

1.根據一定的標準獨立分類。

2.小組內說說你是怎么分的。

【思考】《數學課程標準》指出：“數學學習活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上”，數學課堂教學對有著不同理解能力的學生來說，從他們自己的已有知識和經驗出發，總能有一份屬于自己的發現和收獲。從平時的教學中發現，學生對直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形都有一個模糊的認識，但不會運用準確地語言進行表達。

依照傳統的教學方法是先出示分類學習表格：

根據表格讓學生先把三角形的三個角量一量，統計出直角、鈍角、銳角的個數，再根據直角、鈍角、銳角的個數的特點給三角形按角進行分類。按邊分的時候也是先測量每條邊的長度，從而得出三條邊都相等的三角形是等邊三角形和有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。而我在課堂教學中，讓學生自己動手操作，比一比，折一折等在學生獨立思考的基礎上進行小組合作交流讓學生的思維由感性認識上升到理性認識。

因此本節課伊始，我直接給每個學生7個具有代表性的三角形：通過讓學生動手折一折、量一量、分一分等多種形式的實踐操作豐富強化學生的感性認知，讓學生的產生認知沖突，以激發學生的探究欲望，從而磨礪思維品質。接著為學生提供了更多探索空間，讓學生自主選擇分類標準，保證了實驗操作結果的代表性和普遍性。在這個自主探究的過程中，學生自己充分地去“玩”三角形，獨立去感受每一個三角形的特征，讓“三角形”這個概念的內涵與外延在學生的頭腦中形成一定的表象。緊接著讓學生以小組為單位進行合作交流，當學生通過自己的方式感受到三角形之間的聯系和區別時，再進一步提升學生的分析概括能力，進而將三角形進行比較科學的分類。

在課堂教學實踐中，大部分學生都能按角進行分類，而且能很清楚的描述每類三角形的特征，并能用三角板上的直角去比一比進行驗證。還有的學生能用量一量和對折的方法找到等邊三角形和等腰三角形，通過折，發現等腰三角形和等邊三角形的對稱性，為后續研究埋下伏筆，從而使這兩類三角形的概念得到了很好的落實，它們之間的關系更加明確，學生在操作中對概念的內涵與外延也有了深刻的認識。

【片段二】精心設計，講求實效

出示：猜猜后面藏著誰？

師：你知道后面藏著什么三角形嗎？為什么？

生1：第一個是直角三角形，因為有一個角是直角。

生2：第二個是鈍角三角形，因為有一個角是鈍角。

生3：第三個是銳角三角形，因為有一個角是銳角。

生4：不對，不對第三個三種三角形都有可能。

師：為什么？

生1：因為每種三角形都有銳角。

生2：每個三角形中至少有兩個銳角。

課件出示三種三角形。

師：直角三角形和鈍角三角形只看一個角就能判斷了，那么銳角三角形能不能也看一個角就能確定的呢？

生1：不能。

生2：能看三角形中最大的角，如果最大的角是銳角，那么這個三角形肯定是銳角三角形。

【思考】數學概念盡管是抽象的，只有充分地理解概念的內涵與外延，才能使每種三角形特征地認識從模糊走向清晰。在教學活動中，猜信封下藏著的是什么角，是為了加強學生對直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形這三類三角形的理解，凸顯出本質屬性，特別是第三個猜一猜，讓學生了解有一個銳角的三角形不一定是銳角三角形，有兩個銳角的三角形也不一定是銳角三角形，并在腦中呈現出三角形的形狀，突破銳角三角形三個角必須都是銳角這一難點，對三角形概念的外延更加明晰。創設這樣一個學習空間，是讓學生多角度多方位去思考，從而在加強基礎知識教學的同時，又培養學生思維的靈活性。使得整個教學環節既有了廣度又有了深度，成為了本節課教學的一個亮點。正所謂真理越辯越明，概念學習就是在不斷地辨析中深化、鞏固的，同時，概念的內涵與外延得到了進一步的理解。

【片段三】拓展游戲，辨析提升

師：在這個格子圖中，如果下面這條黃色的線段是三角形的底，另外一個頂點在與左邊端點垂直的位置上，同學們想一想，這是一個什么三角形？

生：直角三角形。

師：你是怎么發現的？

生：因為這兩條線互相垂直了。

師：如果這點在這里呢（指在端點的垂線上）？

生：直角三角形。

師：這里呢？

生：直角三角形。

師：想象一下，如果這個點不停的往上往上往上，往下往下往下，這些三角形都是？

生：直角三角形。

師：那么這個點還可能在哪里，也是直角三角形呢？

生：在另一個端點的垂線上。課件展示

師：如果另外一點在這條垂線之外呢？

生：是鈍角三角形。

師：為什么？

生：因為這里有一個鈍角（生手指著鈍角的地方）。

師：如果在這兩點之間呢（有意識的移到銳角三角形的地方）？

生：銳角三角形。

師：移到等腰直角三角形的地方，問：這是什么三角形？為什么？

生1：直角三角形，因為有一個角是直角。

生2：如果按邊看，它是等腰三角形，因為它有兩條邊相等。

師：看來這是一個等腰直角三角形。

師：把這個點往上往下移，問：是什么三角形？這個點在哪里，組成的三角形都是等腰三角形？

生：在底邊中點的垂線上。課件出示這條線。

師：把點停在等邊三角形的位置上，問：這是什么三角形？

生：等邊三角形。

師：確定嗎？怎么辦？

生：用尺子量。（課件進行測量演示）

師：這樣的等邊三角形還有嗎？還有幾個？在哪里？

生：在下面還有一個，與上面這個對稱的。

【思考】以游戲操作的形式進行練習，提升所學知識，學生興趣盎然，效果更佳。為了使學生學得愉悅、對知識掌握得更加扎實，我覺得，這個環節的設計是本節課的又一個亮點，在這個活動中教師適當地演示，巧妙的問題引思，層層深入；從直觀感知到思維提升，逐步建立每類三角形的空間觀念，使每一類三角形的特征在學生的腦海里留下了深刻的印象。在這個精彩的活動過程中，巧妙地溝通了直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形之間以及等腰三角形與等邊三角形的聯系，并滲透了極限思想，使每類三角形的內涵和外延進行了有效的對接。由于小學生受年齡特點的限制，他們對形象具體的、數量有限的事物容易理解，對抽象的事物難于掌握。因此，教學中不能忽略極限思想方法的重要性，要充分考慮學生的長遠發展及終身發展。本節課中，我利用這個有趣的游戲將極限思想方法進行適度的滲透，讓學生在動態的過程中，形成了一個完善、系統的知識網絡，使學生記憶猶新。

【片段四】后測比較，凸顯成效

課堂后測是檢驗教學效果的最有效的方法，我對不同教法的兩節課都進行了隨堂后測，參加本次檢測四（3）班47人，四（4）班49人，回收率100%。

學習后測練習：

通過檢測，發現學生③④⑧這三個錯得最多，但兩個班級這三個圖形的正確率相差卻很大。以下是兩個班級的后測對比分析表：

后測對比分析表：

從這一組數據可以看出，采用傳統教學方法的四（3）班學生，空間觀念沒有得到很好的發展，概念內涵掌握得還行，但對概念的外延考慮不全面，理解不深刻，導致概念運用不夠靈活，不能全面分析問題。課后對幾個做錯的學生進行跟蹤調查，對于做錯的原因，學生是這么回答的：

生1：我的⑦三角形沒有連到銳角三角形，我只考慮三條邊都相等的是等邊三角形。

生2：我是③三角形沒有連到等腰三角形，我忽略了每個三角形除了按角分，還可以按邊分。

生3：④三角形很明顯是一個等腰三角形，由于這個直角直接不好判斷，我以為連了一種就好了。

……

【分析】概念的內涵就是這個概念所反映的對象的本質屬性的總和，而概念的外延就是適合這個概念的一切對象的范圍。從學生的回答中，我們不難發現，對于⑦三角形，學生更多的考慮等邊三角形的內涵：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。而它的外延：三個角都是銳角，是一個等角三角形不是很清楚。再如等腰三角形，這一概念的內涵是有且只有兩條邊長度相同的三角形，其外延則是等腰銳角三角形、等腰鈍角三角形、正三角形。由于學生對概念的內涵和外延的理解不明確，模糊，以至于學生每個圖形只考慮一種分類標準，忽視了還可以朝其它方面進行分類，概念運用不夠靈活，造成四（3）班錯誤率如此之高。而改進教學方法后，課堂中，我重視讓學生通過充分操作過程去自主發現每類三角形的本質屬性，以及外延的理性思考，關注內涵與外延的緊密聯系，從具體操作到抽象概括，讓每類三角形的特征展現得淋漓盡致，學生在操作、體驗、感悟中建構了新的知識系統，所有，四（4）班的后測效果比四（3）班有非常明顯的提高。

總之，在幾何概念教學中，要把握操作契機，提供給學生充分的動手操作的時間和空間，真正地體現《新課標》中所倡導的“自主、合作、探究”的新型學習方式，使學生獲得生動活潑的、主動而富有個性的發展，拓寬知識領域，達到概念內涵與外延的有效對接。

參考文獻：

[1] 章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念的形成過程[J].數學通報，2010，（1）.

[2] 宋運來.什么是最有效的教學[M].江蘇：江蘇人民出版社，2009.