淺析化歸思想在高中數學教學中的應用

江勇

【摘 要】數學思想是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。數學的思想很多，其中化歸思想是中學數學中十分重要的思想，在解決問題中具有獨特的策略調節作用；能有效地利用簡單問題、熟悉的問題去解決復雜、陌生的問題。同其他思想相比，有獨特的優點。化歸思想是高中數學最重要最常見的思想方法之一，本文就高中數學的化歸思想，結合本人教學實踐做出一些探討。

【關鍵詞】數學思想；高中數學；化歸思想

化歸思想在高中數學中無處不在，其實質就是將比較生疏的問題熟悉化，將復雜的問題簡單化，將抽象的問題形象化。因此教師在傳授數學知識的同時還要注意向同學們滲透化歸這樣的數學思想，使同學更好地運用數學思想去解決數學問題，培養學生對化歸思想的敏感程度，方便學生在第一時間就能發現數學題中的奧妙所在，讓數學不再是一個困擾高中生的難題。

一、化歸思想在高中數學中的意義

1.有利于學生系統的掌握數學知識

數學思想是看不到摸不著的，但是它又無時不刻在數學知識中體現出來，在掌握和學習數學知識的過程中，數學思想起著融會貫通的作用。化歸思想需要教師結合現有的數學知識一點一滴地滲透，通過一段時間的積累，這個思想就像穿珠子的線，把前后所學的知識聯系起來，讓學生在向前發展的過程中又不會忘了“本”。

2.培養學生數學思維

數學思維的關鍵在于能否靈活運用所學到的知識，而數學思維比較靈活的學生一定有著豐富的數學思維技巧，可以將遇到的問題進行靈活地轉化，直到找到簡便快捷的解題方法為止。學生的數學思維經驗多數都是老師傳授的，學生在解決問題的時候首先想到的也是老師傳授給的方法，因此為了培養學生更加靈活的數學思維，教師更要向同學多多滲透化歸思想。

3.培養學生分析解決問題的能力

化歸思想就是將新學的知識轉化為自己熟悉的舊知識，在數學教學的過程中，積極引導學生使用化歸思想，讓學生熟悉化歸思想的思路和解題方法，漸漸地學生就可以在解題的過程中完美使用。比如在高中常見的函數中，可以將復雜特殊的函數劃歸成一般的、常見的函數，像一次函數或者二次函數等等，從這點來看，化歸思想就像復雜通向簡單的橋梁，讓人們在橋梁上實現完美的過渡。

二、化歸思想在高中數學中的滲透和應用

化歸思想方法的主要特點是它的靈活性和多樣性。一個數學問題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多樣。所以應用數學變換的方法去解決有關數學問題時，就沒有一個統一的模式可以遵循。因此，我們必須根據問題本身提供的信息，利用動態的思維，具體問題具體分析，去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法。

1.正反轉化

解答某些問題，如果按習慣從正面無法解決或者非常復雜時，可以考慮從相反的方面去探究，反面得到解決則正面亦能得到解決。

例1：已知函數f（x）=4x2-ax+1在（0，1）內至少有一個零點，試求實數a的取值范圍。

分析：此題從正面入手，比較繁瑣，若從反面去考慮，至少有一個零點的反面為沒有零點，這種情況比較容易處理。

解：當函數f（x）=4x2-ax+1在（0，1）內沒有零點時，

4x2-ax+1=0在（0，1）內沒有實數根，

即在（0，1）內，。

而當x∈（0，1）時，

，得。

要使，必有a<4故滿足題設的實數的取值范圍是[4，+∞）。

點評：對于此類從“正面進攻”很難奏效或運算較繁的問題，可先攻其反面，運用補集思想從而使正面得以解決，“正難則反”有時會給我們的解題帶來意想不到的妙處。

2.等與不等的轉化

有一些問題，表面上看起來好像只具有相等的數量關系，利用這些相等關系又不能解決問題，如果能找出其中的不等關系，建立不等式去轉化，往往能獲得簡捷求解的效果。

例2：已知a，b都是實數，且求證：a2+b2=1。

分析：此題要利用已知的等式條件，很難得出結論，若利用均值不等式找出一個不等關系，再結合已知中的相等關系，可能容易尋得a與b之間的關系。

解：由均值不等式有：，

則：。

由已知：

要使等號成立，必有：且

即：a2+b2=1。

點評：以上解答中，利用了等與不等的相互轉化，從而使問題得到了有效的解決。

3.常量與變量的轉化

某些數學問題中有多個元時，常把其中的常數看作主元，把其它變元看做是常數，以致達到減少變元、簡化運算的目的。

例3：已知曲線Ck的方程為，試證：坐標平面內任一點（a，b）（a，b≠0），在Ck中總存在一橢圓和一雙曲線過該點。

分析：觀察曲線方程，一般認為x，y是主元，難以找到解決問題的思路。換個角度考慮k，容易得到，當k<4或4

解：設點（a，b）（a，b≠0）在曲線Ck上，則有

化簡得： k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0①

令：f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）

∴f（4）=-5b2<0，f（9）=5a2>0

可得f（k）=0，根據函數圖像開口向上，方程①在（-∞，4）和（4，9）內分別有一根，即對平面內任一點（a，b），在曲線系Ck中總存在一橢圓和一雙曲線通過該點。

點評：本題有一個巧妙之處：將解析幾何中的曲線系問題轉化為視變量為主元的方程的根的問題，這樣一來在很大程度上降低了難度，常量與變量的轉換方法在解析幾何中很普遍。

三、總結

高中數學教學中蘊涵著許多重要的數學思想方法化歸的思想方法是最基本也是最重要的數學思想方法之。通過實踐證明，在高中數學教學中，對于一些復雜問題的解決，如果能合理的去應用化歸思想，做到緊盯化歸目標，保證化的有效性、規范性。注意轉化的等價性，保證邏輯上的正確。注意轉化的多樣性，設計臺理的轉化方案將會在解決問題的過程中起到事半功倍的效果。

參考文獻：

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