勾股定理逆定理的運用價值

李真偉

【關鍵詞】 數學教學;勾股定理逆定理;教學價值

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015） 10—0119—01

數學教學中應深入挖掘教材，在傳授數學知識的同時，充分展示其內在功能.本文對八年級上冊第一章中“勾股定理的逆定理”的運用價值作一探討分析.

一、展示數學辯證統一思想

數學知識是一個有機整體，許多知識點有著內在辯證統一的聯系，而“勾股定理的逆定理”是在“勾股定理”研究的基礎上形成的.兩個定理不但組成一對完善的互逆定理，而且在研究過程中亦展現了數學知識內部發展、運動的辯證統一關系.數學教學中，要充分地揭示兩定理的互逆性和統一性，加深學生對勾股定理本質的認識，進而親身體驗矛盾轉化的美感.

例1 如圖1，△ABC中，CD是邊AB上的高.

（1）若∠ACB=90°，求證：CD2=AD·BD;

（2）若CD2=AD·BD，求證：∠ACB=90°.

證明：（1）由勾股定理得

（AD2+CD2）+（BD2+CD2）=AD2+2CD2+BD2…… ①

又AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2=AD2+2·AD·BD+BD2…… ②

由①、②可得：CD2=AD·BD

（2）由已知，AB2=（AD+BD）2=AD2+2·AD·BD+BD2=AD2+2CD2+BD2=AC2+BC2.由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°.

二、滲透數學建模思想

數學建模思想是連接數學與現實的橋梁，是學生領悟數學“源于生活，又用于生活”的理想途徑.教學中應結合教材，把數學建模思想融合于知識學習之中，使知識點的內在價值得到充分體現.

例2 古埃及人用下面方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后用樁釘如圖2那樣釘成一個三角形，其中一個角便是直角.說明這種做法的根據.

例3 已知△ABC中，三邊長分別為a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>0），求證∠C=90°.

由例2可見，數學建模思想自古有之，是人類長期實踐的結晶，是人類燦爛文明的一部分，數學中應將它發揚光大.而例3作為一個幾何命題，實質上給出了勾股數的一個數學模型，由此可輕而易舉地完成練習：“除3，4，5外，再找出五組勾股數”.由上面兩例可見，數學建模思想在數學與非數學領域的導向性價值，亦可見課本編者匠心所在.

三、強化數形結合思想

華羅庚教授指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.”如何使學生接受、理解并掌握數形結合思想，進而在分析問題、解決問題中能較熟練的運用，向來是數學教學的重點和長期任務之一.

例4 如圖3，△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC.

由例4證明過程知，根據勾股定理逆定理，對△ABC三邊進行精確的數量運算，并結合圖形，可得∠ADB=∠ADC=90°.先由Rt△ACD圖形的直觀特征，用勾股定理計算出AC=13cm，最后由數的關系得到圖形相等關系AB=AC.

四、 “問題解決”的綜合實踐思想

“問題”是數學的心臟，而“問題解決”是數學永恒的主題.初中學生在數學學習過程中，時刻在感受、體驗“問題解決”的內涵.如何緊扣教材知識點，組織形成“問題情境”，使學生參與到“問題解決”的過程中，從而提高數學思維能力，已經成為教學重要任務之一.而該章“勾股定理逆定理”所隱含的極有價值的有關素材，正可不失時機地加以挖掘和應用.

例5 在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2， ?求證：∠C=90°.

略證：作△A′B′C，使∠C′=90°，BC=a，AC=b，則由勾股定理得：A′B′=c=AB，所以△ABC≌△A′B′C′.由此∠C=∠C′=90°得證.

例6 如圖4 ，已知∠1=90°，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求證：∠D=90°.

略證 RT△ABC中，由勾股定理可得AC=5，在△ADC中由勾股定理可得∠D=90°.

上述例5、例6的結論是類似的，都是證明“一個角等于直角”，然而證明所用的方法并不相同.結合上述兩例，自然可概括出證明“一個角等于直角”（或“兩條直角線相互垂直”）的一些常用分析證明方法.

綜上所述，可看出勾股定理的逆定理在證明垂直時的重要作用和價值.因此，在教學時特別要加以強調，使學生牢牢掌握，并能靈活應用定理解決實際問題.

編輯：謝穎麗