談談小學數學總復習的“點線面體”

趙國平

摘 要 筆者以兩次市級復習公開課磨課過程中的課例為例，闡述小學數學復習教學要加強縱向聯系，找準聯系點，點動成線，課堂中切中聯系之“脈”，課外踐行長作業，尋覓知識與生活的聯系之路；關注各類知識的橫向整合，線動成面，著眼整體，適時聚焦，整合發展；講練結合，注重知識的運用，合縱連橫，面動成體。

關鍵詞 數學 復習 聯系 整合

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）11-0111-03

子曰：“溫故而知新，可以為師亦”，可見復習的重要性?？蓪πW生而言，面對一學期或者整個小學階段浩如煙海的知識內容，復習時會感到茫然、手足無措。應該從哪里著手整理？怎樣梳理呢……我們知道教材在編寫時非常重視整體性，有清晰的知識圖式，只不過學生是“只緣身在此山中”。筆者對總復習教學進行了研究，主張用聯系的方法復習知識，點動成線、線動成面，面動成體，例談小學數學總復習的“點線面體”。

一、縱向聯系，點動成線

數學課程總目標第二條中指出，“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考……”，“聯系”兩字躍然紙上?？倧土曊n的內容散落在各冊各單元，呈點狀分布。由于學習進程的安排，學生長時間沒有實踐提升的機會，那么就需要把平時相對獨立學習的知識點，運用聯系的方法予以再現、整理、歸納，點動成線，使之條理化、系統化，凸顯知識的價值。筆者結合2011年執教過的市級總復習公開課《可能性總復習》的課堂教學和課外作業設計為例闡述。

（一）立足微課堂，切中“聯系”之脈

“可能性”知識對于六年級的學生，應該說是“年代久遠”了，初次接觸是在三年級上冊，學會用“可能、一定、不可能”描述生活中的現象，接著在五年級上冊學過“等可能性”，學生知道了可能性是有大小的，當可能性相等時，游戲具有了公平性。回顧小學階段學過的可能性內容較多，有“可能、不可能、一定、可能性的大小”；有“摸球、骰子、轉盤、硬幣、抽簽、石頭剪刀布”等等。課堂中需要喚起學生的記憶，使之體會到可能性與現實生活的密切聯系?；谶@樣的考量，設計了一系列的情景鏈，以蒙太奇的手法，在互動參與中，體現數學知識間的聯系。

1.“點”上回眸足跡

“可能性”知識從生活現象的描述開始學習，到后來學習等可能性知識的應用，經歷了較長的過程，學生感受不到知識的積淀過程，需要向他們展示這種學習的歷程。于是，在課始課件顯示：“我很幸運”。并提示學生猜一猜可能是什么原因才打出“我很幸運”這4個字？引導到用“可能是——”的句式來說，根據學生的回答，老師板書：可能。之后點題：看到“可能”這兩個字，你能想到我們以前學過哪些關于有關可能性的內容？課件出示前幾冊的例題。

用 “我很幸運”+“可能” 6個字戳點，喚醒他們沉睡了幾年有關可能性知識的記憶，并通過已學教學內容的呈現，在形式上實現串點成線。

2.“線”上溝通聯系

復習課的重要任務之一就是引導學生將各個年級所學的知識進行系統的梳理，將分散的知識點連成一條線，使知識結構具有生產性?？赡苄园粗R的學習時間來說是一種縱向的線形聯系，但留在學生腦海里的僅僅是一個個知識點，前不著村后不著店。如何把這些零散的、孤立的知識串點成線呢？這就需要教師的引導和點撥。可能性知識產生于現實活動，可以設計游戲串接，在玩中學習。

游戲第一環節：復習概率的大小。游戲《摸中紅球有獎》，在盒子中依次裝入6個球分別是：6黃0紅，5黃1紅，4黃2紅……到0黃6紅，摸中紅球的概率一次是0、、 ……1，課中通過3個學生參與的摸球游戲，體驗結果的隨機性，感受一定、不可能、可能和可能性大小之間的聯系。附圖。

游戲第二環節：用等可能性知識解決問題。教師提出上一環節摸球游戲的三人中，只能留下一個人繼續接受挑戰贏取大獎，誰留下？大家有什么辦法？促使學生運用可能性的相關知識解決問題，他們會想到用抽簽、石頭剪刀布等方法來決定，這樣就順勢復習了等可能性采用的方式，把所學的知識和方法進行有效的聯系，線路清晰。

（二）踐行長作業，踏尋“聯系”之路

小學階段的學習主要是為了培養學生的隨機思維，讓學生學會用概率的眼光去觀察世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。因此，可以把學生的作業設計為“長作業”，所謂“長作業”就是一種研究性的實踐作業，需要較長時間、較多活動的求證探索，通過學習小組實踐活動、調查分析、探索論證等途徑，溝通數學和生活、現象和本質之間的聯系。讓長作業悟于實踐活動之中、融于日常生活之間、援于鏈接展望知識體系之內。

1.悟于實踐，感知現象

課上在摸球游戲中師生共同回顧了可能性的大小，思維是順向的。為進一步體驗可能性，通過放棋子這一逆向思維的操作，使學生認識到對于某一客觀事件來說，其發生的可能性和個人愿望無關。

活動一：我們來放棋子。小組成員一方提出具體的要求，另一方實踐操作，并針對出現的問題展開討論?！胺牌遄印被顒樱牧铣Ｒ?、操作簡單，學生課間、午間、課外活動時都可操作。通過“怎么放棋子”這一逆向思維的訓練，進一步增強學生的隨機思想，以變化的思維方式去理解事物。

2.融于生活，透視本質

活動二：“透視摸獎陷阱”。通過調查生活中的摸獎現象，如超市節日抽獎、文具店促銷抽獎等。在計算各獎項的中獎概率中，發現有時抽一萬次還是個“謝謝”，透過現象看清本質，通過數據分析體驗隨機性、小概率，從中培養學生的數據分析觀念。

3.援于鏈接，展望體系

活動三：知識鏈接。小學階段設置的內容是依據已知的概率分布估計事件發生的概率，而概率學習的高級目標是：了解現實世界中的隨機現象（不確定現象），能在不確定中作出合理的判斷。目前的學習只是冰山一角，在課外，可以從書本、網絡中查閱資料，做一個相關概率知識的鏈接。如在隨機現象研究中，了解用頻率可以估計概率等，勾起學生的求知欲，讓他們帶著疑惑和憧憬步入中學校園。

二、橫向整合，線動成面

對數學知識的內在結構進行橫向整合，既可以擴展學生的視野，又能鍛煉學生從多角度思維問題的能力。數學學習中的有些知識在學生看來貌似八竿子打不著，實際上在大知識背景中具有橫向聯系，學生很難自己發現，是需要教師著力的地方，線動成面。現以2015年元月市級研究課人教修訂版六年級上冊《圓的總復習》為例闡述。

（一）重構知識，整合落實

學期的總復習不同于單元復習，它側重于讓學生發現單元與單元知識的聯系整合，實現數學教學一要把教材教厚，二要把知識變實，更要把連接延長。利用總復習的 “成長小檔案”，引導學生回顧與反思本學期學了哪些知識？哪些單元之間是有聯系的？因此要在“圓”這一單元知識復習的基礎上，將圓的知識與確定位置、扇形的知識有機整合。

1.精彩回放“銜接點”

課件顯示練習單，獨立完成后，嘗試向同學介紹圓與其他知識的聯系。

觀察下面的圖。想一想，本學期學過與圓有關的知識有哪些？填一填。

2.適時聚焦“交叉點”

上述練習單的設計體現了兩個特點，一是縱向脈絡清晰，引導學生回顧半徑、直徑、圓周長、圓面積等概念的形成，計算公式的推導，加深對圓本質特征的理解和掌握。二是橫向有機融合，幫助學生發現位置和方向、圓、扇形統計圖之間的聯系。讓學生真真切切感受到各線知識的緊密聯系，讓學生在深度參與中整合、重構知識體系。

（二）延伸拓引，整合發展

與圓有關的知識之間有那么多的聯系，這種聯系在解決實際生活問題非常有用。我把復習整理圖與課本P113的第4題，兩者合二為一，整合本冊教材的《圓》、《位置和方向》、《扇形統計圖》三個單元的內容，引導學生提出并解答啟迪性較強的綜合題，讓學生在多看、多思中去發現問題的本質，實現知識之間的整合。

1.關注“延伸點”

提出縱向聯系的問題，延伸方向為：基本知識→推導過程→逆向思維。問題一：如果圓形是一個公園，半徑為（ ）km。根據半徑（ ）千米，你又能想到什么（直徑，圓周長，圓面積，圓內接正方形的面積……）？問題二：已知C=6.28，求S =？ 如果C=6或10呢？求S會碰上什么困難？

2.體現“兼容點”

提出橫向溝通的問題，兼容《圓》、《位置和方向》、《扇形統計圖》三個單元內容，設計的問題如下：①這個公園的圍墻有多長？沿著圍墻從北門到西門有多遠？②北門在南門的什么方向？請描述走遍四門的路線圖。③若有一面紅旗插在離紀念碑1km的地方，這面紅旗會插在哪里？“如果加一個條件，東偏北方向20度呢，現在能確定了嗎？”這個圓心角20度的扇形面積有多大？弧有多長？

通過基礎知識網絡的搭建，在延伸處交融，多角度、多層次對復習的內容進行全面的考察、整合、思考，達到訓練思維、優化思維品質的目的。

三、合縱連橫，面動成體

復習課的主要目標就是根據一定的結構，對已學知識的梳理、概括、提升，從而達到靈活運用解決問題的目的。不同的復習內容存在不同的邏輯特點，應采取不同的梳理方式，溝通聯系、重構整合，但都應該為多樣化的問題及問題之間的聯結和轉換提供條件。教師要引領學生走進數學的奇妙世界，面動成體，深刻體會數學知識系統是一個相互關聯的、動態的活動系統，促使學生運用數學能力的提高。

（一）用聯系的觀點復習知識，從樹木走向森林

日常的課堂教學中往往以解決課時單一的知識技能為重點，忽視了知識的整體性，導致日復一日地只見樹木不見森林。數學復習是一種重構的過程，要尋找該內容在教材體系中的位置，理清知識發展的脈絡，確定課時教學應達到的認知高度，找到知識間的聯系點?！犊赡苄钥倧土暋芬徽n，用游戲串起學生從三年級上冊到六年級接觸過的可能性知識，使靜態的教材變得生動，學生的思維逐漸展開，形成了重體驗和感悟的過程性結構。課上借助紅球黃球數量的增減變化情況，推斷可能性的大小，直觀認識不確定現象；借助可能性預測、摸球現象透視、游戲轉盤制定等，感受不確定現象的特點，學會用概率的眼光去觀察世界。帶領學生從零零散散的知識點——樹木，走向可能性這片大森林，促使他們用更高的視點來思考問題，為他們提供智慧的成長空間。

（二）以任務的驅動整理知識，從回憶走向重構

復習課中，知識整理是主要的教學環節，不梳理不明晰。但梳理的方法也有多種，有些通過師生之間的問答呈現所學的主要知識，教師通過畫圖或列表的方式形成知識結構，基本上是手牽手幫扶式的復習。實際上我們要有意識地培養學生自主復習的能力，當然，缺失了教師的介入和引領，學生容易眉毛胡子一把抓，費時過多且不容易揭示知識間的內在聯系。如果給學生設計合理的學習任務，通過任務驅動和任務解決把要整理的知識呈現和聯系起來，就能破除這種困局。

在《圓的總復習》中，先引領學生觀察圖例，想一想，本學期學過與圓有關的知識有哪些？學生在學習任務的驅動下思考：“怎樣運用所學的知識介紹圓和其他知識的聯系”，并嘗試搭建知識的框架性結構。學生通過仔細的觀察，發現圖中有位置與方向、扇形統計圖及圓的有關知識。

（三）借精巧的練習解決問題，從膚淺走向深刻

簡單的學習材料，不簡單的教學設計，讓一道題發揮最大的教學功能，也彰顯出濃濃的數學味。在解決問題的過程中，要重視引導學生思考交流解決問題的策略，并在不同的策略的比較中優化。

原題要求學生提出問題，我發現較多的是關于走四門的線路描述，而有質量的問題不多，于是我引領學生從不同角度提出問題。如縱向聯系問題：“根據半徑1千米，你又能想到什么？”學生七嘴八舌——直徑，圓周長，圓面積，圓內接正方形的面積……我順勢和學生一起回顧計算公式的推導過程，再引導學生逆思考如：已知C=6.28，求S =？等問題。因為逆向思維運動，有益于在不同的概念之間建立更為廣泛的聯系。再引領學生的思維向縱深處漫溯：如果C不是6.28這樣的特殊數據，而是一般數據6或10等等，求S =？會碰上什么困難。我們不妨讓學生感受計算的繁瑣，引導他們思考是什么原因造成的？怎樣簡化？引導學生深入思考，對圓知識的認識逐漸走向深刻。

總之，復習課需要點動成線、線動成面、面動成體來組織教學。復習有法、但無定法、貴在得法，不同的教學內容，預示著不同教法和學法，教師只有在吃透教材，充分了解學情的基礎上，注重知識的生長點和延伸點，才能引導學生感受數學局部知識與整體知識的關系，實現從顯性學力慢慢到隱性學力的轉變，實現學生的可持續發展。

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